將“簡單”的課上“復(fù)雜”
——“2，5的倍數(shù)的特征”教學(xué)片段與思考

□劉兆偉

“2，5 的倍數(shù)的特征”是蘇教版五年級下冊第三單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容。這是一節(jié)相對簡單的課，無論是教師的教，還是學(xué)生的學(xué)，困難都不大，但筆者卻將其上成了一節(jié)復(fù)雜的課。

【課堂呈現(xiàn)】

教學(xué)片段1：讓學(xué)生確定探究起點(diǎn)，初次探究

師：今天，我們一起來研究“一個數(shù)的倍數(shù)的特征”。你們打算先研究哪個數(shù)的倍數(shù)的特征呢？

生：我打算先研究1的倍數(shù)的特征。

生：1 的倍數(shù)的特征不需要研究，因?yàn)樗械淖匀粩?shù)都是1的倍數(shù)。

生：那就先研究2的倍數(shù)的特征吧！

師：好！請大家自己研究，看看2 的倍數(shù)有什么特征。

（學(xué)生獨(dú)立探究）

師：發(fā)現(xiàn)2的倍數(shù)的特征了嗎？

生：我按順序?qū)懥艘恍? 的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們的個位上都是2，4，6，8，0。

師：2的倍數(shù)，個位上一定都是2，4，6，8，0嗎？

生：一定是。

師：2 的倍數(shù)有無數(shù)個，你們才研究了很少的一部分，怎么就能確定所有2的倍數(shù)個位上都是2，4，6，8，0呢？

生：好像還不能確定。

師：老師給大家準(zhǔn)備了百數(shù)表，請大家先在百數(shù)表中圈出所有2的倍數(shù)，再根據(jù)圈的結(jié)果想一想這個問題。

（學(xué)生在百數(shù)表中圈2的倍數(shù)）

師：現(xiàn)在能確定2的倍數(shù)的特征嗎？

生：能。在百數(shù)表中，2 的倍數(shù)都在個位是2，4，6，8，0的這五列，如果把所有自然數(shù)都按照百數(shù)表中的排列方式一直排列下去，所有2的倍數(shù)必然都在這五列。所以我能確定，2 的倍數(shù)，個位上一定都是2，4，6，8，0。

師：2的倍數(shù)的特征我們知道了，反過來，個位上是2，4，6，8，0的數(shù)，一定是2的倍數(shù)嗎？

生：是的。在百數(shù)表中，我們看到個位上是2，4，6，8，0 的數(shù)都是2 的倍數(shù)，繼續(xù)排列下去也是如此。

師：得到這個結(jié)論有什么用呢？

生：有了這個結(jié)論，我們在判斷一個數(shù)是不是2的倍數(shù)時(shí)，就不需要用這個數(shù)除以2，只需要看個位上的數(shù)就行了。

師：是2的倍數(shù)的數(shù)叫作偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫作奇數(shù)。

（思考：課始教師沒有直接讓學(xué)生在百數(shù)表中研究“2，5的倍數(shù)的特征”，而是把探究的主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生決定研究的方向。學(xué)生在明白1的倍數(shù)的特征不需要研究后，繼而開始研究2的倍數(shù)的特征，并且通過一一列舉很快發(fā)現(xiàn)其特征。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生展開理性思考，并利用百數(shù)表幫助學(xué)生確認(rèn)了“2的倍數(shù)的特征”。最后，將“2的倍數(shù)的特征”反過來敘述就得到了其逆命題，學(xué)生再次借助百數(shù)表感悟到逆命題的確定性，從而得到2的倍數(shù)的判斷方法，并體會到研究一個數(shù)的倍數(shù)的特征的價(jià)值。）

教學(xué)片段2：按照學(xué)生的研究思路，再次探究

師：2的倍數(shù)的特征我們知道了，接下來，你們打算研究哪個數(shù)的倍數(shù)的特征？

生：我打算研究3的倍數(shù)的特征。

生：我打算研究4的倍數(shù)的特征。

生：我打算研究5的倍數(shù)的特征。

……

師：按照你們的想法，我們來研究3，4，5 這三個數(shù)的倍數(shù)的特征吧。

（學(xué)生先獨(dú)立研究，再在小組內(nèi)交流）

師：你們研究得到3的倍數(shù)的特征了嗎？

生：3的倍數(shù)，個位上什么數(shù)都有，所以從個位上看不出3的倍數(shù)的特征。

師：看來，3的倍數(shù)的特征還不能確定??！4的倍數(shù)呢？

生：4的倍數(shù)，個位上都是4，8，2，6，0。

師：這跟2的倍數(shù)的特征一樣??！

生：不一樣，它們的順序不一樣。

師：根據(jù)這個結(jié)果，能判斷一個數(shù)是不是4 的倍數(shù)嗎？

生：不能。個位上是2，4，6，8，0 的數(shù)不都是4的倍數(shù)。

生：4的倍數(shù)的特征還需要進(jìn)一步研究。師：你們研究得到5的倍數(shù)的特征了嗎？生：5的倍數(shù)，個位上一定都是5或0。

師：這么肯定？

生：在百數(shù)表中，5的倍數(shù)都在個位是5或0的這兩列，繼續(xù)排列下去也是如此。

師：能依據(jù)這個特征判斷一個數(shù)是5 的倍數(shù)嗎？

生：能。在百數(shù)表中，我們看到個位上是5或0的數(shù)都是5的倍數(shù)，繼續(xù)排列下去也是如此。

師：通過剛才的研究，我們不僅得到了5 的倍數(shù)的特征，還得到了5的倍數(shù)的判斷方法。

（思考：學(xué)生在選擇接下來研究什么數(shù)的倍數(shù)的特征時(shí)，因?yàn)椴恢?，5的倍數(shù)的特征之間的聯(lián)系，所以很自然地想要按順序研究3，4，5這些數(shù)的倍數(shù)的特征。百數(shù)表在這里起到了重要的作用。借助百數(shù)表，學(xué)生不僅確認(rèn)了5 的倍數(shù)的特征，而且確定了其逆命題。讓學(xué)生分別研究3，4，5 的倍數(shù)的特征看似煩瑣費(fèi)時(shí)，但這些研究結(jié)果卻為學(xué)生進(jìn)一步探究2，5 的倍數(shù)的特征之間的本質(zhì)聯(lián)系提供了對比的材料。）

教學(xué)片段3：依據(jù)學(xué)生自己的疑問，深入探究

生：老師，我有一個疑問，為什么判斷一個數(shù)是不是2或5的倍數(shù)，只看個位就行了？而3或4的倍數(shù)卻不行呢？

師：好問題！他提出了兩個問題，我們先來看第一個問題，為什么判斷一個數(shù)是不是2，5 的倍數(shù)，除個位以外的其他數(shù)位上的數(shù)可以不看呢？

生：我舉個例子說明一下。432 百位上的4 表示4 個100，因?yàn)?00 是2 和5 的倍數(shù)，4 個100 當(dāng)然也是2 和5 的倍數(shù)，十位上的3 表示3 個10，10 是2和5的倍數(shù)，3個10當(dāng)然也是2和5的倍數(shù)，所以判斷432是不是2或5的倍數(shù)只看個位上的2就行了。

生：因?yàn)?0，100，1000等都是2和5的倍數(shù)，所以不論十位、百位、千位等數(shù)位上的數(shù)是多少，所表示的數(shù)一定都是2 和5 的倍數(shù)，所以判斷一個數(shù)是不是2或5的倍數(shù)，只要看個位就行了。

生：還可以這樣想，任何一個多位數(shù)都可以看成若干個10 加個位上的數(shù)，因?yàn)?0 是2 和5 的倍數(shù)，若干個10 也一定是2 和5 的倍數(shù)，所以判斷一個數(shù)是不是2 或5的倍數(shù)，只看個位就行了。

師：第一個問題解決了，再看第二個問題，為什么判斷一個數(shù)是不是3，4 的倍數(shù)，不能只看個位呢？

生：因?yàn)?0，100，1000等數(shù)不是3或4的倍數(shù)，所以不能只看個位上的數(shù)判斷一個數(shù)是不是3或4的倍數(shù)。

生：你說的不對，10不是4的倍數(shù)，但100，1000等數(shù)都是4的倍數(shù)??！

生：我想到判斷一個數(shù)是不是4 的倍數(shù)，可以只看這個數(shù)最后兩位上的數(shù)。

師：你是怎么想的？

生：任何一個多位數(shù)都可以看成若干個100加上最后兩位上的數(shù)，因?yàn)?00 是4 的倍數(shù)，若干個100 也是4 的倍數(shù)，所以判斷一個數(shù)是不是4 的倍數(shù)只要看最后兩位上的數(shù)就行了。

生：我還想到判斷一個數(shù)是不是25的倍數(shù)，也可以只看后兩位上的數(shù)，因?yàn)?00也是25的倍數(shù)。

生：我還想到，判斷一個數(shù)是不是8或125的倍數(shù)只要看后三位上的數(shù)就行了，因?yàn)?000 是8 和125的倍數(shù)。

師：通過今天的研究，我們不僅知道了2，5 的倍數(shù)的特征，我們還知道了4，25，8，125 等數(shù)的倍數(shù)的特征，這些數(shù)的倍數(shù)之所以有這樣的特征，都與十進(jìn)制計(jì)數(shù)法有關(guān)。

（思考：學(xué)生在按順序探究了2，3，4，5 這四個數(shù)的倍數(shù)的特征后，因?yàn)檫\(yùn)用同樣的探究方法卻得到了不同的結(jié)論，必然會產(chǎn)生疑問。在解釋疑問的過程中，學(xué)生不僅理解了“2，5的倍數(shù)的特征”與十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的本質(zhì)聯(lián)系，還得到了4的倍數(shù)的判斷方法，并且還運(yùn)用類比推理得到了25，8，125 等數(shù)的倍數(shù)的判斷方法。通過這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生不僅獲得了數(shù)學(xué)知識，而且積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了思維能力。）

【課后思考】

教師在教學(xué)簡單的數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，一般會將課也上得簡單，但有時(shí)簡單會讓學(xué)生失去很多的感悟與體驗(yàn)，因此不妨將簡單的課上得“復(fù)雜”一些。

一、將簡單的課上“復(fù)雜”，是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要

內(nèi)在的學(xué)習(xí)需要是激勵學(xué)生持續(xù)、深入學(xué)習(xí)的動力。對于高年級學(xué)生來說，那些開放的、具有適度挑戰(zhàn)性的、落在最近發(fā)展區(qū)的學(xué)習(xí)任務(wù)更能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)需要。

本課最簡單、高效的教法是直接讓學(xué)生在百數(shù)表中研究2，5的倍數(shù)的特征，但這樣的學(xué)習(xí)任務(wù)是封閉的，對學(xué)生來說過于簡單。筆者在本課的教學(xué)中并沒有直入主題，而是將研究的主題改變?yōu)檠芯俊耙粋€數(shù)的倍數(shù)的特征”，并讓學(xué)生自己決定研究的方向及研究的方法，這樣開放的學(xué)習(xí)任務(wù)讓學(xué)生獲得了探究的自主性，他們的學(xué)習(xí)需要被充分激發(fā)。在探究過程中，當(dāng)學(xué)生有序地研究完2，3，4，5這四個數(shù)的倍數(shù)的特征后，因?yàn)橛猛瑯拥难芯糠椒ㄟM(jìn)行研究，卻得到了不一樣的研究結(jié)果，所以他們自發(fā)地產(chǎn)生了疑問，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)習(xí)需要。

二、將簡單的課上“復(fù)雜”，是為了幫助學(xué)生積累活動經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動的教學(xué)不僅要讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識，更要幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗(yàn)。這樣才能讓學(xué)生由“學(xué)會”變?yōu)椤皶W(xué)”。為了讓學(xué)生獲得可遷移的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，需要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的探究過程。

因?yàn)?，5的倍數(shù)的特征有著相同的數(shù)學(xué)本質(zhì)，所以教材將它們放在一課中研究，而跳過了3，4的倍數(shù)的特征的研究。這樣的探究活動雖然簡單，但失去了探究的有序性、完整性，學(xué)生難以從此過程中獲得完整的探究經(jīng)驗(yàn)。筆者將探究的主動權(quán)交給學(xué)生，學(xué)生自發(fā)地按照數(shù)的順序有序地進(jìn)行探究，確定探究方向，提出探究問題，選擇探究方法，并在探究過程中引發(fā)認(rèn)知沖突，觸發(fā)深度思考。整個探究活動都是由學(xué)生自己在推動。他們真正積累了活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了思維能力。

三、將簡單的課上“復(fù)雜”，是為了培養(yǎng)學(xué)生的理性思維

數(shù)學(xué)學(xué)科最重要的育人價(jià)值是培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，而這可以通過培養(yǎng)學(xué)生的理性思維來實(shí)現(xiàn)。數(shù)學(xué)探究活動的教學(xué)不僅要讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也應(yīng)注重學(xué)生理性思維能力的培養(yǎng)。

本課教學(xué)中，筆者將百數(shù)表的功能由教材中的發(fā)現(xiàn)規(guī)律調(diào)整為驗(yàn)證、確定規(guī)律，這樣的調(diào)整讓學(xué)生直觀地明白了2，5 的倍數(shù)的特征的原命題及逆命題一定成立的道理，培養(yǎng)了學(xué)生的理性思維能力。在有序探究2，3，4，5這四個數(shù)的倍數(shù)特征后，筆者先讓學(xué)生思考2，5 的倍數(shù)為什么有相似的特征，在深入思考中學(xué)生明白了2，5的倍數(shù)的特征之間的本質(zhì)聯(lián)系。隨后筆者讓學(xué)生思考3，4 的倍數(shù)為什么沒有類似的特征，在思考中學(xué)生發(fā)現(xiàn)了4的倍數(shù)的特征，并通過類比推理得到了25，8，125 等數(shù)的倍數(shù)的特征。在深入探理的過程中，學(xué)生的理性精神得到了進(jìn)一步的培養(yǎng)。