初中數(shù)學教學中數(shù)形結合思想的應用

文｜黃美紅

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》明確了數(shù)學思想方法教學的要求，豐富學生知識的同時，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展。在教學改革中，傳統(tǒng)教學模式的弊端也不斷顯現(xiàn)，難以滿足學生的自我發(fā)展需要。數(shù)形結合思想的應用，不僅強化了學生的感知與體驗，還培養(yǎng)了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。因此，在新時代的教育教學改革下，教師要改變陳舊的理念，注重數(shù)形結合思想的滲透，通過全面的優(yōu)化與改進，實現(xiàn)數(shù)學教學在新時期的發(fā)展，同時為學生的全面發(fā)展夯實基礎。

一、數(shù)形結合思想概述

數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而達到優(yōu)化解題途徑的目的。數(shù)形結合思想指的是將抽象的數(shù)學問題與形象直觀的圖形相結合的一種教學思想。數(shù)形結合思想的應用是助力學生解決各類數(shù)學問題的重要手段。在數(shù)學活動中，通過滲透數(shù)形結合思想，借助代數(shù)簡潔與幾何直觀，實現(xiàn)復雜知識的簡單化，化繁為簡有助于提高學生學習興趣，提升數(shù)學學習效率。

二、利用數(shù)形結合法開展數(shù)學教學存在的問題

（一）教師的講解不夠深入

不同知識點對數(shù)形結合應用形式有著不同的要求。在以往的講解中，教師只是就題論題，未能將數(shù)形結合的方法、注意事項展示出來，幫助學生由淺入深地理解。因此，很多學生進入一種固化思維模式中，只會就題論題，沒有運用數(shù)形結合的方法來解決問題，只會對教師講解過的類型的題目使用此方法。

（二）學生原有的基礎不扎實

學生原有基礎不牢固，無法實現(xiàn)圖形與數(shù)字語言的轉化，或未能形成知識體系，導致對知識的掌握是散亂的。和其他的固化解題步驟相比，數(shù)形結合的多變性、靈活性更強，所以對數(shù)學知識、知識融合度的要求也更高。但是，數(shù)學基礎不扎實，利用數(shù)形結合開展問題的解答效果會大打折扣。因此，教師要努力夯實學生的數(shù)學基礎，通過采取合理的措施達到能力的提升。

三、數(shù)形結合思想在數(shù)學教學活動中的應用方法

數(shù)和形是數(shù)學的兩個重要概念，在課堂教學中有效地滲透數(shù)和形不僅能推動新課改理念的落實，還是課程改革的必然趨勢。因此，教師要明確數(shù)形結合的應用條件，將其有效地滲透于課堂教學的每一個環(huán)節(jié)，推動數(shù)學課堂教學的有序開展。數(shù)形結合思想的應用，展示了數(shù)學問題與圖形的關系。教師可以采取以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形互變的方法。以下將結合實際的案例，對數(shù)形結合思想在教學中的應用進行分析。

（一）以形助數(shù)

新課標指出：在數(shù)學活動開展中，教師要立足數(shù)學基礎知識，采取不同的方式培養(yǎng)學生的空間能力。所謂的空間能力即從具體事物中抽象出幾何圖形，然后以幾何圖形為依據(jù)對實物特征進行描繪。在數(shù)學教學中，教師可以借助直觀實物，使學生在觀察的基礎上獲得感性認識，從而明確數(shù)量之間的關系，即以形助數(shù)。

以形助數(shù)即借助形的直觀性表明數(shù)之間的關系。這其中，形是手段，數(shù)為目的，如運用函數(shù)圖象分析函數(shù)的性質。缺少形難以讓學生獲得直觀的感受，形少數(shù)時難以入微。因此，在初中數(shù)學課堂中，復雜的數(shù)量關系就可以借助圖形的直觀性來解決。

例如，在一次函數(shù)的學習中，關于y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）的解答中，教師可以在幾何畫板上畫出不同的圖形進行直觀的展示，如圖1 所示。

圖1

然后設置例題“直線y=kx+b經(jīng)過A（0，2）和B（3，0）兩點，求一次函數(shù)的解析式”，讓學生運用數(shù)形結合思想對問題進行分析，通過分析與對比尋找相應的圖形。

問題解析：如若按照以往的方法，學生會根據(jù)題目給出的條件，一步步地代入、求解。但數(shù)形結合思想的應用則可以很好地優(yōu)化解題過程。以形助數(shù)通過復雜數(shù)量關系的直觀化展現(xiàn)，根據(jù)題目條件繪制圖形直觀展示，強化了學生對數(shù)量關系的理解，可以把復雜問題簡單化、抽象問題具體化。

不等式是初中數(shù)學的一部分，但以往的不等式問題的解答，因涉及參數(shù)多且解題過程復雜，加劇了學生的學習難度。數(shù)形結合思想的應用可以很好地解決這一問題。

如圖2，直線y1=kx+b過點A（0，2）且與直線y2=mx交于點P（1，m），則不等式mx＞kx+b的解集是______。

圖2

問題解析：針對上面的不等式問題，如若采取直接法解答是無法完成的。因為題目給出的已知點代入解析式中無法求出參數(shù)k、b的值以及m。針對這個問題，可以觀察圖象交點和交點兩側的圖象，判斷當x在什么范圍時y1＞y2或y2＞y1。

解答：不等式mx＞kx+b，即y2＞y1，通過對圖象的觀察，結合P點橫坐標在交點P的右側，即當x＞1時，y2＞y1，mx＞kx+b的解集是x＞1。

（二）以數(shù)解形

以數(shù)解形即借助數(shù)精確性、規(guī)范性的特征對形的特征進行闡述。數(shù)是手段，形是目的。以數(shù)解形的關鍵在于用數(shù)量關系對幾何圖形進行分析，用一定量的計算方式展現(xiàn)復雜的圖形，實現(xiàn)對圖形中有關內容的計算。以數(shù)解形經(jīng)常用在幾何圖形問題的解答中，通過挖掘圖形內無法展示的條件，對具體關系進行分析。

例如，圖3 是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形。假設直角三角形較長的直角邊長為a，較短的直角邊長為b，如若（a+b）2=21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積是多少？”

圖3

問題解析：觀察圖3 可知，小正方形的面積＝大正方形的面積-4 個直角三角形的面積，利用已知（a+b）2＝21，大正方形的面積為13，可以得出直角三角形的面積，進而求出答案。

解答：∵（a+b）2＝21 ∴a2+2ab+b2＝21 ∵大正方形的面積為13 ∴2ab＝21-13＝8 ∴小正方形的面積是13-8=5。

在數(shù)學幾何問題的解答中，求某線段的長度是經(jīng)常出現(xiàn)的題型。針對這部分題型，如若采取以往的方法一步步地進行分析，很容易將學生繞進去。而數(shù)形結合思想的應用，可以很好地解決這一問題。

如圖4，O為△ABC內一點，OA=OB=OC，BO⊥CO，OD⊥AB于點D，DO交AC于點E，已知BC=3，AC=4，則AE的長為_______。

圖4

問題解析：當問題中涉及線段較多，要想表達清楚這些線段之間的數(shù)量關系，可設其中一條或多條線段為未知數(shù)，再由線段成比例得到等量關系，從而列出方程（組），解出未知數(shù)，完成解題。

解答：連接BE，易得EB=AE，∠EAO=∠ECO=∠EBO?！摺螮CB+∠EBC=∠ECO+45°+∠EBC=∠OBE+45°+∠EBC=90°，∴∠BEC=90°，在Rt△BEC中，BC2-CE2=BE2，∴BC-CE=AE，設AE=x，則32-（4-x）2=x2，解得x=2+或（不合題意，舍去）

如若在教學中，教師能夠發(fā)揮以數(shù)解形的優(yōu)勢，不僅能幫助學生真正理解了數(shù)學知識，還能讓學生在靈活應用中解決數(shù)學問題，并為學生數(shù)學學習能力的提升奠定堅實的基礎。

（三）數(shù)形互變

利用數(shù)形結合思想表達數(shù)量與圖形的關系，可以實現(xiàn)兩者的有效轉化。數(shù)形結合的互相轉變，靈活變通，最終達到解答問題的目的。但關鍵還是要理解數(shù)學解題的本質，找到解題的規(guī)律，這樣才能靈活應用，找到最佳的解題方法。

如圖5，已知方程｜x2-4x+3｜=m有四個根，則實數(shù)m的取值范圍是什么？

圖5

分析：此問題不涉及方程根的具體值，只是求根的個數(shù)，而求方程根的個數(shù)問題可以直接轉化為求兩條曲線交點的個數(shù)問題。

解：｜x2-4x+3｜=m根的個數(shù)問題就是，函數(shù)y=｜x2-4x+3｜與y=m的函數(shù)圖象的交叉點的個數(shù)。所以可以作出拋物線y=x2-4x+3 的圖象，將x軸下方的圖象沿著x軸翻折上去，可以得到y(tǒng)=｜x2-4x+3｜的圖象，根據(jù)圖5 再作直線y=m，可以看出拋物線y=x2-4x+3 的頂點坐標是（2，-1），經(jīng)過x軸翻折后可以變?yōu)椋?，1），當0＜m＜1 時，有四個交點，由此可以確定m的取值范圍是0＜m＜1。

再如，設f（x）是定義在R上的增函數(shù)且對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0 恒成立，如若實數(shù)m、n滿足不等式組f（m2-6m+23）+f（n2-8n），那么m2+n2的取值范圍是（）

解析：根據(jù)已經(jīng)知道的f（x）的圖象關于點（1，0）中心對稱，于是由f（m2-6m+23）+f（n2-8n）＜0 可知m2-6m+23+n2-8n＜2 即（m-3）2+（n-4）2＜4，可以得到圖6，然后借助圖6 可求出參數(shù)的范圍（13，49）。

圖6

在實際的數(shù)學問題的解答中，特別是遇到抽象的題型，經(jīng)常將以形助數(shù)和以數(shù)助形結合起來即數(shù)形結合的方式。一般先用以數(shù)助形，在圖上進行直觀展現(xiàn)、分析，然后明確有關形的關系，再通過以形助數(shù)，分析和確定簡單、容易的有關數(shù)之間的關系。一般情況下，在數(shù)學簡答題中經(jīng)常用到數(shù)形結合法，在中考選擇題應用數(shù)形結合法時，只需以形助數(shù)就可以直接求出結果，提升學生解題的效率。當然，在選擇題的解答中，依然需要簡單的代數(shù)處理，即通過以數(shù)助形的方式完成簡單的代數(shù)計算。

綜上所述，數(shù)形結合思想的應用對學生的知識拓展、解題思維的開闊有著重要的作用，針對空間想象力弱的學生，可以借助“以數(shù)解形”來化解學生的學習困難；對于計算能力弱的學生，可以采取“以形助數(shù)”幫助學生明確數(shù)量間的關系。初中數(shù)學知識抽象性和邏輯性都很強，由于學生的思維、已有的知識水平、掌握的知識基礎等不同，在數(shù)學學習效果上有一定的偏差。因此，教師可以借助數(shù)形結合思想的優(yōu)勢組織數(shù)學活動，以實現(xiàn)課程內容的進一步深化，讓學生的基礎更扎實。因此，在初中數(shù)學教學活動中，教師要注重學生主體作用的發(fā)揮，并有意識地將數(shù)形結合思想滲透在教學活動中，在培養(yǎng)學生數(shù)學思維的同時，提升學生的自主探究與創(chuàng)新能力。加強數(shù)形結合思想在初中數(shù)學教學中有著很強的可行性，不僅提升了課堂教學質量，還推動了數(shù)學教學目標的完成，實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的形成。