一類具有時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階SIS 模型的穩(wěn)定性分析

蒲武軍

近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，分?jǐn)?shù)階計(jì)算引起了許多學(xué)者的關(guān)注，并已經(jīng)成功應(yīng)用到許多工程技術(shù)領(lǐng)域［1-2］，特別是許多應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者正在用分?jǐn)?shù)階計(jì)算模擬現(xiàn)實(shí)過(guò)程［3-5］.HETHCOTE 討論了一類經(jīng)典的傳染病模型［6］.CHEN 討論了該模型格動(dòng)力系統(tǒng)行波解的存在性［7］.鄭義討論了該模型在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)意義下各類平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性［8］.然而，傳染病有一定的潛伏期.如新冠肺炎部分個(gè)體潛伏期達(dá)14 天之久.因此，討論具有時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階傳染病模型具有十分重要的意義［9-10］.基于此，本文考慮如下具有時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階傳染病模型.

其中：α(0＜α≤1)是方程（1）的階數(shù)，S(t)，I(t)分別表示易感者和感染者在時(shí)刻t時(shí)占總?cè)丝诘谋壤?，β稱為日接觸率，μ表示單位時(shí)間內(nèi)人口的常數(shù)輸入率，γ表示疾病的恢復(fù)率，τ表示疾病的潛伏期.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［11］設(shè)α∈R+，函數(shù)f(x) ∈L1(0,t)，t＞0，則 函數(shù)f(x)的α階Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階積分定義為：

定 義2［11］函 數(shù)f(x) 的α∈(n- 1,n) 階Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為：

引理1［12］考慮下面具有Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非線性微分方程

其中：α∈(0,1]，X(t) ∈Rn，則系統(tǒng)（4）的特征方程為|sαE-A|= 0.A為函數(shù)f(X(t))在系統(tǒng)（4）的平衡點(diǎn)處的雅可比矩陣.若特征方程限制在-π＜arg(s) ≤π 內(nèi)的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)（4）的零解局部漸近穩(wěn)定.特別地，令sα=λ，則上式變?yōu)閨λE-A|= 0.此時(shí)系統(tǒng)（4）的平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定的充要條件為

引理2［13］考慮下面具有Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非線性時(shí)滯微分方程

其中：α∈(0,1],X(t) ∈Rn,τ≥0，則系統(tǒng)（5）的 特 征 方 程 為|sαE-A-Be-sτ|= 0.A，B分別為函數(shù)平衡點(diǎn)f(X(t))和g(X(t))在系統(tǒng)（5）的平衡點(diǎn)處的雅可比矩陣.若特征方程限制在-π＜arg(s) ≤π 內(nèi)的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)（5）的零解局部漸近穩(wěn)定.

2 主要結(jié)果

2.1 平衡點(diǎn)與基本再生數(shù)

由系統(tǒng)（1）的第一個(gè)方程可知，當(dāng)疾病不存在時(shí)，隨著時(shí)間的變化該地區(qū)的總?cè)丝跀?shù)量最終趨于1.因此系統(tǒng)（1）的任意解將進(jìn)入或停留在區(qū)域D中，其中

區(qū)域D是系統(tǒng)（1）的正不變集.顯然系統(tǒng)（1）總存在一個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn)E0(1,0).利用下一代生成矩陣的方法可得基本再生數(shù)R0=

定理1 若R0＞1，則系統(tǒng)（1）存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E*，若R0＜1，則系統(tǒng)（1）不存在地方病平衡點(diǎn).

證明 顯然，系統(tǒng)（1）的地方病平衡點(diǎn)E*應(yīng)滿足如下方程組

2.2 解的存在性與非負(fù)性

定理2 對(duì)任意的(S0,I0) ∈Ω，則系統(tǒng)（1）存 在 唯 一 解X= (S,I) ∈Ω，其 中 Ω={(S,I) ∈R2:max{|S|,|I|} ≤K}.

證明 定義映射f(X)= (f1(X),f2(X))，其中

對(duì)

因此，f(X)關(guān)于X滿足Lipschitz 條件，由文獻(xiàn)［14］的定理3.7 易知系統(tǒng)（1）存在唯一解X(t).

定理3 系統(tǒng)（1）任意始于D的解是非負(fù)的.

由式（6），并結(jié)合系統(tǒng)（1）的第一個(gè)方程，易知DαS(t1)|S(t1)=0=μ.根據(jù)文獻(xiàn)［15］的定理1 易 得這 與矛 盾.因 此，S(t) ≥0,?t≥t0.同理可證?t≥t0，I(t) ≥0.

2.3 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)（1）在無(wú)病平衡點(diǎn)E0處的雅可比矩陣為：

其相應(yīng)的特征方程為：

當(dāng)τ= 0 時(shí)，方程（6）簡(jiǎn)化為：

定理4 若R0＜1 時(shí)，則當(dāng)τ= 0 時(shí)，系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.

定理5 若R0＜1 時(shí)，則對(duì)任意的τ≥0，系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.

證明 若R0＜1 時(shí)，則定理4 成立.注意到式（7）的第一個(gè)方程不含時(shí)滯τ，因此只需考慮第二個(gè)方程

當(dāng)τ≠0 時(shí)根的分布情況即可.設(shè)方程（9）存在一對(duì)純虛根s1,2=±iw，將其代入方程（9），得

分離實(shí)部與虛部得

將式（11）兩端平方相加，得

顯然，若R0＜1 時(shí)，則方程（12）無(wú)正根，即特征方程（9）不存在純虛根.結(jié)合定理4 及特征根關(guān)于時(shí)滯的連續(xù)性知，當(dāng)R0＜1 時(shí)，對(duì)任意的τ≥0，系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定.

2.4 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)（1）在正平衡點(diǎn)E*處的雅可比矩陣為：

于是，系統(tǒng)（1）在E*處的特征方程det(J(E*))= 0 可寫為：

定理6 若R0＞1，則對(duì)?τ≥0，系統(tǒng)（1）的地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定.

證明 若R0＞1，根據(jù)定理1 知地方病平衡點(diǎn)E*存在.當(dāng)τ= 0 時(shí)，方程（13）簡(jiǎn)化為：

由霍爾維茨判據(jù)和引理1 知，系統(tǒng)（1）的地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定.

若τ＞0，假 設(shè)是式（13）的一對(duì)純虛根，并代入式（13），得|ω|2α(cosαπ +isin(±απ)) +|ω|α(μ+

分離實(shí)部和虛部，有

將上面二式平方相加可得

記

顯然，若R0＞1，則方程φ(ω)= 0 不存在純虛根，于是對(duì)任意的τ≥0，由文獻(xiàn)［16］中引理1 和性質(zhì)3，知地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定.

2.5 無(wú)病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性分析

定理7 若R0＜1，則對(duì)?τ≥0，系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定.

計(jì)算L0(t)沿著系統(tǒng)解的關(guān)于時(shí)間的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

因此，若R0＜1，則DαL0(t)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)S= 1,I=0時(shí)，DαL0(t)= 0.

設(shè)M= {(S,I) ∈D|DαL0(t)= 0}.當(dāng)t→+∞時(shí)，M→{E0}所以{E0}是M唯一最大正向不變集，由Lasalle［17］不變?cè)碇到y(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)E0在D中全局漸近穩(wěn)定.

3 結(jié)語(yǔ)

本文主要討論了一類具有時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為，包括該模型解的存在唯一性、非負(fù)性，無(wú)病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性，地方病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性，結(jié)果顯示時(shí)滯不會(huì)對(duì)該地方病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性產(chǎn)生影響.