構(gòu)建微積分知識(shí)圖譜 助推一流課程建設(shè)

涂建華 肖珺怡?姜廣峰

摘 要：微積分具有知識(shí)點(diǎn)多、概念抽象及邏輯性強(qiáng)等特點(diǎn)。帶著如何強(qiáng)化現(xiàn)代信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合，幫助學(xué)生高效梳理微積分知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，從而構(gòu)建課程整體知識(shí)體系等問題，我們首先考慮了將知識(shí)圖譜這一智能高效的知識(shí)組織方式引入微積分教學(xué)中。知識(shí)圖譜借助圖論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)技術(shù)等手段，能以可視化的圖譜方式展示知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系以及知識(shí)體系整體框架。從知識(shí)圖譜的基礎(chǔ)理論出發(fā)，詳細(xì)分析了如何構(gòu)建基于本體的微積分知識(shí)圖譜，以及在教學(xué)中如何利用它來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行智能高效的學(xué)習(xí)，最后對(duì)知識(shí)圖譜在教學(xué)中的應(yīng)用做了展望。

關(guān)鍵詞：微積分;知識(shí)圖譜;人工智能;大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

一、前言

微積分是人類智慧的偉大成就之一，在分析和解決來自數(shù)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理科學(xué)等各領(lǐng)域問題中都有著巨大的作用。正因?yàn)槿绱?，微積分已經(jīng)成為所有理工科大學(xué)生的必修課程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、分析與解決實(shí)際問題的能力至關(guān)重要。但另一方面，微積分知識(shí)點(diǎn)眾多，各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系千絲萬縷，學(xué)生經(jīng)過一年的學(xué)習(xí)，雖然可以基本掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但很難貫通知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，把它們構(gòu)建成一個(gè)整體，形成完整的知識(shí)體系。

近年來，一流課程建設(shè)成為高等教育的熱點(diǎn)話題。課程作為高校人才培養(yǎng)體系中的最基本單元，是高校立德樹人的重要載體，是專業(yè)建設(shè)的核心要素[1]。教育部在《關(guān)于一流本科課程建設(shè)的實(shí)施意見》中指出，強(qiáng)化現(xiàn)代信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合，解決好教與學(xué)模式創(chuàng)新的問題。知識(shí)圖譜是一種智能、高效的知識(shí)組織方式，借助于圖論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、現(xiàn)代信息技術(shù)等手段，以可視化的圖譜方式來展示某領(lǐng)域的核心結(jié)構(gòu)、發(fā)展歷史、各個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系以及整體框架。利用其強(qiáng)大的語義處理功能和快速分析能力，知識(shí)圖譜已經(jīng)成為可以快速、準(zhǔn)確地獲取信息資源的智能化搜索與組織工具，在金融、公安、電信、醫(yī)藥、農(nóng)業(yè)、政務(wù)等領(lǐng)域已得到了深入廣泛的應(yīng)用。但在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，知識(shí)圖譜的應(yīng)用還沒有得到足夠的重視和開發(fā)。鑒于此，本文主要探討如何將知識(shí)圖譜這一信息技術(shù)應(yīng)用到大學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，詳細(xì)分析了如何構(gòu)建基于本體的微積分知識(shí)圖譜，以及在教學(xué)中如何利用它來引導(dǎo)學(xué)生智能高效地建立知識(shí)體系。

二、微積分知識(shí)圖譜的構(gòu)建

1.知識(shí)圖譜概述

知識(shí)圖譜的概念由谷歌于2012年正式提出，其初衷是改善其搜索服務(wù)。在知識(shí)圖譜中，知識(shí)通過關(guān)系相互聯(lián)結(jié)，構(gòu)成網(wǎng)狀的知識(shí)結(jié)構(gòu)[2-3]。知識(shí)圖譜中知識(shí)總是以SPO三元組（Triple）的形式出現(xiàn)：<主語（Subject），謂語（Predicate），賓語（Object）>。其中主語表示個(gè)體，可以是一個(gè)人、一個(gè)地點(diǎn)或者一個(gè)組織;賓語可以表示個(gè)體，也可以是數(shù)據(jù)類型的實(shí)例;謂語是一個(gè)屬性，可以連接兩個(gè)個(gè)體，也可以連接一個(gè)個(gè)體和一個(gè)數(shù)據(jù)類型的實(shí)例，用以表達(dá)主語和賓語之間的語義關(guān)系。知識(shí)圖譜用圖模型來描述知識(shí)和建模知識(shí)之間聯(lián)系。每條知識(shí)中的主語和賓語由節(jié)點(diǎn)來表示，謂語部分由有向邊表示，進(jìn)而完成該領(lǐng)域知識(shí)圖譜的構(gòu)建。例如，我們可以從語句“微積分的研究對(duì)象是函數(shù)”中提取出三元組<微積分，研究對(duì)象，函數(shù)>，其中主語“微積分”和賓語“函數(shù)”均為個(gè)體，“研究對(duì)象”作為謂語連接兩個(gè)個(gè)體。再比如從其他材料中我們得知，函數(shù)這一概念的提出時(shí)間為17世紀(jì)，從中提取三元組<函數(shù)，提出時(shí)間，17世紀(jì)>，其中主語“函數(shù)”為個(gè)體，賓語“17世紀(jì)”為數(shù)據(jù)類型“年份”的實(shí)例，“提出時(shí)間”作為謂語連接一個(gè)個(gè)體和一個(gè)數(shù)據(jù)類型的實(shí)例。再利用知識(shí)圖譜對(duì)提取出來的三元組建模，將兩個(gè)三元組中主語和賓語的部分作為圖譜的節(jié)點(diǎn)，謂語部分作為有向邊，用來連接主語和賓語，如圖1所示。

從數(shù)據(jù)模型的角度來看，知識(shí)圖譜的本質(zhì)是一種圖數(shù)據(jù)庫(kù)，該數(shù)據(jù)庫(kù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)源于數(shù)學(xué)分支——圖論。在圖論中，圖是由二元組G=（V，E）表示，其中V是節(jié)點(diǎn)的集合，E是邊的集合，正對(duì)應(yīng)著知識(shí)圖譜中的節(jié)點(diǎn)和邊。正是依賴這種特殊的數(shù)據(jù)模型，知識(shí)圖譜擁有極強(qiáng)的關(guān)系表達(dá)能力，并且基于圖論相關(guān)知識(shí)和算法，可以快速準(zhǔn)確地完成知識(shí)的遍歷和知識(shí)體系的建立。

將知識(shí)圖譜技術(shù)與特定領(lǐng)域應(yīng)用相結(jié)合，知識(shí)圖譜的價(jià)值能得到更大的發(fā)揮。領(lǐng)域知識(shí)圖譜的實(shí)體屬性與數(shù)據(jù)模式需要根據(jù)領(lǐng)域的特點(diǎn)來進(jìn)行構(gòu)建，同時(shí)需要考慮到特定的應(yīng)用場(chǎng)景和使用人員。思知（OwnThink）開源了史上最大規(guī)模（1.4億）中文知識(shí)圖譜，在其平臺(tái)上搜索“微分中值定理”，查詢結(jié)果如圖2所示。

從檢索結(jié)果可以看到，現(xiàn)有的知識(shí)圖譜項(xiàng)目中，對(duì)微分中值定理只有簡(jiǎn)單描述，而沒有提到與其他知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。據(jù)我們所知，目前尚沒有可以很好用于微積分教學(xué)的知識(shí)圖譜。我們將以知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系為主要關(guān)注點(diǎn)來構(gòu)建微積分知識(shí)圖譜，同樣以“微分中值定理”為例，我們構(gòu)建的知識(shí)圖譜將幫助學(xué)生了解到：微分中值定理是羅爾中值定理的推廣，是柯西中值定理的特例，是0階的泰勒公式，還能用來研究函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性，在積分學(xué)中可以用來證明積分中值定理等。微積分知識(shí)圖譜主要服務(wù)于學(xué)習(xí)微積分的學(xué)生，切實(shí)幫助他們理解微積分的知識(shí)框架，理清邏輯脈絡(luò)。

2.微積分本體的構(gòu)建

知識(shí)圖譜在邏輯上可分為數(shù)據(jù)層與模式層兩個(gè)部分。其中，數(shù)據(jù)層由一系列具體數(shù)據(jù)信息構(gòu)成，知識(shí)將以具體事實(shí)為單位進(jìn)行存儲(chǔ);模式層構(gòu)建在數(shù)據(jù)層之上，是經(jīng)過提煉的知識(shí)，也是知識(shí)圖譜的核心。目前，基于本體工程的知識(shí)描述和表示是知識(shí)圖譜建模的主流方法，知識(shí)圖譜利用本體來管理模式層和規(guī)范數(shù)據(jù)層。本體是某一領(lǐng)域的概念模型，是通過鑒識(shí)相關(guān)概念，然后對(duì)其加以抽象而獲得的。利用本體，我們可以將領(lǐng)域中公認(rèn)的術(shù)語以及術(shù)語之間的關(guān)系用計(jì)算機(jī)可以理解的語言描述出來。微積分本體即是對(duì)該領(lǐng)域的知識(shí)以及知識(shí)之間關(guān)系的形式化表達(dá)。構(gòu)建一個(gè)完備的微積分本體庫(kù)可以為后續(xù)建立微積分知識(shí)圖譜奠定基礎(chǔ)，并保障其完整性和準(zhǔn)確性。

不同類型的本體存在不同的應(yīng)用目的，因此選擇合適的本體編輯工具和本體構(gòu)建方法是重要的準(zhǔn)備步驟。本文選擇利用斯坦福大學(xué)醫(yī)學(xué)院開發(fā)的Protégé軟件并結(jié)合“七步法”構(gòu)建微積分本體[4-6]。Protégé是基于Java語言的本體編輯和本體開發(fā)軟件，其設(shè)計(jì)操作簡(jiǎn)單便捷且功能齊全，是國(guó)內(nèi)應(yīng)用較為廣泛的本體編輯器之一。本體的構(gòu)建方法依賴于本體的類型和應(yīng)用領(lǐng)域，每一個(gè)本體庫(kù)的構(gòu)建方法都有其獨(dú)特性。構(gòu)建本體的方法有許多，上述“七步法”的強(qiáng)可行性和適用性可滿足我們的構(gòu)建需求。下面將詳細(xì)說明建立微積分本體的操作步驟，并使用Protégé軟件進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。

（1）確定領(lǐng)域的本體。我們參考了同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等數(shù)學(xué)》（第七版）以及其他權(quán)威資料，并根據(jù)構(gòu)建微積分本體的目的和需求，確定了本體研究領(lǐng)域的范圍，定義了相關(guān)知識(shí)與術(shù)語。

（2）檢索可供利用的現(xiàn)有本體，即考查復(fù)用現(xiàn)有本體的可能性。但目前高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域還沒有比較成熟規(guī)范的本體庫(kù)可供直接使用，因此我們選擇手工構(gòu)建微積分本體庫(kù)。

（3）列舉領(lǐng)域的重要概念，并進(jìn)行歸納和總結(jié)。依照課本和資料，從中抽取微積分的核心概念，并將知識(shí)進(jìn)行嚴(yán)密的歸類和合并。例如，抽取出的“極限”“微元法”等均為研究微積分的方法，即可將這些概念歸結(jié)為“研究方法”。依照這一方法，我們最終總結(jié)出“研究主體”“概念”“研究方法”“研究對(duì)象”“應(yīng)用”“結(jié)論”“人物”“時(shí)期”八個(gè)知識(shí)集合。

（4）定義類以及類之間的層級(jí)關(guān)系。將上一步驟中總結(jié)出的知識(shí)集合，以“類”來定義，即“類”可被理解為包含若干個(gè)具有相同特征的知識(shí)集合，并從微積分本體的創(chuàng)建目標(biāo)出發(fā)，在保證邏輯性和實(shí)用性的前提下，選擇合適的層級(jí)關(guān)系。構(gòu)建類及其層級(jí)關(guān)系可采用兩種方式[7]：自頂向下與自下向上。由于微積分本體屬于較為成熟的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，知識(shí)體系具有較強(qiáng)的完備性，因此采用自頂向下的建模方法來構(gòu)建本體的邏輯關(guān)系，即首先構(gòu)建最頂層概念，再逐步向下細(xì)化。Protégé軟件中的默認(rèn)頂級(jí)類為“Thing”，它是所有類的父類，并選擇“subclass of”建立概念的父子類關(guān)系。將微積分的以上八個(gè)知識(shí)集合定義為“研究主體”類、“研究對(duì)象”類、“研究方法”類、“概念”類、“結(jié)論”類、“人物”類、“時(shí)期”類和“應(yīng)用”類，并定義“研究主體”類為頂級(jí)類的子類，剩余七個(gè)類均為“研究主體”類的子類并且為同級(jí)關(guān)系。再在每個(gè)類下建立子類，比如，在“應(yīng)用”類下建立三個(gè)子類：“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”“微分的應(yīng)用”“積分的應(yīng)用”;再在“積分的應(yīng)用”下創(chuàng)建第三層概念類“幾何”“物理”。表達(dá)為：“積分的應(yīng)用”隸屬于“應(yīng)用”這一概念類，同時(shí)包含了“幾何”和“物理”兩個(gè)子概念。

（5）定義類的屬性。屬性用來創(chuàng)建類之間的二元關(guān)系，即從某一類中的個(gè)體出發(fā)，連接到另一類中的個(gè)體。除了類之間存在的父子關(guān)系以外，微積分知識(shí)點(diǎn)之間還存在大量的邏輯關(guān)系。選擇Protégé軟件中“Object Properties”標(biāo)簽，根據(jù)微積分概念之間存在的關(guān)系，本文利用了7個(gè)對(duì)象屬性來刻畫類與類之間的內(nèi)在聯(lián)系，分別為：“基本概念”“主要結(jié)論”“研究工具”“研究”“發(fā)明者”“提出時(shí)間”和“應(yīng)用”。

（6）定義屬性的分面。即定義屬性約束。屬性值的集合稱為屬性類，屬性類也有屬性，這些屬性定義為屬性約束。屬性約束用于描述屬性值的類型范圍等方面。本文描述了對(duì)象屬性的定義域和值域，分別為作為屬性的陳述對(duì)象和支配對(duì)象。Protégé軟件中，分別用描述框中的“Domain（intersection）”和“Range（intersection）”來建立對(duì)象屬性的定義域和值域，如“發(fā)明者”的定義域?yàn)椤把芯恐黧w”，值域?yàn)椤叭宋铩薄?/p>

（7）添加個(gè)體，為每個(gè)個(gè)體進(jìn)行數(shù)據(jù)屬性的構(gòu)建。Protégé軟件中個(gè)體的建立是在“Instances”標(biāo)簽中實(shí)現(xiàn)的。將個(gè)體創(chuàng)建完畢后，在“owl：Types”中編輯每個(gè)個(gè)體所屬的類，用于完成將個(gè)體填充到各個(gè)類的工作。依照微積分核心知識(shí)的特點(diǎn)，分別建立了“分類”“計(jì)算方法”“概念”“定義”“幾何意義”“性質(zhì)”和“本質(zhì)”7個(gè)數(shù)據(jù)屬性，并定義每個(gè)數(shù)據(jù)屬性的值域?yàn)椤皊tring”。例如：將個(gè)體“函數(shù)”添加到“研究對(duì)象”類中，再在個(gè)體編輯界面中，在描述框中選擇“Data property assertions”為個(gè)體“函數(shù)”分別編輯了“定義”“分類”“性質(zhì)”三個(gè)數(shù)據(jù)屬性。其中屬性“定義”的具體描述內(nèi)容為：定義域和值域;屬性“分類”的具體描述內(nèi)容為：分段函數(shù)、隱函數(shù)、初等函數(shù)、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù);屬性“性質(zhì)”的具體描述內(nèi)容為：有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性。將微積分的核心知識(shí)添加到對(duì)應(yīng)類中，并為每個(gè)個(gè)體編輯數(shù)據(jù)屬性，微積分本體的構(gòu)建最終完成。

3.微積分知識(shí)圖譜的存儲(chǔ)

我們將利用網(wǎng)絡(luò)知識(shí)庫(kù)Neo4j進(jìn)行知識(shí)圖譜的存儲(chǔ)，這樣不僅可以滿足對(duì)微積分知識(shí)的存儲(chǔ)，同時(shí)依賴網(wǎng)絡(luò)還能夠達(dá)到優(yōu)質(zhì)教育資源共享的目的。Neo4j是主要基于Cypher語言的圖數(shù)據(jù)庫(kù)，它將數(shù)據(jù)以圖形方式存儲(chǔ)、處理、查詢和呈現(xiàn)。圖數(shù)據(jù)庫(kù)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有指向鄰居節(jié)點(diǎn)的有向邊，使得可以在時(shí)間復(fù)雜度為O（1）的情況下遍歷到鄰居節(jié)點(diǎn)，且該數(shù)據(jù)庫(kù)將節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系單獨(dú)存儲(chǔ)，更有利于提高圖遍歷的速度，從而提高搜索的速度。

微積分知識(shí)圖譜是以事實(shí)為單位進(jìn)行存儲(chǔ)的，因此我們需要將上一步驟微積分本體庫(kù)中的知識(shí)整理為三元組結(jié)構(gòu)，再根據(jù)Cypher的語法規(guī)則對(duì)微積分知識(shí)圖譜進(jìn)行編譯，進(jìn)而完成微積分知識(shí)圖譜的存儲(chǔ)。我們可在編譯欄中利用Cypher查詢語句檢索“微積分”，查詢結(jié)果如圖3所示。

通過對(duì)“微積分”的搜索，可以快速查詢到微積分的基本概念、研究工具等知識(shí)，并且每條知識(shí)都具體呈現(xiàn)了與微積分的相關(guān)性和它們之間的邏輯關(guān)系。

4.實(shí)現(xiàn)web前端展示界面

微積分知識(shí)圖譜應(yīng)用系統(tǒng)，可實(shí)現(xiàn)基于微積分知識(shí)圖譜的可視化展示、智能搜索、知識(shí)問答等功能。在微積分知識(shí)圖譜界面的搜索窗口，學(xué)生可輸入關(guān)鍵詞進(jìn)行知識(shí)的搜索，關(guān)鍵詞將生成查詢語句在Neo4j圖數(shù)據(jù)庫(kù)中查詢對(duì)應(yīng)的結(jié)果，最后將結(jié)果返回前端，學(xué)生就可以看到以所查詢知識(shí)點(diǎn)為中心的知識(shí)圖譜。

三、微積分知識(shí)圖譜在教學(xué)中的應(yīng)用

微積分知識(shí)圖譜以圖的形式存儲(chǔ)與展示知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，對(duì)提高微積分教學(xué)效果有重要意義。

（1）有利于知識(shí)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的“小知識(shí)框架”建立。根據(jù)學(xué)生輸入的知識(shí)點(diǎn)，將關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)按照?qǐng)D譜的方式進(jìn)行展示，方便學(xué)生按照關(guān)聯(lián)關(guān)系來學(xué)習(xí)。更重要的是，讓學(xué)生以更宏觀的角度來掌握知識(shí)點(diǎn)的來龍去脈。比如，檢索“定積分”，能查詢到它與不定積分、微分、幾何與物理應(yīng)用等的不同關(guān)系，這些關(guān)系將以圖譜的方式可視化展示。

（2）有利于課程知識(shí)體系的建立。學(xué)生借助于微積分知識(shí)圖譜，對(duì)重要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行檢索查詢，并不斷地追本溯源，從而理清微積分的邏輯脈絡(luò)，建立課程整體的知識(shí)體系。同時(shí)，學(xué)生也容易整體把握微積分要解決的主要問題、核心概念、重要結(jié)論以及邏輯基礎(chǔ)。

（3）個(gè)性化學(xué)習(xí)路徑推薦。為進(jìn)一步發(fā)揮知識(shí)圖譜的作用，還可以將知識(shí)圖譜與大數(shù)據(jù)技術(shù)、機(jī)器學(xué)習(xí)等相結(jié)合。知識(shí)圖譜可以針對(duì)個(gè)人構(gòu)建模型，利用大數(shù)據(jù)技術(shù)關(guān)注每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)記錄，包括其在在線平臺(tái)觀看視頻的時(shí)長(zhǎng)、每次在線測(cè)試的成績(jī)、提交作業(yè)的成績(jī)等。利用學(xué)生的以上數(shù)據(jù)，分析學(xué)生對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)及相關(guān)內(nèi)容的掌握程度，進(jìn)而給出個(gè)性化學(xué)習(xí)推薦。對(duì)不同學(xué)生，做出學(xué)情分析，推薦需要加強(qiáng)學(xué)習(xí)的資源和推送相關(guān)習(xí)題。

（4）輔助教師提升教學(xué)效果。教師可以借助微積分知識(shí)圖譜來優(yōu)化課程教學(xué)，以提升教學(xué)效果和效率。一是教師可以借助知識(shí)圖譜的幫助和啟發(fā)去設(shè)計(jì)教學(xué)思路，向?qū)W生展示知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系，使學(xué)生理解一節(jié)課要解決的主要問題和要學(xué)習(xí)的重要知識(shí)點(diǎn)。二是教師可以讓學(xué)生通過知識(shí)圖譜去建立某章節(jié)的知識(shí)框架以及與下一章節(jié)的聯(lián)系，并帶著問題去預(yù)習(xí)下一章節(jié)。

四、總結(jié)與展望

微積分是一座宏偉的大廈，由基石、梁柱和磚木構(gòu)成。學(xué)生學(xué)習(xí)的過程往往看到的是一個(gè)個(gè)磚木，走廊，而沒法理解大廈的結(jié)構(gòu)，因此學(xué)習(xí)的動(dòng)力不足，興趣不高。知識(shí)圖譜更能體現(xiàn)出知識(shí)的脈絡(luò)和邏輯，將知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系以圖譜的方式可視化展示。本文中我們探討了如何將微積分的知識(shí)點(diǎn)以知識(shí)圖譜的形式有機(jī)串聯(lián)起來，講述了構(gòu)建微積分知識(shí)圖譜的具體步驟。在教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用微積分知識(shí)圖譜進(jìn)行高效學(xué)習(xí)，使學(xué)生能理解微積分的整體框架，知道知識(shí)點(diǎn)的來龍去脈，用更宏觀的視角來理解和學(xué)習(xí)微積分。再者，通過將知識(shí)圖譜與大數(shù)據(jù)、機(jī)器學(xué)習(xí)等相結(jié)合，優(yōu)質(zhì)教育資源共享的目標(biāo)有望更好實(shí)現(xiàn)。利用網(wǎng)絡(luò)知識(shí)庫(kù)，知識(shí)圖譜可以幫助學(xué)生更高效地獲取知識(shí)，同時(shí)通過個(gè)性化學(xué)習(xí)推薦幫助學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性學(xué)習(xí)。

知識(shí)圖譜在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域還未得到廣泛的應(yīng)用，我們對(duì)微積分知識(shí)圖譜的構(gòu)建仍處于探索階段，后期還有非常多的工作要做，比如本體的進(jìn)一步補(bǔ)充，對(duì)關(guān)聯(lián)關(guān)系的進(jìn)一步改進(jìn)，圖譜可視化的實(shí)現(xiàn)等。未來我們也將進(jìn)一步研究如何將微積分知識(shí)圖譜與人工智能技術(shù)結(jié)合，使得教學(xué)中一些深層次問題得到解決。我們也希望我們的工作能對(duì)其他教師有所啟發(fā)。總之，教師對(duì)教育領(lǐng)域中新興方法的適應(yīng)、學(xué)習(xí)與應(yīng)用將有助于其更好地順應(yīng)時(shí)代的潮流和探索優(yōu)秀的教育模式，進(jìn)而在教學(xué)工作中不斷創(chuàng)新突破。

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