淺談合情推理在分式教學(xué)中的應(yīng)用

韓安國(guó)

摘 要：推理是初中階段學(xué)生必須掌握的基本能力之一，直接影響著學(xué)生解決問(wèn)題的能力以及學(xué)習(xí)效率。人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課本對(duì)分式的概念、性質(zhì)、應(yīng)用等方面的編排都體現(xiàn)了類(lèi)比、歸納的數(shù)學(xué)思想，而合情推理是類(lèi)比和歸納的綜合體現(xiàn)，將它應(yīng)用到實(shí)際的數(shù)學(xué)課堂中，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

關(guān)鍵詞：合情推理;初中數(shù)學(xué);分式

邏輯推理作為不可或缺的數(shù)學(xué)能力，是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。波利亞指出：論證推理可以用來(lái)肯定數(shù)學(xué)知識(shí)，而合情推理則可用來(lái)為猜想提供依據(jù)?？梢?jiàn)，合情推理在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展過(guò)程中具有十分重要的作用。但傳統(tǒng)的初中教學(xué)模式下，大部分教師仍以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行論證推理，發(fā)展演繹推理能力為主，而忽略對(duì)學(xué)生進(jìn)行歸納類(lèi)比、聯(lián)想等合情推理能力方面的培養(yǎng)，也就是直接將數(shù)學(xué)知識(shí)的推理過(guò)程和結(jié)果展示在學(xué)生的眼前，沒(méi)有創(chuàng)設(shè)學(xué)生合情推理的機(jī)會(huì)和空間，學(xué)生無(wú)法體驗(yàn)推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的樂(lè)趣，也使學(xué)生無(wú)法從根本上實(shí)現(xiàn)自身推理能力的提升?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》倡導(dǎo)推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，推理包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類(lèi)比等推斷某些結(jié)果，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論。人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課本在本冊(cè)導(dǎo)引中指出：在分式這一章你將看到，分式與分?jǐn)?shù)就像姐妹一樣，有很多的特征，將類(lèi)比分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)分式。也就是說(shuō)，分式的概念、性質(zhì)、應(yīng)用等方面的編排都體現(xiàn)了合情推理的思想方法，但是具體的落實(shí)過(guò)程還需要一線教師結(jié)合實(shí)際教學(xué)過(guò)程加強(qiáng)融合。因此，教師要聯(lián)系已有的教學(xué)方式，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知情況，讓合情推理回歸課堂。在分式教學(xué)中有機(jī)融入類(lèi)比、歸納的推理，有利于學(xué)生對(duì)新知識(shí)產(chǎn)生合理性的理解，便于學(xué)生歸納復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

一、合情推理的內(nèi)涵和意義

合情推理，是指人們運(yùn)用自己在日常生活學(xué)習(xí)中獲得或積累的現(xiàn)有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)自身觀察、聯(lián)想、猜想、直覺(jué)、歸納、類(lèi)比、 實(shí)驗(yàn)等，非演繹的（或非完全演繹的）思維形式，構(gòu)作出關(guān)于客體的合乎情理的認(rèn)知過(guò)程。合情推理在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的思維方式，就是歸納推理和類(lèi)比推理。合情推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的科學(xué)運(yùn)用，對(duì)于激活學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)是非常有幫助的。最近幾年的中考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了一些引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合情推理的試題，目的就是要讓學(xué)生不僅要從理論上理解什么是合情推理，更要通過(guò)實(shí)踐運(yùn)用，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等過(guò)程真正體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。

二、類(lèi)比在分式教學(xué)中的融合

類(lèi)比是根據(jù)某兩個(gè)對(duì)象具有一些相同或相似的屬性，其中一個(gè)對(duì)象具有某一屬性，從而推測(cè)另一對(duì)象也具有這一屬性，其實(shí)質(zhì)是從特殊到特殊的推理過(guò)程。初中數(shù)學(xué)知識(shí)是一環(huán)銜接著一環(huán)，例如，在學(xué)習(xí)和探索分式之前，都需要復(fù)習(xí)和聯(lián)系已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的分?jǐn)?shù)，對(duì)分式概念的了解和分式性質(zhì)的掌握做好充分的認(rèn)知準(zhǔn)備，通過(guò)新舊知識(shí)進(jìn)行深入的類(lèi)比，達(dá)到學(xué)習(xí)分式的目的。

1.類(lèi)比在分式基本性質(zhì)教學(xué)中的應(yīng)用

師：復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

師：結(jié)合分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，是否可以類(lèi)比出分式的基本性質(zhì)？

生：可以推出分式的基本性質(zhì)。

師：把全班學(xué)生分為幾個(gè)小組，以小組合作學(xué)習(xí)的形式討論分式的性質(zhì)，從分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類(lèi)比出分式具有哪些性質(zhì)。派小組代表展現(xiàn)小組的思考結(jié)果。

生1：分式的分子和分母同時(shí)乘以一個(gè)不為0的整式，值不變。

生2：分式的分子和分母同時(shí)除以一個(gè)不為0的整式，值不變。

師：同學(xué)們回答得很好，下面我們一起總結(jié)分式的基本性質(zhì)：

分式的分子與分母同時(shí)乘以或者除以一個(gè)不為0的整式，分式的值不變，用式子表示為：

師：分?jǐn)?shù)與分式的基本性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別是什么？

生：分式的分母中含有字母，由于字母可以表示數(shù)，所以可以認(rèn)為分?jǐn)?shù)是分式中的字母取某些值時(shí)的結(jié)果，因而分式更具有一般性，分式的性質(zhì)是分?jǐn)?shù)的性質(zhì)的推廣，因此我們從分?jǐn)?shù)出發(fā)認(rèn)識(shí)分式就是從具體到抽象、從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程。

2.類(lèi)比在分式約分教學(xué)中的應(yīng)用

活動(dòng)1：把下列分?jǐn)?shù)化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：

學(xué)生搶答。

師：分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)的關(guān)鍵是什么？

生：找分子分母的最大公因數(shù)，然后約去。

活動(dòng)2：把下列分式化為最簡(jiǎn)分式：

學(xué)生思考嘗試解答。

師：類(lèi)比分?jǐn)?shù)的約分，你覺(jué)得分式的約分關(guān)鍵是什么？

生：找出分子分母相同的部分，然后約去。

師：思路很清晰！分子分母都是整式，如何去找兩個(gè)整式相同的部分？

生：我想到了公因式。

師：公因式怎么得到？

生：如果分子分母都是整式積的形式，直接提公因式;如果不是整式乘積的形式，先因式分解，再提公因式。

師：非常正確！找到分式約分的方法了嗎？

生：只需要找到分子分母的公因式，然后約去就可以了。

師：非常棒！同學(xué)們借助類(lèi)比自己探索出了分式約分的方法。接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成上述練習(xí)，體會(huì)發(fā)現(xiàn)的喜悅與成就感吧！

3.類(lèi)比在解分式方程教學(xué)中的應(yīng)用

教師：解一元一次方程的解題步驟是哪些？

學(xué)生：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)型、化系數(shù)為1。

化簡(jiǎn)得：3x=4（x-1）

去括號(hào)得：3x=4x-4

移項(xiàng)得：3x-4x=-4

合并同類(lèi)項(xiàng)得：-x=-4，

化系數(shù)為1得：x=4。

教師：讓學(xué)生以觀察、猜測(cè)、分析作為基礎(chǔ)，通過(guò)類(lèi)比、總結(jié)、猜想解分式方程的步驟。

學(xué)生：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)型、化系數(shù)為1。

化簡(jiǎn)得：90（30-v）=60（30+v）

去括號(hào)得：2700-90v=1800+60v

移項(xiàng)得：-90v-60v=-2700+1800

合并同項(xiàng)得：-150v=-900

化系數(shù)為1得：v=6

教材是學(xué)生獲得知識(shí)的重要材料，分式的教學(xué)內(nèi)容中，注重學(xué)生類(lèi)比能力的培養(yǎng)，將類(lèi)比方法貫穿始終。在利用類(lèi)比推理推測(cè)新知識(shí)的過(guò)程中，教師將舊知識(shí)和新知識(shí)的聯(lián)系展現(xiàn)在學(xué)生的眼前，給學(xué)生提供猜想推測(cè)、展示自我的機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生獲得完整的推理體驗(yàn)，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)的印象，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)意識(shí)。

三、歸納在分式教學(xué)中的融合

歸納是觀察和綜合事物或特例的一部分特征和屬性，然后提出一般性結(jié)論和規(guī)律的過(guò)程，也就是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程。在分式的教學(xué)中，教師正確引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)歸納推理的方法，可以幫助學(xué)生培養(yǎng)起合情推理能力，從而達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

1.利用歸納思想導(dǎo)出分式的相關(guān)概念和法則

（1）分式的概念

師：觀察代數(shù)式有什么共同點(diǎn)？學(xué)生觀察后嘗試歸納。

生1：與分?jǐn)?shù)的形式相似。

師：很好！這位同學(xué)通過(guò)類(lèi)比將這類(lèi)型代數(shù)式與分?jǐn)?shù)聯(lián)系起來(lái)！

生2：分子分母上都是整式。

師：說(shuō)得對(duì)！

生3：分母中都含有字母。

師：觀察得非常仔細(xì)！分子上有這樣的限制嗎？

生3：分子是整式即可！

教師請(qǐng)學(xué)生歸納總結(jié)。

生4：分子分母都是整式，分母中含有字母。

教師引出分式概念：

一般地，如果A、B分別表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

（2）分式的加減法則

歸納推理是從特殊到一般的推理，需要有較強(qiáng)的觀察能力、分析能力、類(lèi)比能力。以上的解題過(guò)程先用歸納得到結(jié)論，再分析類(lèi)比的思想，也就是既有歸納推理，又有類(lèi)比推理。

2.利用歸納思想探討分式方程中參數(shù)求值的問(wèn)題

當(dāng)a為何值時(shí)，下列分式方程無(wú)解。

解：分式方程化為整式方程：（a+1）x=25

（1）當(dāng)a+1=0時(shí)，分式方程無(wú)解，a=-1

（2）當(dāng)x=5時(shí)，分式方程無(wú)解，a+1=5，a=4

（3）當(dāng)x=-5時(shí)，分式方程無(wú)解，a=-6

從而歸納出a的值是-6，-1，4時(shí)，分式方程無(wú)解。

在分式教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)分式，綜合歸納題目可能出現(xiàn)的各種情況，加深學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)的銜接，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，縮短學(xué)生解決問(wèn)題的時(shí)間，對(duì)學(xué)生未來(lái)的成長(zhǎng)和發(fā)展有著十分積極的影響。

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