旋轉矩形靜矩與慣性矩關系系數研究

焦錫華,陸文林,莊　甜,俞曉明

(1.鹽城工學院 機械優(yōu)集學院,江蘇 鹽城　224051; 2.鹽城工學院 基礎教學部,江蘇 鹽城　224051)

旋轉矩形靜矩與慣性矩關系系數研究

焦錫華1,陸文林2,莊甜1,俞曉明2

(1.鹽城工學院 機械優(yōu)集學院,江蘇 鹽城224051; 2.鹽城工學院 基礎教學部,江蘇 鹽城224051)

靜矩;慣性矩;關系系數;旋轉矩形;正方形

構件的靜矩與慣性矩取決于構件本身并決定了構件的性能，一般構件的靜矩與慣性矩之間并沒有簡單的關系。研究液體的穩(wěn)定度時，發(fā)現液體的穩(wěn)定度取決于一個無量綱系數，這就是靜矩與慣性矩關系系數[1]，該系數可將立體問題轉化為平面問題。在材料力學中，研究的桿件其橫截面大多是各種形式的平面圖形(如矩形、圓形、T形、工字形等)，研究這些圖形的幾何性質時，恰恰都可以不考慮研究對象的物理和力學因素，而作為純幾何問題加以處理[2]。從理論上研究靜矩與慣性矩關系系數對解決體系的平衡問題具有重要作用。本文研究的矩形繞其端點在其所在平面內旋轉時靜矩與慣性矩關系系數及其所具有的性質，對深刻理解和豐富發(fā)展靜矩與慣性矩關系系數具有重要意義。

1　靜矩與慣性矩關系系數的定義

如圖1所示，平面圖形K處于xoy平面內，在圖形K上(x,y)處取面積微元dA，則平面圖形K繞y軸的靜矩Sy、慣性矩Jy以及繞x軸的靜矩Sx、慣性矩Jx分別為

(1)

(2)

(3)

(4)

圖1　靜矩與慣性矩關系系數的定義Fig.1　Definition of the relational coefficient between static moment and moment of inertia

定義平面圖形K繞y軸、x軸的靜矩與慣性矩關系系數分別為

(5)

(6)

式(5)中的xmax和式(6)中的ymax分別為平面圖形K在x軸和y軸方向上的最大長度。

2　旋轉矩形靜矩與慣性矩關系系數

2.1理論推導

如圖2a，設邊長分別為a、b的矩形ABCD處于坐標系xoy。將矩形及坐標系xoy繞原點O沿順時針方向旋轉θ(逆時針取正，順時針取負)，得矩形A′B′C′D′,如圖2b所示。

圖2　矩形旋轉Fig.2　Rotation of a rectangle

如圖2b,矩形A′B′C′D′的質心橫坐標分別為

(7a)

(7b)

矩形A′B′C′D′的繞軸x、y的靜矩分別為

(8a)

(8b)

根據慣性矩的轉軸公式[3]得

(9a)

(9b)

(10a)

(10 b)

(11a)

(11b)

式(8a)、(8b)、(9a)、(9b)、(11a)、(11b)表明：盡管矩形繞其頂點在其所在平面內旋轉時，其靜矩、慣性矩都在變化，但給定矩形的長寬比k以及旋轉角θ，靜矩與慣性矩關系系數py、px仍具有標度變換不變性。

2.2作圖分析

圖3　k=1/4,1/3,1/2,1,2,3,4時，旋轉矩形靜矩與慣性矩關系系數的定義Fig.

2.3公式討論

(12a)

(12b)

(13a)

(13b)

(14)

3　旋轉正方形靜矩與慣性矩關系系數

(15a)

(15b)

從圖4可看出：

(3)圖4是圖3(a)、(b)中，k=1時的兩種特殊情形。

圖4　旋轉正方形靜矩與慣性矩關系系數py(θ)、px(θ)圖Fig.4　Relational coefficient of a rotational square x(θ)

4　結束語

[1] 俞曉明.平面對稱圖形靜矩與慣性矩的關系研究[J].鹽城工學院學報:自然科學版,2013,26(1):5-9.

[2] 周金枝,姜久紅.材料力學[M].武漢：武漢理工大學出版社,2013:228.

[3] 孫訓方,方孝淑,關來泰.材料力學(Ⅰ)[M].北京:高等教育出版社,2002:330.

(責任編輯：張英健)

ResearchontheRelationalCoefficientofStaticMomentandMomentofInertiaofaRotatingRectangular

JIAOXihua1,LUWenlin2,ZHUANGTian1,YUXiaoming2

1． School of Mechanical Optimal Sets Yancheng Institute of Technology，Yancheng Jiangsu 224051，China，2． Department of Basic Courses，Yancheng Institute of Technology，Yancheng Jiangsu 224051，China

staticmoment;momentofinertia;relationalcoefficientofstaticmomentandmomentofinertia;rotatingrectangular;square

10.16018/j.cnki.cn32-1650/n.201503004

2015-03-10

焦錫華(1995-),男,江蘇常州人,主要研究方向為機械設計與自動化。

O312.3

A

1671-5322(2015)03-0017-04