高等數(shù)學與概率統(tǒng)計教學無縫銜接的研究與實踐*

薛美玉 梁飛豹 呂書龍 周 勇 游 華

（福州大學 數(shù)學與計算機科學學院，福建 福州 350108）

一、引言

馬克思曾說過，一門科學只有成功地運用數(shù)學時，才算達到了真正完善的地步。高等數(shù)學（以下簡稱“高數(shù)”）和概率論與數(shù)理統(tǒng)計（以下簡稱“概率”）是數(shù)學領(lǐng)域的兩大分支，其授課對象是理、工、經(jīng)管類等除數(shù)學專業(yè)外的絕大部分本科生。這兩門課的理論和方法與人類活動的各個領(lǐng)域都有不同程度的關(guān)聯(lián)。兩門課程關(guān)系密切，高數(shù)是概率的基礎(chǔ)，概率是高數(shù)的延伸與拓展［1］。

目前高數(shù)任課教師和概率任課教師是“鐵路警察，各管一段”，鮮見兩門課程有效銜接的做法。學生在學習高數(shù)時不能預見相關(guān)知識對概率的作用，在學習概率時由于高數(shù)基礎(chǔ)不牢固，而概率任課教師出于學時的限制，往往無暇回顧高數(shù)的相關(guān)基礎(chǔ)知識，學生便覺得概率晦澀難懂，產(chǎn)生畏難情緒，進而失去學習的興趣。這是概率課程不及格率居高不下的一個原因。長此以往，非常不利于基礎(chǔ)數(shù)學學科的健康發(fā)展、數(shù)學思想的廣泛普及和數(shù)學素養(yǎng)的整體提升。

為此，課程組基于高數(shù)與概率教學脫節(jié)的現(xiàn)狀，從課程思想、教學方法、教學內(nèi)容、學習方法和師資隊伍五個方面，開展兩門課程教學無縫銜接研究，提出各方面的銜接策略，并收集了某高校人文學院和經(jīng)濟管理學院共八個專業(yè)兩門課程多年的考試成績等數(shù)據(jù)，進行實證分析。

二、教學無縫銜接的策略

（一）課程思想的銜接

眾所周知，概率的大廈是建筑在高數(shù)的地基之上的。高數(shù)的思想滲透到概率的方方面面，并直接指導概率中相關(guān)概念和相關(guān)理論的建立，從集合到隨機事件，從積分到概率密度，從級數(shù)到數(shù)學期望，從極限到中心極限定理，積分思想和極限思想在概率中可以說是貫穿始終的。沒有高數(shù)的推動，就沒有概率的公理化與系統(tǒng)化，概率就難以形成一門獨立的學科［2］。

作為確定性數(shù)學典型代表的高數(shù)，其對概率的指導、滲透與推動決定了概率的確定論特征。但作為高數(shù)的后續(xù)課程，概率并沒有按高數(shù)的思維方法發(fā)展下去，而是另辟蹊徑，挖掘隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，最終成為隨機數(shù)學的典型代表，具備了與高數(shù)相當?shù)牡匚?。完全由確定性與隨機性決定的當今世界，凸顯了高數(shù)與概率的時代精神。

高數(shù)滲透到概率的方方面面，而概率滲透到現(xiàn)代生活的方方面面，拉普拉斯說：“對于生活中的大部分，最重要的問題實際上只是概率問題”。兩門課程的任課教師應(yīng)該做好以上課程思想的銜接，使學生體會數(shù)學“源于生活、用于生活、高于生活”的思想，讓學生明白所學知識與日常生活、自然和社會的密切聯(lián)系，以便能夠?qū)W以致用，知行合一。這也是數(shù)學課程的終極目標。

（二）教學方法的銜接

二十一世紀的今天，社會已經(jīng)由重視科學技術(shù)為主發(fā)展到以人為本的時代。教師要堅持以學生為本［3］，圍繞如何讓學生“樂意學、高效學”進行。

尤其是對于高數(shù)和概率等高度抽象的學科，兩門課程的任課教師更應(yīng)改變知識單一的灌輸模式，采用科學的教學手段，通過啟發(fā)式的演繹講解、循序漸進的分析推導，結(jié)合案例式教學［4］、討論式教學、問題驅(qū)動教學［5］、現(xiàn)代教育技術(shù)的綜合運用，實現(xiàn)理論與實踐、共性與個性、知識與能力的最佳平衡。

高數(shù)任課教師對概率所教內(nèi)容的了解是不可或缺的。高數(shù)任課教師應(yīng)該向剛進入大學的學生做好基礎(chǔ)學科導論工作，強調(diào)高數(shù)對于概率和其他課程的影響，在整個基礎(chǔ)學科的視角上正確認識高數(shù)課程，立足于數(shù)學學科的整體性，采用科學的教學方法，幫助學生有效銜接概率等后續(xù)課程。概率任課教師也應(yīng)了解高數(shù)的內(nèi)容，并在新課程開始之前，調(diào)查學生所熟悉的教學方法，基于調(diào)查結(jié)果，選擇有效銜接的教學方法，有利于獲得學生的認同感，也有利于學生新舊知識的銜接。以此為基礎(chǔ)，使得教師的教學方法更有效地得到實施。

傳統(tǒng)教育向現(xiàn)代教育的重要轉(zhuǎn)型之一，就是實現(xiàn)由知識性教育向創(chuàng)造力教育的轉(zhuǎn)變。教師的任務(wù)是教會學生正確運用創(chuàng)造性思維解決實際問題的方法，某種意義上，這比知識本身更重要。如圖1所示，高數(shù)和概率的任課教師應(yīng)該鼓勵學生在解題時使用發(fā)散思維，綜合運用高數(shù)與概率方法，一題多解，還能由多種解法中高度概括、訓練收斂思維，又能靈活轉(zhuǎn)化高數(shù)與概率的語言，培養(yǎng)聯(lián)想思維。訓練和培養(yǎng)這些思維能力是實現(xiàn)創(chuàng)造創(chuàng)新的重要途徑。

圖1 創(chuàng)造性思維在聯(lián)動課程的銜接

（三）教學內(nèi)容的銜接

課程思想是教學內(nèi)容的方針，教學方法是教學內(nèi)容的先導，思想與方法指引著內(nèi)容的方向。表1按概率課程的教學順序，列出了概率知識點與高數(shù)知識點之間的對應(yīng)關(guān)系。可見高數(shù)與概率教學內(nèi)容聯(lián)系密切，教學內(nèi)容銜接很有必要。

由表1可知，高數(shù)各知識點貫穿概率課程始終。

高數(shù)任課教師應(yīng)該向?qū)W生傳遞，被積函數(shù)含有指數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)乘積的積分，在概率課程中占有重要的一席之地，應(yīng)該認真掌握。湊微分法、分部積分法和極坐標變換法是概率中經(jīng)常使用的積分方法，必須重點講述。無窮限的反常積分和無窮限的二重積分在高數(shù)中若較少涉及，將形成概率課程的一大學習障礙。由于概率中的概率密度一般是分段函數(shù)，分布函數(shù)又是概率密度的變上限積分，所以高數(shù)任課教師應(yīng)該加強分段函數(shù)和變上限積分的教學。此外，無窮級數(shù)求和與離散型隨機變量的相關(guān)知識密不可分。正如前文所言，高數(shù)是概率的基礎(chǔ)。高數(shù)基礎(chǔ)不牢，概率大廈將倒！

概率任課教師一方面可以用高數(shù)內(nèi)容作為教學銜接的素材，例如集合的關(guān)系和運算與隨機事件的關(guān)系和運算的銜接自然又和諧；又如講隨機變量的數(shù)學期望時，可以從無窮級數(shù)和反常積分的斂散性導入；再如講最大似然估計時，免不了提及最值理論。使學生在加深理解新知的同時，復習了幾乎休眠的舊知。另一方面，概率任課教師還可以有意識地引導學生用概率的方法去解決高數(shù)問題，比如被積函數(shù)含有指數(shù)函數(shù)的積分計算和一些幾何級數(shù)的求和，可以引導學生巧妙引入正態(tài)分布、指數(shù)分布和幾何分布等常見分布，給傳統(tǒng)解題另辟蹊徑。與其苦口婆心地強調(diào)常見分布的重要性，不如讓學生自己體會它們的魔力與美妙，從而產(chǎn)生學習的熱情和動力。

（四）學習方法的銜接

任何一門課程，教師雖是主導，學生仍是主體。學生應(yīng)該自主學習，養(yǎng)成良好的學習習慣，保證預習、聽課、復習、練習四部曲。培根說：“過于求速是做事的最大危險之一”。學習知識應(yīng)該循序漸進，不可急于求成，以便保持持久的求知動力。探索將來專業(yè)課和職業(yè)對高數(shù)、概率等基礎(chǔ)課的需要，需要是保持興趣的引力，興趣又是最好的老師。

溫故而知新。在學習概率的過程，學生要不斷復習高數(shù)中的相關(guān)知識，總結(jié)二者之間的聯(lián)系。比如學習一維連續(xù)型隨機變量時，要復習定積分；學習二維連續(xù)型隨機變量時，要復習二重積分；學習數(shù)字特征時，要復習無窮級數(shù)。

學而不思則罔。學生要同時積極思考高數(shù)與概率知識之間的區(qū)別。比如，概率中只要有連續(xù)型隨機變量的地方，就有積分的影子。但概率中積分與高數(shù)有所不同：高數(shù)的被積函數(shù)多是初等函數(shù)，概率則一般是以分段函數(shù)形式出現(xiàn)的概率密度；高數(shù)中通常是有限區(qū)域的積分，而概率多是無窮限的反常積分；高數(shù)積分關(guān)于參數(shù)的討論較少，概率則一般要討論參數(shù)的取值。

《禮記·學記》說：“雖有嘉肴，弗食，不知其旨也；雖有至道，弗學，不知其善也?！币馑际乔髮W過程要多鉆研［6］88-90。 在學習過程中，學生除了體會高數(shù)和概率互相滲透的課程思想、適應(yīng)教師的教學方法、挖掘相互聯(lián)系的知識內(nèi)容外，還應(yīng)多關(guān)注數(shù)學史和數(shù)學家史［7-8］，鉆研問題的由來過程和結(jié)論的探索過程，力求把其還原或模擬，更重要的是通過前人的啟發(fā)，大膽猜想并論證有關(guān)結(jié)論。這樣，知其然更知其所以然，形成了完善的思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了創(chuàng)造性思維和數(shù)學能力。

高數(shù)是大學生入學接觸到的第一門基礎(chǔ)課，它學時長、內(nèi)容廣、理論深［9］。為了樹立學習信心，掃除學習心理障礙，學生應(yīng)特別認真學習高數(shù)。高數(shù)成績?nèi)绻?，將極大影響概率學習。學生應(yīng)盡量不讓這兩門重要的基礎(chǔ)課成為畢業(yè)、考研、就業(yè)的阻礙。

（五）師資隊伍的銜接

教師是課堂教學的組織者。高數(shù)和概率兩門課程的任課教師要發(fā)揮教學的主導作用，離不開師資隊伍的良好銜接。

高數(shù)任課教師和概率任課教師教學上不能是“鐵路警察，各管一段”，既不問來路，也不問去向。兩個課程組的教師們應(yīng)該加強溝通，經(jīng)常探討。比如高數(shù)中的極限、積分、微分以及級數(shù)在概率中的應(yīng)用，概率的規(guī)范性、概率密度的性質(zhì)、常見隨機變量的分布以及數(shù)字特征在高數(shù)中的應(yīng)用。定期舉辦教學沙龍、教學研討等活動，對重難點問題，召開專題討論會，讓高數(shù)思想與概率思想有機地碰撞。一方面加強教師之間的聯(lián)系，另一方面交流中將產(chǎn)生更多的教研教改機會，教帶動研，研產(chǎn)生改，改促進教。

要加強高數(shù)和概率之間的聯(lián)動，讓獨立的兩門公共基礎(chǔ)課的教學無縫銜接，教師應(yīng)該同時熟悉高數(shù)和概率的內(nèi)容。遺憾的是，許多教師常年只講授高數(shù)或只講授概率。高數(shù)任課教師不懂概率的需求，概率任課教師也不懂高數(shù)的功效。高數(shù)和概率兩門課程的教學過程猶如兩列互不干擾的并行火車，談何銜接？比較可行的是讓教師同時或輪流肩負高數(shù)和概率的教學。

《禮記·學記》中說：“教然后知困”“知困，然后能自強也”。教師在教學過程中會發(fā)現(xiàn)自己的各種不足，應(yīng)該不斷學習調(diào)研，學習先進的教學理念、采用先進的教學手段，并依據(jù)學習理論開展教學［10］。據(jù)了解，會使用數(shù)學軟件的基礎(chǔ)課教師寥寥無幾。教師應(yīng)該學習數(shù)學軟件，利用數(shù)學思想設(shè)計試驗、建立模型，使抽象的數(shù)學知識得以直觀地體現(xiàn)，如此才能不負信息技術(shù)時代，與學生學習模式保持同步，做到與時俱進。

三、教學無縫銜接的實證分析

（一）成績關(guān)系初探

基于上述聯(lián)動課程教學無縫銜接的策略，調(diào)查某高校2015級、2016級人文學院和經(jīng)濟管理學院共431位學生，其中人文學院調(diào)查的是大學錄取分數(shù)線相對較低的應(yīng)用心理學、社會學兩個專業(yè)共192位學生，經(jīng)濟管理學院調(diào)查的是大學錄取分數(shù)線相對較高的金融、經(jīng)濟學、會計學、國際經(jīng)濟與貿(mào)易四個專業(yè)共239位學生，獲取他們高數(shù)上、下冊和概率的期末統(tǒng)考卷面成績。鑒于高數(shù)有一冊不及格而上下冊平均成績及格的同學占比不到十分之一，為了簡單起見，以下分析過程使用的高數(shù)成績是上下冊的平均成績。

首先，對高數(shù)成績與概率成績進行皮爾森相關(guān)性檢驗［11］，結(jié)果見表2。

表2 高數(shù)成績與概率成績的相關(guān)性檢驗

從相當小的檢驗p值得知，確實如前文所述，高數(shù)成績與概率成績是明顯不獨立的。但相關(guān)系數(shù)又不是非常大，說明用線性關(guān)系還不足以描述二者之間的關(guān)系。

接著，進一步挖掘高數(shù)成績與概率成績的關(guān)系，計算相關(guān)數(shù)據(jù)如表3。

表3 高數(shù)成績與概率成績關(guān)系初探

假設(shè)隨機事件A表示“學生高數(shù)上下冊平均分及格”，隨機事件B表示“學生概率及格”，由上表知道，P（A）＝21.58%，P（B）＝39.91%，P（B｜A）＝77.42%，P（A｜B）＝91.89%。 另外還可以計算得到P（AB）＝4.87%，P（AB）＝23.20%。

從第一對指標可見，概率的不及格率遠高于高數(shù)的不及格率，這是概率比高數(shù)難造成的嗎？是概率任課教師不如高數(shù)任課教師盡責嗎？是學生學習概率不如學習高數(shù)認真嗎？其實不盡然，兩門課程的成績有極明顯的聯(lián)動效應(yīng)。由第二對指標發(fā)現(xiàn)，在高數(shù)不及格的條件下，概率不及格的比例高達77.42%；在概率及格的條件下，高數(shù)及格的比例高達91.89%。如果學生的高數(shù)不及格，其概率也很可能不及格，如果學生的概率及格，其高數(shù)基本上已經(jīng)順利過關(guān)。第三對指標則說明，高數(shù)不及格概率卻及格的學生遠少于高數(shù)及格概率卻不及格的學生。進一步證實了，如果學生的高數(shù)不及格，又不及時復習高數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，其概率幾乎不太可能及格；即使高數(shù)及格了，如果忽略兩門課程的關(guān)系，概率仍有較大可能不及格?？梢姼邤?shù)不及格引起概率不及格的關(guān)聯(lián)度大于高數(shù)及格使得概率及格的關(guān)聯(lián)度［12］。在數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上，表明高數(shù)是概率的基礎(chǔ)。

從表3還發(fā)現(xiàn)，雖然人文學院學生的數(shù)學基礎(chǔ)遠不如經(jīng)濟管理學院，但在這兩門課程的成績上，差距較大的只是絕對指標，經(jīng)濟管理學院的學生兩門課程的不及格率比人文學院的低了20%左右，而相對指標卻幾乎無異，兩個學院高數(shù)不及格的學生中都有七八成概率不及格，概率及格的同學中都有八九成是高數(shù)已經(jīng)過關(guān)。這將啟發(fā)我們進行教學評價時，不能只盯著不及格率，還應(yīng)該看教學轉(zhuǎn)化率。

所以，教師和學生一定要充分認識兩門課程的聯(lián)動效應(yīng)。學生為學好概率打好必備的高數(shù)基礎(chǔ)，鞏固高數(shù)的同時又學好概率。教師在提升概率教學效果的同時，還反過來促進高數(shù)的教學。這正與上文強調(diào)的無縫銜接教學觀一致。

（二）無縫銜接教學實踐

筆者常年講授大學數(shù)學公共基礎(chǔ)課，經(jīng)過三年的數(shù)據(jù)跟蹤分析后，于2018—2019學年上學期，以該校2017級數(shù)學基礎(chǔ)較差的風景園林專業(yè)和數(shù)學基礎(chǔ)較好的財政學專業(yè)學生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程為試點，從上文提及的五個方面踐行兩門課程的無縫銜接教學觀。表4是這兩個專業(yè)學生的高等數(shù)學和概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末統(tǒng)考的各項數(shù)據(jù)。

表4 無縫銜接教學的實踐

可見，踐行了聯(lián)動課程的無縫銜接教學觀后，學生概率的平均分大幅提高。相比高數(shù)28.57%的不及格率，概率的不及格率降低了很多。值得一提的是，同期全校的概率不及格率高達35.22%，平均分為58.30。此外，一些學生由于高數(shù)成績差或數(shù)學基礎(chǔ)薄弱，產(chǎn)生畏懼概率的心理。故教師特別關(guān)注高數(shù)成績不及格的同學，在概率學習的全過程，督促他們復習回顧高數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，并提供必要的幫助。最終，這些同學中概率不及格的不足1／5，打破了實施無縫銜接教學觀之前“高數(shù)不及格的絕大部分同學，概率也將不及格”這個魔咒。因此，教師在教學中要因材施教，關(guān)注學生的差異性，尋求共性與個性的平衡。

綜上，聯(lián)動課程無縫銜接教學觀的實施，極大地降低了課程的不及格率，提高了平均分，大大提升了教學效果。這樣的教學是顯著有效的，不僅為后續(xù)專業(yè)課程打下必備基礎(chǔ)，而且能改變高數(shù)和概率成為許多學生畢業(yè)障礙的局面，切實提高學生的畢業(yè)率、考研率、就業(yè)率。事實上，這樣的無縫銜接教學觀可以推廣應(yīng)用到一切聯(lián)動課程中。

四、結(jié)語

提高高等學校人才培養(yǎng)質(zhì)量，是世界各國面向二十一世紀高等教育改革共同思考的主題［6］88-90，也是高等教育永恒的主題。 高等數(shù)學與概率統(tǒng)計教學上應(yīng)該無縫銜接，是這個主題下的真命題。

要實現(xiàn)高等數(shù)學與概率統(tǒng)計教學的無縫銜接，課程思想的銜接是前提，教學方法的銜接是關(guān)鍵，教學內(nèi)容的銜接是起點，學習方法的銜接是支撐，師資隊伍的銜接是保證。兩門課程的任課教師要齊心協(xié)力，求真務(wù)實，避免學生對數(shù)學基礎(chǔ)課學習的“硬起飛”，扎扎實實地推進聯(lián)動課程的教學無縫銜接，實現(xiàn)學生在數(shù)學基礎(chǔ)課的學習上“軟著陸”，才能順利實現(xiàn)數(shù)學教育的貫通和協(xié)調(diào)發(fā)展。