直擊中考
——“一元一次方程”的應(yīng)用

文 劉佳

一元一次方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其應(yīng)用廣泛，能解決生活、生產(chǎn)實(shí)踐中的許多問(wèn)題。列一元一次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出相應(yīng)的等式，所列方程必須滿足：（1）方程兩邊表示的是同類量；（2）方程兩邊的數(shù)值要相等。

一、數(shù)學(xué)文化題

例1（2019·江蘇南通）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作之一。書(shū)中記載：“今有人共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六。問(wèn)人數(shù)幾何？”意思是：“有若干人共同出錢買雞，如果每人出九錢，那么多了十一錢；如果每人出六錢，那么少十六錢。問(wèn)：共有幾個(gè)人？”設(shè)共有x個(gè)人共同出錢買雞，根據(jù)題意，可列一元一次方程為_(kāi)______。

【解析】本題在數(shù)學(xué)文化的基礎(chǔ)上考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的策略是：采取兩種方案的總錢數(shù)相同，據(jù)此可列方程，總錢數(shù)=9x-11=6x+16。故本題的正確答案為9x-11=6x+16，相信同學(xué)們都能迅速解決。

自我檢測(cè)1（2019·湖南岳陽(yáng)）我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有下列問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺。問(wèn)日織幾何？”其意思為：今有一女子很會(huì)織布，每日加倍增長(zhǎng)，5日共織布5尺。問(wèn)每日各織多少布？根據(jù)此問(wèn)題中的已知條件，可求得該女子第一天織布______尺。

二、銷售盈虧問(wèn)題

例2（2020·浙江紹興）有兩種消費(fèi)券：A券，滿60元減20元，B券，滿90元減30元，即一次購(gòu)物大于等于60元、90元，付款時(shí)分別減20元、30元。小敏有一張A券，小聰有一張B券，他們都購(gòu)了一件標(biāo)價(jià)相同的商品，各自付款，若能用券時(shí)用券，這樣兩人共付款150元，則所購(gòu)商品的標(biāo)價(jià)是______元。

【解析】本題考查列方程解決實(shí)際問(wèn)題中有關(guān)銷售的問(wèn)題，中考出現(xiàn)頻率較高，難點(diǎn)是需要分類討論。可設(shè)所購(gòu)商品的標(biāo)價(jià)是x元，根據(jù)小敏有一張A券，小聰有一張B券，他們都購(gòu)了一件標(biāo)價(jià)相同的商品，各自付款，若能用券時(shí)用券，這樣兩人共付款150元，顯然商品價(jià)格不低于60元，故應(yīng)從以下兩方面考慮：①所購(gòu)商品的標(biāo)價(jià)小于90元；②所購(gòu)商品的標(biāo)價(jià)大于等于90元。

解：設(shè)所購(gòu)商品的標(biāo)價(jià)是x元。

①所購(gòu)商品的標(biāo)價(jià)小于90元，

x-20+x=150，

解得x=85；

②所購(gòu)商品的標(biāo)價(jià)大于等于90元，

x-20+x-30=150，

解得x=100。

故所購(gòu)商品的標(biāo)價(jià)是100或85元。

故答案為100或85。你做對(duì)了嗎？

自我檢測(cè)2（2019·貴州畢節(jié)）某品牌旗艦店平日將某商品按進(jìn)價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，在某次電商購(gòu)物節(jié)中，為促銷該商品，按標(biāo)價(jià)8折銷售，售價(jià)為2240元，則這種商品的進(jìn)價(jià)是______元。

三、圖表信息題

例3（2020·貴州安順）第33個(gè)國(guó)際禁毒日到來(lái)之際，貴陽(yáng)市策劃了以“健康人生綠色無(wú)毒”為主題的禁毒宣傳月活動(dòng)，某班開(kāi)展了此項(xiàng)活動(dòng)的知識(shí)競(jìng)賽。學(xué)習(xí)委員為班級(jí)購(gòu)買獎(jiǎng)品后與生活委員對(duì)話如下：

請(qǐng)用方程的知識(shí)告訴學(xué)習(xí)委員他錯(cuò)在哪里？

【解析】本題以對(duì)話形式提供數(shù)學(xué)信息，建立數(shù)學(xué)模型。設(shè)單價(jià)為6元的鋼筆買了x支，則單價(jià)為10元的鋼筆買了（100-x）支，根據(jù)題意，得：6x+10（100-x）=1300-378，解得x=19.5，

因?yàn)殇摴P的數(shù)量不可能是小數(shù)，所以學(xué)習(xí)委員搞錯(cuò)了。

自我檢測(cè)3（2020·浙江金華）如圖，在編寫(xiě)數(shù)學(xué)謎題時(shí)，“□”內(nèi)要求填寫(xiě)同一個(gè)數(shù)字，若設(shè)“□”內(nèi)數(shù)字為x，則列出方程正確的是（ ）。

A.3×2x+5=2x

B.3×20x+5=10x×2

C.3×20+x+5=20x

D.3×（20+x）+5=10x+2

四、巧設(shè)未知數(shù)

例4（2017·湖南岳陽(yáng)）我市某校組織愛(ài)心捐書(shū)活動(dòng)，準(zhǔn)備將一批捐贈(zèng)的書(shū)打包寄往貧困地區(qū)，其中每包書(shū)的數(shù)目相等。第一次他們領(lǐng)來(lái)這批書(shū)的，結(jié)果打了16個(gè)包還多40本；第二次他們把剩下的書(shū)全部取來(lái)，連同第一次打包剩下的書(shū)一起，剛好又打了9個(gè)包，那么這批書(shū)共有多少本？

【解析】本題中出現(xiàn)總體的，巧設(shè)未知數(shù)，可以優(yōu)化計(jì)算過(guò)程。設(shè)這批書(shū)共有3x本，根據(jù)每包書(shū)的數(shù)目相等，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論。

設(shè)這批書(shū)共有3x本，根據(jù)題意，

解得x=500，

∴3x=1500。

答：這批書(shū)共有1500本。

自我檢測(cè)4（2020·江蘇無(wú)錫）我國(guó)古代問(wèn)題：以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多四尺，若將繩四折測(cè)之，繩多一尺，井深幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來(lái)量，井外余繩四尺，把繩四折來(lái)量，井外余繩一尺，井深幾尺？則該問(wèn)題的井深是______尺。

一元一次方程的應(yīng)用問(wèn)題類型還有許多種，例如行程類、配套類等，這里就不一一列舉。同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中要注意積累，記住解決這類問(wèn)題的策略是根據(jù)題目找出相等關(guān)系并用代數(shù)式表示。

自我檢測(cè)答案：1.；2.2000；3.D；4.8