地下水動力學(xué)課程中的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)運(yùn)用

[摘 要]在地下水動力學(xué)教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生存在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠扎實(shí)的問題，在學(xué)習(xí)這門課程時，很難與學(xué)過的數(shù)學(xué)知識聯(lián)系。據(jù)此，通過將教材中用到的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)的梳理，主要包括基本方法、基本理論、數(shù)學(xué)模型及其求解三部分，期望對學(xué)生或從事該課程教學(xué)的教師有所幫助。

[關(guān)鍵詞]地下水;水文地質(zhì);動力學(xué);數(shù)學(xué);基本原理

[基金項(xiàng)目]河北地質(zhì)大學(xué)2018年度校級教學(xué)發(fā)展與改革實(shí)踐項(xiàng)目“地下水動力學(xué)課程教學(xué)資源庫建設(shè)”（2018JF06）

[作者簡介]王超月（1988—），男，博士，河北地質(zhì)大學(xué)水資源與環(huán)境學(xué)院講師，主要從事水文地質(zhì)學(xué)理論與教學(xué)研究。

[中圖分類號] G640[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）45-0-04[收稿日期] 2020-06-12

地下水動力學(xué)是地下水科學(xué)與工程、水文與水資源工程、地質(zhì)工程等專業(yè)本科生的一門基礎(chǔ)理論課。其先修課程有高等數(shù)學(xué)、普通地質(zhì)學(xué)、水文地質(zhì)學(xué)基礎(chǔ)、水力學(xué)等。它是地下水科學(xué)或水文地質(zhì)學(xué)工作者必要的知識儲備，也是地下水?dāng)?shù)值模擬的理論基礎(chǔ)。課程主要講述了地下水運(yùn)動的基本原理以及計算方法。該課程的特點(diǎn)是用到的數(shù)學(xué)知識多，理論性強(qiáng)，并且具有鮮明的實(shí)際應(yīng)用背景。

筆者仔細(xì)翻閱了《地下水動力學(xué)》[1，2]以及《高等數(shù)學(xué)》[3]等教材，并結(jié)合多年授課經(jīng)驗(yàn)，梳理了課程中主要的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)。其中也涉及筆者對一些基本概念的理解，有不當(dāng)之處，懇請讀者給予指正。

一、基本方法

與高等數(shù)學(xué)純數(shù)學(xué)相比，作為專業(yè)課，多了實(shí)際背景。差別首先體現(xiàn)在變量符號的使用上。數(shù)學(xué)里通常用y表示因變量，x表示自變量。而在地下水動力學(xué)課程中，各物理量均有實(shí)際的物理意義，x，y，z用來表示空間自變量，t表示時間自變量，H，p，v分別表示地下水水頭、壓力、滲流速度（來源于相應(yīng)英文單詞首字母），它們是時空變量的函數(shù)，如H（x，y，z，t）。各物理量所用符號一般與國內(nèi)或國際慣例一致。這也方便了后期深入研究以及學(xué)習(xí)外文著作。

（一）極限與導(dǎo)數(shù)

1.極限。為了宏觀上研究地下水，提出滲流理論，引入了典型單元體（或典型體元，REV）的概念，假想水流充滿整個空間，不考慮巖土顆粒的存在，使得孔隙度（n）、水頭（H）、水壓（p）以及滲流速度（v）等在任意點(diǎn)P（x，y，z）處都有恒定的值，并且空間上具有連續(xù)性。典型單元體是使取樣平均性質(zhì)穩(wěn)定的最小體積，在宏觀上其值很小，可以想象其包含有限顆粒（如1000個）。如任意P點(diǎn)孔隙度定義為

含義即為在含水層中以P點(diǎn)為中心，取樣體積逐漸減小至典型單元體時，計算的孔隙體積與土樣體積的比值。

2.求導(dǎo)運(yùn)算。課程中涉及的求導(dǎo)公式一般為簡單的四則運(yùn)算，如地下水的狀態(tài)方程中：

二、基本理論

（一）特殊函數(shù)

教材上涉及的特殊函數(shù)主要有兩類，一類是在數(shù)學(xué)上普遍應(yīng)用的，在數(shù)學(xué)手冊上可以查到具體表達(dá)式，如Bessel函數(shù)、虛宗量Bessel函數(shù)、（余）誤差函數(shù)、伽馬函數(shù)、雙曲函數(shù)等。另外一類是在水文地質(zhì)方面特有的函數(shù)，如井函數(shù)W（u）、不考慮弱透水層彈性釋水時越流系統(tǒng)的井函數(shù)W（u，r/B）、考慮弱透水層彈性釋水時越流系統(tǒng)的井函數(shù)H（u，β）、無壓含水層中完整井的井函數(shù)W（ua，y，r/D）等。它們均具有特定的表達(dá)式，可以做成數(shù)據(jù)表，利用配線法反求水文地質(zhì)參數(shù)時，被用作標(biāo)準(zhǔn)曲線。

（二）極值與最小二乘法

在尋求實(shí)際抽水流量與降深關(guān)系時，可以嘗試經(jīng)驗(yàn)公式。求解思路是找流量—降深的“線性關(guān)系”。將觀測數(shù)據(jù)畫到坐標(biāo)圖上，首先觀察Q-sw是否呈線性關(guān)系，若不是，觀察～Q，lgQ～lgsw，Q～lgsw是否呈線性關(guān)系，即分別對應(yīng)流量與水位降深關(guān)系為直線、拋物線、冪函數(shù)曲線以及對數(shù)曲線幾種常用形式。確定曲線類型后，可以利用最小二乘法求得未知參數(shù)。最小二乘法屬于函數(shù)微分的應(yīng)用，殘差平方和（目標(biāo)函數(shù)）最小時的待定系數(shù)即為最優(yōu)參數(shù)。求最小值時令目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)為零，通過求解方程或方程組最終得到最佳擬合參數(shù)。實(shí)際應(yīng)用時可以通過EXCEL添加趨勢線的方式獲得最佳參數(shù)。

（三）梯度與水力坡度

由于地下水流場的連續(xù)性，水頭H（x，y，z）在任意點(diǎn)P（x，y，z）具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，梯度即為

一致。y是關(guān)于x的函數(shù)，是關(guān)于的函數(shù)，a、b是常數(shù)，所以曲線的形狀與y-x曲線的形狀完全相同，只是沿水平方向上平移了a，沿垂向上平移了b。需要注意的是，Theis公式的配線法是在雙對數(shù)坐標(biāo)下的。因此，需將觀測數(shù)據(jù)繪制于與W（u）-1/u標(biāo)準(zhǔn)曲線相同模數(shù)的雙對數(shù)坐標(biāo)紙上，兩曲線重合后，取任意匹配點(diǎn)，讀取相應(yīng)兩組坐標(biāo)值，帶回公式，即可求導(dǎo)水系數(shù)T與貯水系數(shù)S。

（五）張量

向量可以表示有方向和幅度的物理量，比如力、加速度。各向同性介質(zhì)的滲透系數(shù)是一個標(biāo)量，而各向異性介質(zhì)的滲透系數(shù)較復(fù)雜一些，任意點(diǎn)的滲透系數(shù)與方向有關(guān)，用向量不能夠表示。這時需要用張量表示滲透系數(shù)，在三維空間里，滲透系數(shù)是2階張量，含32個數(shù)字，是3×3的矩陣。

張量是向量的拓展，向量是1階張量，同一物理量不同的張量形式，可以看作是不同坐標(biāo)系下的線性變換。幸運(yùn)的是，在一般介質(zhì)中，總存在相互垂直的三個主方向上的滲透系數(shù)，可以用K1，K2，K3表示，當(dāng)介質(zhì)的滲透系數(shù)主方向與我們所選坐標(biāo)系三軸分別平行時，此時滲透系數(shù)張量變?yōu)閷蔷仃?，滲透流速計算大大簡化，，，。而介質(zhì)滲透系數(shù)主方向與坐標(biāo)系三軸方向不一致時，可不可以把坐標(biāo)系改一下呢？我們在研究某個問題時，坐標(biāo)系往往已經(jīng)確定了，即水平方向上是x軸、y軸，垂向上是z軸，這也是我們計算水頭以及水力坡度的依據(jù)，坐標(biāo)系的位置不能僅考慮介質(zhì)的需求。此時，K1，K2，K3依然是介質(zhì)三個主方向上的滲透系數(shù)，只不過與坐標(biāo)軸不重合，為了計算滲流速度，需要采用滲透系數(shù)張量的一般形式。

三、數(shù)學(xué)模型及其求解

（一）模型假設(shè)

數(shù)學(xué)模型的建立均基于各種假設(shè)，這些假設(shè)也是其應(yīng)用的前提。模型假設(shè)是普遍存在的，假設(shè)的提出往往極大地簡化了實(shí)際問題，最終服務(wù)于問題的解決。

如Dupuit假設(shè)的提出使?jié)撍孢吔鐔栴}的處理簡單化。假設(shè)潛水面比較平緩，等水頭面鉛直，水流基本上水平，可忽略速度的垂直分量，同一鉛直剖面各點(diǎn)的水力坡度和滲透速度相等，使三維問題（x，y，z）降階為水平二維（x，y）問題處理;使剖面二維流問題（x，z）降階為水平一維問題近似處理;Dupuit假設(shè)使?jié)撍孢吔缰苯咏频卦谖⒎址匠讨刑幚?。該假設(shè)忽略了滲流速度的垂直分量，然而，在垂向分速度較大的地段，則不能采用。

又如在推導(dǎo)承壓水運(yùn)動的基本微分方程時，假設(shè)：（1）水流服從Darcy定律;（2）K不隨ρ=ρ（p）的變化而變化;（3）Ss和K也不受n變化的影響;（4）含水層側(cè)向無壓縮，只有垂直方向的壓縮，于是得到各向同性介質(zhì)中承壓水非穩(wěn)定運(yùn)動的基本微分方程：

除以上假設(shè)外，還假設(shè)：（5）水基本上是垂直地通過弱透水層，在主含水層中基本上是水平流動的;（6）忽略弱透水層本身釋放的水量。另外，該方程實(shí)際反映的是承壓含水層的平面二維運(yùn)動。

（二）偏微分方程與定解條件

1.偏微分方程。高等數(shù)學(xué)中只有偏導(dǎo)數(shù)以及常微分方程的知識，對沒有學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)物理方程等相關(guān)課程的學(xué)生，初次遇見偏微分方程可能引起學(xué)生的恐慌。因此，課程教學(xué)中需要向?qū)W生說明偏微分方程的特點(diǎn)。如承壓水非穩(wěn)定運(yùn)動的偏微分方程（26）是二階偏微分方程，H是關(guān)于時空變量x，y，z，t的函數(shù)。滲透系數(shù)K當(dāng)在括號內(nèi)的時候，表示可以是隨空間變化的，即K（x，y，x）表示非均質(zhì)介質(zhì)。

2.定解條件僅給出偏微分方程，只能描述水流的一般規(guī)律，還不能確定具體的運(yùn)動狀態(tài)，該方程也稱為泛定方程。如果附加一些條件后，就能完全確定具體運(yùn)動狀態(tài)，稱這樣的條件為定解條件。表示開始情況的附加條件稱為初始條件，表示在邊界上受到約束的條件稱為邊界條件[4]。偏微分方程與定解條件一起構(gòu)成數(shù)學(xué)問題或者數(shù)學(xué)模型，能夠得到確切的解。在高等數(shù)學(xué)中，類似有常微分方程的定解問題

只不過這里變成了偏微分方程，增加了變量。偏微分方程與定解條件構(gòu)成“方程組”，在滿足解的存在且唯一的條件下，最終求解出H（x，y，z，t）。

3.柱坐標(biāo)變換。在均質(zhì)各向同性含水層中抽水時，形成的地下水降落漏斗中心對稱，通過采用柱坐標(biāo)變換，可將空間三維流問題降階為二維流問題，大大降低了模型的求解難度。

（三）微分方程的求解

課程中二階常微分方程的定解問題求解相對簡單，如河渠間地下水的穩(wěn)定運(yùn)動，地下水向完整井的穩(wěn)定運(yùn)動等。二階偏微分方程的定解問題略微復(fù)雜，不同院校對本科生的要求可能不同?？傮w上講，教材中有推導(dǎo)過程的數(shù)學(xué)模型，如河渠間地下水的非穩(wěn)定運(yùn)動數(shù)學(xué)模型的線性化、承壓含水層完整井流Theis公式的推導(dǎo)等，容易理解些，讓學(xué)生學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)方法也十分有益。其他一些比較復(fù)雜模型，如：定降深井流計算;有越流補(bǔ)給的完整井流;有弱透水層彈性釋水補(bǔ)給和越流補(bǔ)給的完整井流;潛水完整井等的解析解推導(dǎo)過程一般涉及比較復(fù)雜的積分變換及逆變換，對于沒有學(xué)過復(fù)變函數(shù)與積分變換、數(shù)學(xué)物理方程等相關(guān)課程的同學(xué)往往有很大困難，可根據(jù)個人興趣，查找相關(guān)文獻(xiàn)學(xué)習(xí)。

（四）疊加原理

對于由線性偏微分方程和線性定解條件組成的定解問題，可以運(yùn)用疊加原理。疊加原理在教材中多次用到，如河渠水位變化時，河渠間地下水的非穩(wěn)定運(yùn)動;地下水向干擾井群的穩(wěn)定運(yùn)動;均勻流中的井;階梯降深抽水試驗(yàn);流量變化時的Theis計算公式;水位恢復(fù)試驗(yàn);地下水向邊界附近井的運(yùn)動;不完整井的運(yùn)動等。

對于未知函數(shù)和它的各階偏導(dǎo)數(shù)都是線性的方程稱為線性偏微分方程。如

為線性偏微分方程。當(dāng)右端f（x，y）=0時，方程叫作齊次的。

在高等數(shù)學(xué)中有類似定理：如果函數(shù)y1（x）與y2（x）是方程的兩個解，那么y=C1y1（x）+C2y2（x）也是方程的解，C1、C2是任意常數(shù)。該定理推廣到偏微分方程同樣適用。關(guān)于疊加原理的更多介紹可參考Jacob Bear的專著[5，6]。

四、結(jié)語

雖然在教材中涉及的數(shù)學(xué)知識比較多，但基本都是數(shù)學(xué)中比較基礎(chǔ)的內(nèi)容。教學(xué)過程中，應(yīng)針對學(xué)生可能的薄弱環(huán)節(jié)重點(diǎn)講解。教學(xué)中還應(yīng)盡量借助軟件技術(shù)、數(shù)值方法、編程技術(shù)等，使理論的知識“活”起來，比如增加動態(tài)或者立體展示，增加學(xué)習(xí)過程中的可操作性。另外，課程中的一些經(jīng)典推導(dǎo)可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。需要指出的是，雖然隨著科技的進(jìn)步，數(shù)值模擬技術(shù)日益成熟、精進(jìn)，但數(shù)值模擬技術(shù)的熟練運(yùn)用依然有賴于扎實(shí)的理論知識。更重要的是，數(shù)學(xué)作為學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基本工具，借此課程強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要意義。

參考文獻(xiàn)

[1]薛禹群，吳吉春.地下水動力學(xué)[M].北京：地質(zhì)出版社，2010.

[2]陳崇希，林敏.地下水動力學(xué)[M].北京：地質(zhì)出版社，2011.

[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社， 2002.

[4]《數(shù)學(xué)手冊》編寫組.數(shù)學(xué)手冊[M].北京：高等教育出版社， 1979.

[5]Bear，J.Hydraulics of Groundwater.McGraw-Hill Publishing，New York，1979.

[6]Bear，J.Dynamics of Fluids in Porous Media.Dynamics of Fluids in Porous media.American Elsevier Pub.Co.，1972.

The Application of Basic Mathematics in the Course of Groundwater Dynamics

WANG Chao-yue

（School of Water Resources and Environment， Hebei GEO University， Shijiazhuang， Hebei 050031， China）

Abstract： In the course of Groundwater Dynamics teaching， it is found that many students have the problem that the mathematical foundation is not solid enough. During the study of this course， it is difficult for students to connect with the mathematics knowledge they have learned. For this reason， the mathematics knowledge used in the textbooks are summarized systematically. It mainly includes basic methods， basic theories， mathematical models and their solutions. It is expected to be helpful to the students or teachers engaged in the course.

Key words： groundwater; hydrogeology; Dynamics; mathematics; basic principles