新工科發(fā)展下的離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究

羅衛(wèi)蘭

（南京郵電大學(xué)計算機(jī)學(xué)院、軟件學(xué)院、網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院，江蘇南京 210023）

0 引言

新工科是在新時代、新環(huán)境、新形勢、新需求下，就如何培養(yǎng)新工科學(xué)生達(dá)成的初步共識，是高等工程教育改革的初步探索［1］。新工科強(qiáng)調(diào)“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念，強(qiáng)調(diào)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的多樣性和新穎性、理論結(jié)合實際、實踐應(yīng)用及多學(xué)科交叉。

離散數(shù)學(xué)課是高等工科院校計算機(jī)專業(yè)的一門重要必修基礎(chǔ)課，是隨著計算機(jī)的發(fā)展而形成的一門交叉課程。它主要研究離散量的結(jié)構(gòu)及其相互之間的關(guān)系，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，其借用數(shù)學(xué)工具，采用數(shù)學(xué)方法，分析計算機(jī)科學(xué)中的“離散”特點，對計算機(jī)發(fā)展、計算機(jī)科學(xué)研究起著重要作用。因而，離散數(shù)學(xué)有濃厚的數(shù)學(xué)味道，也具有重要應(yīng)用價值。該課程具有數(shù)學(xué)特點，必定具有數(shù)學(xué)相關(guān)類課程的一些特點，例如：比較抽象、枯燥、概念多、內(nèi)容關(guān)聯(lián)性強(qiáng)、難學(xué)好等。課程學(xué)習(xí)難度大，學(xué)生失去學(xué)習(xí)興趣，導(dǎo)致課程就更加難以學(xué)好。學(xué)生對理論性知識感覺“面目可憎，難以消化”。但教師若多做準(zhǔn)備工作，在教學(xué)形式、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)互動方式上多加以改進(jìn)，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性及興趣，理論性知識也可以變得生動有趣。

離散數(shù)學(xué)課程應(yīng)用非常廣泛，許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究。仇晨曄［2］將離散數(shù)學(xué)課程與人工智能技術(shù)緊密結(jié)合，注重實例探討，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果；彭璐［3］提出適用于獨(dú)立學(xué)院的“三位一體”教學(xué)模式——知識框架+基礎(chǔ)實驗+交流平臺。本文通過教學(xué)內(nèi)容設(shè)計和教學(xué)模式設(shè)計，改進(jìn)離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式，通過精心設(shè)計實驗，開展交叉學(xué)科講解并合理利用多種在線平臺，能夠提升學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、主動性和創(chuàng)新性。

1 教學(xué)內(nèi)容設(shè)計

數(shù)學(xué)類課程的典型特點是符號化、公式化、定義定理化。這種抽象化表示往往難以理解，在講解過程中，采用理論聯(lián)系實際的方法，給學(xué)生列舉實際生活中的例子，讓學(xué)生加深對相關(guān)概念的理解。課程中各知識點關(guān)聯(lián)性強(qiáng)，環(huán)環(huán)相扣，對知識點進(jìn)行梳理并進(jìn)行歸納總結(jié)，有助于學(xué)生理解各章節(jié)的難點和重點。同時，計算機(jī)類相關(guān)課程應(yīng)注重實踐應(yīng)用，適當(dāng)選取相關(guān)知識點，設(shè)計實驗內(nèi)容，有助于學(xué)生理解理論知識。更進(jìn)一步，教學(xué)應(yīng)注重各學(xué)科之間的交叉應(yīng)用，在教學(xué)過程中應(yīng)適時引出這些方面的知識，拓展學(xué)生視野。

（1）理論聯(lián)系實際。理論從實際中來，并接受實踐檢驗。理論只有聯(lián)系實際，才能從實際出發(fā)，指導(dǎo)應(yīng)用實踐。脫離實際的理論，就會變成僵死的教條。在教授學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)理論知識過程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生同實際生活中的例子相結(jié)合，而不是簡單僵化地敘述概念定理。例如，在講解“歐拉圖”和“漢密爾頓圖”時，提出“周游玄武湖”問題，思考是否能夠完成以下兩個設(shè)想：遍游玄武湖但不走回頭路并最終能回到起點；參觀所有重要景點一次且僅一次并回到起點?！爸苡涡浜眴栴}，貼近現(xiàn)實生活，但該問題并沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，問題能否解決，取決于解題人所構(gòu)造的玄武湖的圖結(jié)構(gòu)。但無論答案如何，通過對該問題的思考，學(xué)生能較好地理解圖的相關(guān)概念，并理解這門課程的實際應(yīng)用意義。更進(jìn)一步，對于玄武湖，也可以提出更多問題加以思考，如設(shè)計“神策門”到“玄武門”最佳散步路線、慢跑5 公里路線推薦等。

（2）實踐創(chuàng)新能力培養(yǎng)。本課程開設(shè)了實驗課程，通過實踐內(nèi)容，能培養(yǎng)學(xué)生對離散數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的興趣，并提高學(xué)生動手能力。對于實驗課內(nèi)容，課程組也做了精心設(shè)計。由于離散數(shù)學(xué)課程基本開設(shè)在大一下半學(xué)期或者大二上半學(xué)期，學(xué)生對于編程理論知識接觸到的基本只有C 語言程序設(shè)計之類的課程，編程能力相對較弱。實驗內(nèi)容選取上，一方面結(jié)合離散數(shù)學(xué)課程特點，選擇課程中的重點內(nèi)容進(jìn)行實驗設(shè)計；另一方面，兼顧學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)度，設(shè)計容易上手的實驗內(nèi)容，但又具有一定自主發(fā)揮的空間和余地。實驗課程題目涉及命題邏輯、關(guān)系、格與圖論，沒有對編程語言及環(huán)境做硬性規(guī)定，學(xué)生可以自由選擇編程語言。從目前反饋情況看，學(xué)生選擇較多的編程語言是C++和C，近年來也有部分學(xué)生選擇Python，也有少部分學(xué)生選用Matlab。本課程實驗都經(jīng)過了精心設(shè)計，例如實驗一，基本要求是根據(jù)真值表求命題公式的主析取范式和主合取范式。擴(kuò)展要求是用戶可以輸入命題公式，計算公式對應(yīng)的真值表，再完成基本要求，力保所有學(xué)生都能順利完成實驗。擴(kuò)展要求需課外知識點支持，實驗一的擴(kuò)展問題，需用到堆棧、中綴表達(dá)式轉(zhuǎn)后綴表達(dá)式之類的與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程相關(guān)的知識點，對于這些知識，學(xué)生還沒有接觸到，因此需要學(xué)生通過自習(xí)的方式去解決問題，提高學(xué)生自學(xué)能力。從實施效果看，學(xué)生完成情況良好，30% 左右的學(xué)生完成了基本實驗要求，70% 的學(xué)生較好地完成了擴(kuò)展要求。甚至有學(xué)生獨(dú)立設(shè)計完成了一個基于安卓平臺的計算器，輸入命題公式并得到其對應(yīng)的主析取范式和主合取范式。通過實踐課程學(xué)習(xí)，學(xué)生能更好地理解本課程相關(guān)理論知識，并能將理論知識應(yīng)用于實踐，也了解各相關(guān)課程之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的趣味性。

（3）交叉學(xué)科應(yīng)用。計算機(jī)科學(xué)知識發(fā)展更新快、學(xué)科交叉程度高、應(yīng)用面廣，教師在積極引導(dǎo)學(xué)生注重基礎(chǔ)理論學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，還需要強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的重要性，告訴學(xué)生離散數(shù)學(xué)的知識能應(yīng)用于哪些相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域中。離散數(shù)學(xué)在各學(xué)科領(lǐng)域，特別是在計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，同時離散數(shù)學(xué)也是計算機(jī)專業(yè)的許多專業(yè)課程，如操作系統(tǒng)、計算機(jī)通信與網(wǎng)絡(luò)、人工智能、數(shù)據(jù)庫、算法設(shè)計與分析等必不可少的先行課程。離散數(shù)學(xué)知識能廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘、網(wǎng)絡(luò)安全、人工智能、計算機(jī)圖形學(xué)和計算機(jī)視覺等領(lǐng)域。隨著科技的發(fā)展，教師應(yīng)多關(guān)注前沿技術(shù)應(yīng)用，向?qū)W生介紹最新研究成果，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。舉例說明圖的應(yīng)用問題，可以將其擴(kuò)展為三維網(wǎng)格結(jié)構(gòu)在三維電影、三維游戲、三維B 超中的廣泛應(yīng)用。更進(jìn)一步，還可以列舉更為實際的應(yīng)用，如將圖像分割算法中的Graph Cut算法應(yīng)用于圖論中的最小割（Min-Cut）理論等。

（4）強(qiáng)調(diào)歸納總結(jié)。理論課程學(xué)習(xí)中，應(yīng)注重學(xué)生思維能力和歸納總結(jié)能力培養(yǎng)。教師在授課過程中，應(yīng)理清各章節(jié)相互關(guān)系，對各知識要點做好歸納總結(jié)，善于運(yùn)用圖表方式對知識點進(jìn)行概括，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識點總結(jié)。

2 多平臺混合教學(xué)模式

在大數(shù)據(jù)時代，接收信息的渠道越來越多，利用在線資源并發(fā)展混合式教學(xué)模式是未來高等院校課程發(fā)展大勢所趨［4］?；旌鲜浇虒W(xué)強(qiáng)調(diào)線上線下有序結(jié)合，將傳統(tǒng)面對面課堂和在線教學(xué)資源進(jìn)行有機(jī)整合，通過多維式互動教學(xué)［5-6］獲得最佳教學(xué)效果，如圖1 所示。

圖1 多維式混合互動教學(xué)模塊

2.1 騰訊會議直播授課

傳統(tǒng)面對面課堂教學(xué)有其存在的價值和意義，其并不能被完全取代。傳統(tǒng)課堂下，教師與學(xué)生可高效實時交流，教師對學(xué)生課堂表現(xiàn)也有最直觀的把控，且課堂板書效果難以被替代。2020 年疫情之下，各高校都開啟了在線教學(xué)模式。離散數(shù)學(xué)課程組也采用騰訊會議直播方式進(jìn)行在線授課。其在很大程度上能對傳統(tǒng)課堂進(jìn)行在線模擬，但相比傳統(tǒng)課堂，仍有不便之處。

（1）實時交流受限制。在線授課過程中，為了避免雜音干擾，一般要求學(xué)生關(guān)麥。在傳統(tǒng)課堂教學(xué)過程中，教師拋出一個問題，不指定學(xué)生回答，知道答案的學(xué)生都可以作答，或者學(xué)生會有幾類答案，教師可以快速判斷學(xué)生學(xué)習(xí)情況。但在線教學(xué)就很難達(dá)到這種實時效果。操作過程中，甚至?xí)霈F(xiàn)學(xué)生無法開麥的情況。

（2）板書效果差強(qiáng)人意。在授課過程中，除對PPT 內(nèi)容進(jìn)行講解外，也需對重點和難點內(nèi)容予以強(qiáng)調(diào)，或?qū)φn堂內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)。板書內(nèi)容可以對PPT 進(jìn)行有效補(bǔ)充，但在線教學(xué)過程中，直接在PPT 中用鼠標(biāo)進(jìn)行標(biāo)注，速度慢、效果差。若借助手寫板等工具，板書內(nèi)容無法實時保存，效果也不理想。如果通過QQ 群將重點內(nèi)容傳遞給學(xué)生，則在教學(xué)過程中需一直切換各在線工具，學(xué)習(xí)效果不佳。

2.2 輔助教學(xué)平臺

傳統(tǒng)課堂教學(xué)有其存在的必要性，但在線教學(xué)方式也有自身特點和優(yōu)勢，應(yīng)成為其強(qiáng)有力的補(bǔ)充教學(xué)手段［7-8］。該課程結(jié)合實際情況，選擇中國大學(xué)MOOC、QQ 群和騰訊會議教學(xué)平臺作為輔助工具。

中國大學(xué)MOOC（慕課）是愛課程網(wǎng)攜手網(wǎng)易云課堂打造的在線學(xué)習(xí)平臺，通過該平臺，學(xué)習(xí)者可以學(xué)習(xí)中國優(yōu)質(zhì)的大學(xué)課程。慕課主要有以下3 類主要功能：

（1）在線視頻。要求學(xué)生自主觀看，主要用于課程預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)。

（2）慕課堂。慕課堂提供了非常完善的線下輔助模式。教師可以事先備課，準(zhǔn)備練習(xí)、問卷、討論等各類教學(xué)內(nèi)容，并于上課過程中發(fā)布。各種形式的練習(xí)，是對上課內(nèi)容的鞏固，讓學(xué)生及時發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中對知識點的理解是否有偏差。在教師講解過程中，穿插這部分內(nèi)容，能避免教師唱“獨(dú)角戲”，讓學(xué)生積極思考，而不是一味地接受知識。慕課堂還提供了簽到和點名功能，有助于規(guī)范課堂紀(jì)律。

（3）測驗和作業(yè)。慕課可以按照教師需求，個性化實施測驗和發(fā)布作業(yè)?？陀^題系統(tǒng)自動更改，減少了教師批改作業(yè)的工作量。主觀題可以教師批閱，也可以學(xué)生互改。兩種方式穿插進(jìn)行，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。特別是作業(yè)互改方式，讓學(xué)生也體驗了一把小老師的感覺，對題目的理解也會更加深刻。

QQ 群主要用于發(fā)布重要信息，包括各種教學(xué)資料，如電子教材、PPT、教學(xué)大綱、授課計劃表等相關(guān)資料。QQ 群也可用于日常簡單問題答疑及通知發(fā)布等。

騰訊會議提供了非常穩(wěn)定的直播交流模式，在疫情期間是各大高校非常重要的直播工具，在正常教學(xué)環(huán)節(jié)過程中，其也可以作為一種快捷有效的答疑工具。騰訊會議的屏幕共享功能可實現(xiàn)學(xué)習(xí)資料調(diào)用，教師可以直接調(diào)用學(xué)生答案，分析問題所在。

采用多維式互動教學(xué)方式，有效拓展了傳統(tǒng)理論課程的教學(xué)空間，將傳統(tǒng)教學(xué)與現(xiàn)代手段相結(jié)合，教學(xué)方式更加靈活，教學(xué)手段更加先進(jìn)，有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，也有利于學(xué)生個性化發(fā)展，同時提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性與積極性。

3 教師人格魅力

在教學(xué)中，應(yīng)遵循“以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體”的原則，教會學(xué)生“怎么學(xué)”，以提高學(xué)生素質(zhì)為宗旨，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和學(xué)習(xí)能力、實踐能力。

教師的理想信念、學(xué)識水平、知識能力、個人情趣、品質(zhì)修養(yǎng)等，都能在潛移默化中感染和影響學(xué)生。教師的人格魅力對學(xué)生的健康成長有最直接的示范和導(dǎo)向作用，學(xué)生的世界觀、人生觀、價值觀大多在學(xué)校形成，教師的人格魅力對學(xué)生影響深遠(yuǎn)。

教師的人格魅力包含品德和才能。學(xué)高為師，身正為范，師德是教師的靈魂。作為教師，應(yīng)愛國愛黨，堅持正確的世界觀、人生觀和價值觀，熱愛教育事業(yè)，向?qū)W生傳遞正能量。在教學(xué)過程中，針對學(xué)生特點，堅持以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)、教學(xué)為主線，注重講練結(jié)合。同時，淵博的知識是教師必備的基本素養(yǎng)，也是衡量教師是否稱職的重要衡量標(biāo)準(zhǔn)。教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)手段的豐富與改進(jìn)，離不開教師知識的積累。一位具有豐富科學(xué)文化基礎(chǔ)知識和精深專業(yè)學(xué)科知識的教師，在教學(xué)過程中充滿自信，滿懷激情，能風(fēng)趣幽默、理論聯(lián)系實際地向?qū)W生傳授知識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與積極性，使學(xué)生保持求知的熱情。

4 結(jié)語

通過優(yōu)化課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段，學(xué)生能夠更好地理解離散數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想和基本概念，掌握離散數(shù)學(xué)常用基本方法、手段、技巧，并具備一定的分析論證能力和較強(qiáng)的運(yùn)算能力，能運(yùn)用常用的離散數(shù)學(xué)思想方法解決計算機(jī)科學(xué)中的相關(guān)實際問題，在學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯與代數(shù)系統(tǒng)知識的基礎(chǔ)上，具有較好的抽象能力、邏輯思維能力、歸納構(gòu)造能力，以及針對計算機(jī)及應(yīng)用領(lǐng)域的具體問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的能力。

多維混合式教學(xué)是“互聯(lián)網(wǎng)+教育”的發(fā)展方向，2020年突如其來的疫情，也讓高校教師充分了解在線教學(xué)授課方式。作為高校教師，要主動以疫情防控期間線上教學(xué)為契機(jī)，加強(qiáng)線上教學(xué)、研討與交流，全面推進(jìn)混合式教學(xué)改革與建設(shè)，助推學(xué)?！盎ヂ?lián)網(wǎng)+教育”發(fā)展。