彈性約束的功能梯度曲梁等幾何振動(dòng)分析

陳明飛 靳國永 張艷濤 劉志剛

摘要：基于一階剪切變形理論并采用等幾何有限元方法對(duì)任意曲率的功能梯度曲梁進(jìn)行自由振動(dòng)分析。假設(shè)曲梁的材料屬性在厚度方向上為均勻分布，但是在跨度方向上是呈功能梯度變化。利用等幾何中的基函數(shù)對(duì)曲梁幾何形狀和位移分量進(jìn)行描述，可以實(shí)現(xiàn)任意曲率半徑的曲梁動(dòng)力學(xué)特性分析。采用人工彈簧模擬曲梁邊界，可以實(shí)現(xiàn)任意邊界約束。在數(shù)值算例中，驗(yàn)證了該方法的收斂性和精確性，并給出新的數(shù)值結(jié)果和重要參數(shù)分析。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)振動(dòng);等幾何分析;功能梯度;曲梁;一階剪切變形理論

中圖分類號(hào)：0327文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：i004-4523（2020）05-0930-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.05.008

引言

功能梯度結(jié)構(gòu)是一種材料屬性在指定方向上呈連續(xù)功能梯度變化的優(yōu)質(zhì)復(fù)合結(jié)構(gòu)，由于其具有高剛度、耐高溫和無脫層等優(yōu)點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于航空航天、交通運(yùn)輸、醫(yī)療設(shè)備等。功能梯度曲梁的振動(dòng)特性一直是振動(dòng)噪聲控制領(lǐng)域的熱門課題。工程中常用于求解功能梯度曲梁靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性的數(shù)值方法有傳統(tǒng)有限元法、傅里葉法、微分求積法等。Piovan等利用有限元法計(jì)算了曲梁的動(dòng)力學(xué)特性和屈曲特性。Su等利用傅里葉級(jí)數(shù)法分析了功能梯度壓電曲梁的自由振動(dòng)和瞬態(tài)響應(yīng)。Jin等還利用譜一空問陪面法研究了功能梯度可變曲率曲梁的振動(dòng)特性。Malekzadeh等利用微分求積法計(jì)算功能梯度曲梁在熱環(huán)境下的振動(dòng)特性。然而，大部分的數(shù)值方法不利于復(fù)雜結(jié)構(gòu)建模和分析處理。如傳統(tǒng)有限元方法在分析曲梁力學(xué)特性時(shí)很難保證結(jié)構(gòu)幾何的精確性和高階函數(shù)連續(xù)等問題。等幾何方法是一種能夠?qū)崿F(xiàn)CAD與CAE的無縫連接，并具有高精確性的數(shù)值方法。由于該方法具有高精度，高收斂，網(wǎng)格細(xì)化方便與高階函數(shù)連續(xù)性等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于求解各種復(fù)合結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)行為。Yu等用該方法分析了功能梯度板的非線性振動(dòng)特性、帶孔層合板、功能梯度板的線性振動(dòng)特性。Chen等利用該方法計(jì)算了功能梯度三維直梁_1引、各向異性四邊形板和功能梯度曲殼的自由振動(dòng)。Xue等利用該方法并結(jié)合限制板理論分析了功能梯度板的振動(dòng)特性。Luu等利用等幾何方法研究了功能梯度曲梁的振動(dòng)特性和層合曲梁的振動(dòng)特性。Hos-seini等利用等幾何方法研究了曲梁的非線性力學(xué)特性。Zhang等利用等幾何方法進(jìn)行了三維曲梁的靜力學(xué)分析。然而，關(guān)于功能梯度曲梁的大部分文獻(xiàn)只考慮了厚度方向上的功能梯度變化和經(jīng)典邊界約束，對(duì)彈性約束下跨度方向上呈功能梯度曲梁的研究較少。本文基于一階剪切變形曲梁理論，并結(jié)合等幾何有限元方法分析任意曲率的功能梯度曲梁自由振動(dòng)特性，同時(shí)考慮了跨度方向上的功能梯度與彈性邊界條件對(duì)頻率參數(shù)的影響。通過數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證該方法的收斂性和精確性。

1功能梯度曲梁

1.1曲梁幾何建模

本文研究的功能梯度曲梁如圖1所示，其材料屬性沿跨度方向（圖中z方向）呈功能梯度變化。L，6和h分別為曲梁的長、寬和高。笛卡爾坐標(biāo)（z，z）和曲線坐標(biāo)（a，β）的選擇如圖1所示。Ls為曲梁在跨度方向上的長度，甜和叫為曲梁在a方向和β方向上的位移分量，θ為曲梁的中面法線關(guān)于a方向的轉(zhuǎn)角。曲率半徑R（a）是關(guān)于a的函數(shù)。

3.3參數(shù)影響

表5給出了Al/Al2O3功能梯度圓弧曲梁的前4階無量綱固有頻率，在該表中，曲梁左端點(diǎn)材料為鋁（A），右端點(diǎn)材料為三氧化二鋁（Al2o3），并按功能梯度指數(shù)kin=1復(fù)合而成，材料屬性如表1所示。幾何參數(shù)設(shè)置如下：R=1m，h/R=0.1，θ=π/3。圖3給出了表5中C-C，C-S，S-S邊界下所對(duì)應(yīng)的模態(tài)圖。從圖3和表5可以看出，邊界約束能引起固有頻率和模態(tài)振型的變化，邊界約束越強(qiáng)，結(jié)構(gòu)的固有頻率就會(huì)越高。然而邊界C-S，S-S下的第1階和邊界C-C，C-S，S-S邊界下的第4階頻率和模態(tài)振型變化較小。在該結(jié)構(gòu)尺寸下，曲梁左端轉(zhuǎn)角約束對(duì)第1階振動(dòng)特性影響較小，曲梁右端轉(zhuǎn)角約束對(duì)第4階振動(dòng)特性影響較小。相比于各向均勻材料或者在厚度方向上呈功能梯度變化的曲梁模態(tài)圖，可以看出在C_c邊界下跨度方向功能梯度曲梁的模態(tài)圖在跨度方向的模態(tài)不是對(duì)稱的。這是因?yàn)榭缍壬系墓δ芴荻炔牧蠈?dǎo)致梁的局部剛度和密度不同。圖5給出了不同邊界下功能梯度指數(shù)kin對(duì)曲梁的前4階無量綱固有頻率的影響。在該分析中材料參數(shù)與曲梁的幾何參數(shù)同表5中的一樣。由圖5可以看出，在該種功能梯度材料屬性下，功能梯度指數(shù)的增加能夠?qū)е陆Y(jié)構(gòu)的無量綱固有頻率降低。當(dāng)功能梯度指數(shù)為0時(shí)，該曲梁可認(rèn)為只含有三氧化二鋁材料，其系統(tǒng)的無量綱固有頻率最大。當(dāng)功能梯度指數(shù)增加時(shí)，鋁在總材料中的比例增加，系統(tǒng)的固有頻率降低。改變曲梁某一端點(diǎn)轉(zhuǎn)角約束，部分階次振動(dòng)頻率變化曲線幾乎不變，由前文可知該端點(diǎn)邊界轉(zhuǎn)角約束對(duì)振型的影響較小。

圖6給出了C-C邊界下不同材料屬性功能梯度指數(shù)kin對(duì)曲梁的前4階無量綱固有頻率的影響。在該分析中，曲梁的左端點(diǎn)金屬材料為Al，右端點(diǎn)陶瓷材料分別為ZrO2-2，ZrO2-3和ZrO2-4，其材料屬性如表1所示。曲梁的幾何參數(shù)與圖5中的一樣。通過圖6可以看出，隨指數(shù)kin的增加，材料ZrO2-4所對(duì)應(yīng)的無量綱頻率先急劇降低然后趨于平緩，而材料ZrO2-2和ZrO2-3所對(duì)應(yīng)的無量綱頻率先降低然后緩慢升高或趨于平緩。因此，梯度指數(shù)kin對(duì)曲梁的無量綱頻率的影響還與曲梁兩端的材料屬性有關(guān)。

4結(jié)論

本文針對(duì)彈性邊界下的任意曲率半徑的功能梯度曲梁進(jìn)行幾何建模和振動(dòng)特性分析。該曲梁的材料屬性沿曲梁的跨度方向上呈功能梯度變化。利用非均勻有理B樣條NURBS對(duì)任意曲率的曲梁進(jìn)行幾何建模。通過人工彈簧實(shí)現(xiàn)任意邊界約束。通過數(shù)值算例總結(jié)出以下幾點(diǎn)：本文方法擁有快速收斂性和優(yōu)良的精確性;基函數(shù)的階數(shù)越高，計(jì)算的結(jié)果收斂速度越快;曲梁的厚度增加能導(dǎo)致曲梁的無量綱固有頻率降低;功能梯度指數(shù)的增加能導(dǎo)致復(fù)合材料屬性中楊氏模量和密度變化，然而固有頻率隨功能梯度指數(shù)的變化還與復(fù)合材料中的材料參數(shù)有關(guān);固支邊界下同階次固有頻率比其他邊界下高;邊界彈簧約束只在一定區(qū)域內(nèi)對(duì)固有頻率有明顯影響。