復(fù)合材料曲梁的能量輻射傳遞模型研究

余海寧, 陳海波, 黃進(jìn)安

(中國科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),合肥 230027)

復(fù)合材料曲梁因其優(yōu)越的力學(xué)性能而被廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車船舶等工程領(lǐng)域的組合結(jié)構(gòu)和拱形結(jié)構(gòu)中。(曲梁結(jié)構(gòu)在多種服役工況下會受到高頻激勵(lì)作用,從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)疲勞損傷甚至可能超過結(jié)構(gòu)的承載極限而造成強(qiáng)度破壞[1],因此,研究復(fù)合材料曲梁的高頻振動響應(yīng)是十分重要的。另一方面,自1991年碳納米管(carbon nanotube,CNT)被Iijima[2]發(fā)現(xiàn),其優(yōu)越的材料性能吸引眾多學(xué)者對其進(jìn)行研究,近年來CNT開始被應(yīng)用于下一代復(fù)合材料的研發(fā),已被用于替代傳統(tǒng)纖維作為增強(qiáng)復(fù)合材料的增強(qiáng)相[3],這樣碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料(carbon nanotube reinforced composite,CNTRC)曲梁的高頻響應(yīng)分析即成為有待開展的重要課題。

分析振動響應(yīng)的數(shù)值方法很多,其中應(yīng)用最為廣泛的方法為有限單元法[4](finite element method,FEM),其次為邊界元法[5](boundary element method,BEM)。但是在高頻范圍內(nèi),結(jié)構(gòu)振動的波長遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)尺寸而導(dǎo)致計(jì)算時(shí)長與儲存成本較大,同時(shí)計(jì)算結(jié)果對結(jié)構(gòu)建模的細(xì)節(jié)十分敏感,即微小的建模誤差就會導(dǎo)致顯著的計(jì)算差別。為了解決這些分析困難,學(xué)者們提出多種以能量為基本變量的分析方法,其中最為著名的是統(tǒng)計(jì)能量分析法[6](statistical energy analysis,SEA)以及它的拓展方法能量有限元法[7](energy finite element method,EFEM)。這些方法在工程領(lǐng)域已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用,如法國的ESI基于SEA法開發(fā)的商業(yè)軟件VAone已被廣泛應(yīng)用于航空航天等領(lǐng)域。然而,SEA基于擴(kuò)散場假設(shè),只能給出結(jié)構(gòu)的平均能量響應(yīng),而EFEM對于二維和三維問題存在理論缺陷,容易產(chǎn)生較大誤差[8]。Le Bot提出能量輻射傳遞法[9-10](radiative energy transfer method,RETM),能夠準(zhǔn)確預(yù)測結(jié)構(gòu)中任意位置的能量響應(yīng),且相較于EFEM計(jì)算量更小,計(jì)算速度更快。目前,針對結(jié)構(gòu)高頻響應(yīng)的分析方法研究,李翱等[11]推導(dǎo)計(jì)算了各向異性層合板殼耦合結(jié)構(gòu)的能量傳遞系數(shù),并給出了耦合處的耦合損耗因子,王幸[12]將RETM拓展到功能梯度梁的高頻響應(yīng)分析中,Zhong等[13]將RETM推廣到各向異性結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)分析中,分析結(jié)果相較于EFEM計(jì)算的結(jié)果更為精確。

近年來,許多學(xué)者針對曲梁動力學(xué)特性開展了研究。黃修長等[14]利用波動法研究了耦合曲梁的能量傳遞系數(shù);Le Bot等[15]采用能量流分析方法建立了曲梁在中高頻激勵(lì)下的能量模型;Mao等[16]研究了考慮剪力和慣性矩曲梁的面外振動,并根據(jù)曲梁的控制方程研究了曲梁的波傳播特性。李琳等[17]采用高階剪切理論和廣義混合律建立了CNTRC梁的有限元?jiǎng)恿W(xué)模型; Heidari等[18]研究了CNTRC鐵木辛柯梁的線性和非線性振動;Civalek等[19]研究了CNTRC梁在簡諧點(diǎn)載荷作用下的受迫振動響應(yīng)。目前,針對曲梁高頻振動響應(yīng)的研究較少,RETM法也未曾應(yīng)用于曲梁的高頻振動響應(yīng)的求解中,值得深入研究。本文將基于正交曲線坐標(biāo)中的彈性力學(xué)幾何方程[20],推導(dǎo)歐拉-伯努利梁(classical beam theory,CBT)和鐵木辛柯梁理論(Timoshenko beam theory,TBT)下曲梁的平衡微分方程,并采用能量輻射傳遞法計(jì)算曲梁高頻振動的能量密度分布,通過與波傳播法[21](wave propagation approach,WPA)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證其準(zhǔn)確性,最后討論了CNTRC材料CNT體積分?jǐn)?shù)和分布形式對曲梁高頻振動性能的影響。

1 復(fù)合材料曲梁的平衡微分方程

曲梁的正交曲線坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的關(guān)系,如圖1所示。

圖1 曲梁

圖1中:X和Z為直角坐標(biāo);x和z為為正交曲線坐標(biāo)且為曲梁的軸向徑向;R為曲梁的曲率半徑;h為曲梁厚度。基于鐵木辛柯梁理論,曲梁的任意一點(diǎn)的軸向位移u(x,z,t)和橫向位移w(x,z,t)為

(1)

式中:u(x,t)和w(x,t)分別為曲梁中性面處的軸向位移和橫向位移,φ為截面轉(zhuǎn)角,z0為曲梁中性面坐標(biāo)

(2)

式中,E11為彈性模量。在高頻振動分析中,由曲率因素產(chǎn)生的縱波對能量分布特性的影響很小可以忽略,本文不考慮曲梁的軸向振動,故設(shè)u(x,t)=0,由正交曲線坐標(biāo)系下的幾何方程得鐵木辛柯曲梁的正應(yīng)變εxx和剪切應(yīng)變γxz為

(3)

曲梁的應(yīng)力為

(4)

式中,G12為材料的剪切剛度。軸力N、剪力Q和彎矩M為

(5)

式中:b為曲梁寬度;k為剪切修正系數(shù),取5/6。

將軸力與彎矩代入曲梁微元體的力平衡方程

(6)

式中,f為曲梁所受到的徑向載荷。通過式(5)和式(6)可得鐵木辛柯曲梁平衡微分方程

(7)

(8)

對于歐拉伯努利曲梁,曲梁的橫截面轉(zhuǎn)角φ=?w/?x,細(xì)長曲梁的梁厚度很小,z/R可忽略,由此可以退化得到歐拉-伯努利曲梁的平衡微分方程

(9)

求解歐拉伯努利曲梁的波傳播特性與能量響應(yīng)與求解鐵木辛柯曲梁的步驟相同,下面只列出求解鐵木辛柯曲梁的公式步驟。

當(dāng)曲梁曲率半徑R→∞時(shí),可以退化得到直梁的平衡微分方程,此處不再單獨(dú)列出。

2 曲梁的能量輻射傳遞模型

2.1 曲梁的波傳播特性

能量輻射傳遞法是一種用于估計(jì)結(jié)構(gòu)高頻聲振響應(yīng)的幾何聲學(xué)分析方法,這種方法滿足以下基本假設(shè):①研究的系統(tǒng)線性均勻且處于穩(wěn)態(tài);②忽略波之間的干涉。為了建立曲梁的RETM模型,首先要對曲梁的波傳播特性進(jìn)行分析。

式(8)忽略軸向載荷f,將行波解w(x,t)=exp(-iκx+iωt)代入,可以獲得鐵木辛柯梁的頻散方程

(10)

式(10)是一個(gè)二次型的一元四次方程,令X=κ2,則一元二次式aX2+bX+c=0的判別方程為Δ=b2-4ac,方程的兩根為

(11)

四個(gè)波對應(yīng)的波數(shù)為

(12)

且存在臨界頻率

(13)

當(dāng)頻率ω<ωcr1,四個(gè)波數(shù)都為復(fù)數(shù),每個(gè)波數(shù)均對應(yīng)一個(gè)復(fù)波;當(dāng)ωcr1<ω<ωcr2,κ1,2為純實(shí)數(shù),對應(yīng)左行和右行的兩個(gè)傳播波,κ3,4為純虛數(shù),對應(yīng)左行和右行的兩個(gè)倏逝波;當(dāng)ω>ωcr2,κ1,2和κ3,4為純實(shí)數(shù),均對應(yīng)新的左行和右行的兩個(gè)傳播波。

第i個(gè)波分量的群速度與相速度為

(14)

2.2 曲梁RETM控制方程的建立與求解

基于RETM理論,結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)由功率流強(qiáng)度I與能量密度W表示,為了獲得曲梁的振動響應(yīng),首先需要建立曲梁的RETM控制方程。在RETM中,功率流強(qiáng)度I與能量密度W成正比,比例系數(shù)為群速度向量cg即

I=cgW

(15)

由能量守恒且在穩(wěn)態(tài)情況下,曲梁中無窮小單元的輸入功率等于輸出功率與耗散功率之和

?·I+Pdiss=Pin

(16)

式中:?為散度算子;Pdiss為耗散功率;Pin為輸入功率。耗散功率與能量密度成正比

Pdiss=ηωW

(17)

將式(15)與式(17)代入式(16)得

(18)

式中:m=ηω/cg,為能量衰減系數(shù);η為阻尼。令r=|x-x0|,對式(18)進(jìn)行求解可以得到功率流強(qiáng)度

(19)

相應(yīng)的能量密度為

(20)

式中:功率流強(qiáng)度和能量密度分別與兩個(gè)函數(shù)成正比,即能量密度核函數(shù)G(S,M)=e-mrS,M/(2cg)和功率流強(qiáng)度的核函數(shù)H(S,M)=0.5e-mrS,MeS,M,其中rS,M為實(shí)源S到接收點(diǎn)M的距離。

正交曲線坐標(biāo)系下曲梁的RETM模型示意圖,如圖2所示。坐標(biāo)為x=qL的S是輸入功率為Pin的域內(nèi)實(shí)源,q∈(0,1),梁邊界處分別設(shè)有虛源σA和σB,兩邊界的外法向分別為n1和n2。梁上任意一點(diǎn)M的能量由激勵(lì)點(diǎn)處的實(shí)源S引發(fā)的直接場和兩端點(diǎn)處的虛源σA和σB引發(fā)的反射場共同產(chǎn)生,M點(diǎn)的功率流強(qiáng)度和能量密度為

圖2 曲梁RETM模型示意圖

(21)

在高頻激勵(lì)作用下,有限曲梁的點(diǎn)導(dǎo)納與無限曲梁的點(diǎn)導(dǎo)納幾乎完全相等,實(shí)源的輸入功率可以通過無限大系統(tǒng)的平均輸入導(dǎo)納求得

(22)

Y=

(23)

邊界虛源強(qiáng)度由邊界處的能量平衡關(guān)系確定,即邊界處反射的能量等于入射的總能量。對于虛源σA其反射的功率為-IA(x=0)·n1,入射到σA的總功率為實(shí)源S與虛源σB發(fā)射到σA的功率之和[Is(x=qL)+IB(x=L)]·n1。對虛源σB的分析類似?？傻孟铝蟹匠探M

-IA(x=0)n1=[Is(x=qL)+IB(x=L)]n1

-IB(x=0)n2=[Is(x=L-qL)+IA(x=L)]n2

(24)

將能量密度核函數(shù)G和功率流強(qiáng)度的核函數(shù)H表達(dá)式代入后可得

(25)

解得

(26)

將式(23)和式(26)代入式(21)即可求得曲梁上任一點(diǎn)的功率流強(qiáng)度和能量密度。

2.3 波傳播法求解曲梁能量響應(yīng)

為了驗(yàn)證能量輻射傳遞模型的準(zhǔn)確性,這里采用波傳播法求解曲梁的能量響應(yīng)與RETM模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證。

式(7)的通解可用各個(gè)行波分量疊加表示

(27)

式中,aj為第j波的幅值。將式(27)第j個(gè)波分量代入式(6),令f=0可得

(28)

因此,Nj為式(28)的特征向量之比,即

(29)

對式(7)進(jìn)行傅里葉變換再進(jìn)行傅里葉逆變換并由柯西留數(shù)定理可以獲得自由場的振動解

(30)

(31)

曲梁的位移是通解與自由場振動解之和,其中aj由邊界條件求得。曲梁的能量密度W由動能密度Wk和彎曲正應(yīng)變引起的勢能密度Wp構(gòu)成,功率流強(qiáng)度I由橫向剪力引起的功率流IQ和彎矩引起的功率流IM構(gòu)成。將曲梁的位移代入動能密度和勢能密度的表達(dá)式可以證明曲梁的動能密度Wk等于勢能密度Wp。彎曲振動的能量密度與功率流強(qiáng)度為

(32)

3 數(shù)值算例分析

CNT具有良好的力學(xué)和物理性能,化學(xué)性質(zhì)穩(wěn)定是目前可以制備的具有最高比強(qiáng)度的材料。目前對碳納米管材料的應(yīng)用主要是將碳納米管陣列、薄膜、纖維結(jié)合到聚合物、陶瓷、金屬基體中形成CNTRC。本文將以CNTRC為例,求解曲梁的高頻振動響應(yīng)。

3.1 碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料的物理參數(shù)

碳納米管在厚度為h的CNTRC梁沿厚度方向上均勻分布(uniform distribution,UD)以及三種類型的梯度分布(FGA,FGO,FGX),如圖3所示。

(a) UD

CNTRC的物理參數(shù)為

(33)

式中:E、G、ν、ρ分別為楊氏模量、剪切模量、泊松比以及密度;上標(biāo)cnt、m分別為CNT和基體;ηi(i=1,2,3)為CNTRC的效率系數(shù);Vcnt與Vm分別為CNT與基體材料的體積分?jǐn)?shù)且

Vcnt+Vm=1

(34)

CNT沿厚度方向的四種不同分布形式下的體積分?jǐn)?shù)為

(35)

CNTRC的基體材料為聚甲基丙烯酸甲酯(polymethyl methacrylate,PMMA)材料,CNT的材料屬性與基體的材料屬性分別如表1、表2所示。

表1 CNT材料屬性

表2 基體材料屬性

碳納米管體積分?jǐn)?shù)及其對應(yīng)的效率系數(shù)[22]如下

以圖2所示的簡支曲梁為例,梁的長寬高為L×b×h=1 m×0.005 m×0.005 m,在x=0.5 m處受到橫向簡諧點(diǎn)激勵(lì)。CNTRC有良好的阻尼性能和可設(shè)計(jì)性,其阻尼因子可達(dá)0.1～0.3[23],本文曲梁的阻尼因子取η=0.1。

3.2 頻散曲線、相速度和群速度

當(dāng)橫截面b×h=5 mm×5 mm、曲率半徑R=10 m時(shí),曲梁的頻散曲線,如圖4所示。從圖4可知,歐拉-伯努利曲梁的傳播波與鐵木辛柯曲梁的第一個(gè)傳播波均存在一個(gè)臨界頻率fcr1,在臨界頻率前,曲梁曲率半徑的影響占據(jù)主導(dǎo),兩者的傳播波均為復(fù)波且兩種模型波數(shù)大小相同。當(dāng)f>fcr1,對兩者的κ1,彎曲變形占據(jù)主導(dǎo)地位,兩者的傳播波均為實(shí)波。對于κ2,彎曲變形的影響與剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響相互抵消;當(dāng)頻率ffcr2,κ2為純實(shí)數(shù),剪切變形與轉(zhuǎn)動慣量占據(jù)主導(dǎo)地位,波為傳播波。

圖4 曲梁的頻散曲線

曲率半徑R=10 m時(shí),曲梁的群速度和相速度隨頻率變化的曲線,如圖5所示。在臨界頻率f1 000 Hz,其波群速度逐漸變得和相速度一致(非色散波)。而對于歐拉伯努利曲梁在臨界頻率fcr1后一直存在cg=2cp,當(dāng)頻率達(dá)到fcr2時(shí),鐵木辛柯曲梁的第二傳播波開始出現(xiàn),且在頻率高于200 kHz,其群速度與相速度幾乎一致(非色散波)。

3.3 RETM與WPA計(jì)算結(jié)果對比

針對曲率半徑R=1 m、梁厚h=0.005 m和阻尼η=0.1的情況,計(jì)算了不同頻率下兩種梁模型的振動能量響應(yīng)級,如圖6所示。激勵(lì)頻率f=4 kHz的能量密度分布,可以看到曲梁的能量密度從中心激勵(lì)點(diǎn)到兩端邊界呈對稱衰減,其中WPA計(jì)算的結(jié)果振蕩衰減,而RETM結(jié)果是一條平滑的曲線,這是因?yàn)镽ETM不考慮傳播波之間的干涉(見圖6(a))?？紤]倏逝波影響的能量輻射傳遞法計(jì)算得到結(jié)果在激勵(lì)點(diǎn)附近與WPA計(jì)算的結(jié)果一致,傳統(tǒng)的能量輻射法忽略倏逝波的影響,在激勵(lì)點(diǎn)附近有較大誤差。

(a) f=4 kHz

在頻率f=4 kHz時(shí),鐵木辛柯曲梁與歐拉伯努利曲梁計(jì)算的結(jié)果差別較小;當(dāng)激勵(lì)頻率f=10 kHz時(shí),兩種模型計(jì)算的結(jié)果有較大的差別,這是由于剪切變形與截面轉(zhuǎn)動慣量在高頻階段的影響變得顯著;當(dāng)f=100 kHz時(shí),兩種模型計(jì)算的差異更為顯著,這是由于梁的振動能量主要由剪切變形與截面慣性轉(zhuǎn)矩主導(dǎo),同時(shí)因?yàn)榧?lì)頻率大于臨界頻率fcr2,鐵木辛柯曲梁沒有倏逝波的存在,所以在激勵(lì)點(diǎn)處沒有能量的凸起。

3.4 梁厚、曲率半徑對能量響應(yīng)的影響

曲率半徑為1、阻尼η=0.1、激勵(lì)頻率為10 kHz下的兩種曲梁模型在不同梁厚條件下的能量響應(yīng)結(jié)果,如圖7所示。從圖6(b)和圖7可知,隨著梁厚增加,歐拉伯努利曲梁與鐵木辛柯曲梁兩種模型計(jì)算能量響應(yīng)差別增大,這主要是因?yàn)殡S著梁的厚度增加,剪切變形以及轉(zhuǎn)動慣量的影響逐漸變大。

(a) h=0.001 m

阻尼η=0.1、激勵(lì)頻率f=10 kHz條件下不同曲率半徑對能量響應(yīng)的影響圖,如圖8所示。從圖8可知,隨著曲率半徑增加,曲梁的能量響應(yīng)變化不大,但是對于歐拉伯努利曲梁以及梁厚為0.005 m的鐵木辛柯曲梁,隨著曲率半徑增加,能量響應(yīng)有所減小。雖然曲率的引入會導(dǎo)致梁的剛度增加,但是歐拉伯努利曲梁基于細(xì)梁假設(shè),厚徑比忽略不計(jì),曲率增大彎曲剛度不變,能量密度減小是因?yàn)榍试龃筝S力減小,軸力引起的勢能減小。對于鐵木辛柯曲梁,不可忽視梁厚的影響,曲率半徑增大,彎曲剛度減小,當(dāng)梁厚較小時(shí),曲率半徑的增大對軸力的影響更大,能量密度隨曲率半徑增大而減小,當(dāng)梁厚為0.02 m時(shí),曲率半徑的增大對彎曲剛度的影響更大,能量密度隨曲率半徑增大而增大。

(a) EU,h=0.005 m

3.5 CNT體積分?jǐn)?shù)、分布形式對能量響應(yīng)的影響

當(dāng)曲率半徑為1、阻尼η=0.1、激勵(lì)頻率為10 kHz時(shí),鐵木辛柯曲梁在不同CNT體積分?jǐn)?shù)以及不同分布形式下的能量響應(yīng),如圖9和圖10所示。隨體積分?jǐn)?shù)增大,由于彎曲和剪切剛度增加,激勵(lì)處能量密度減小,能量衰減速度減小。對于不同分布形式的碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料,分布形式對彎曲剛度的影響較大,對剪切剛度影響較小,可以看出彎曲剛度O型分布A型分布>均勻分布>X型分布。

圖9 不同CNT體積分?jǐn)?shù)均勻分布鐵木辛柯曲梁的能量響應(yīng)

圖10 不同CNT分布形式鐵木辛柯曲梁的能量響應(yīng)

4 結(jié) 論

本文以碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料曲梁為研究對象,基于歐拉伯努利和鐵木辛柯梁理論推導(dǎo)了曲梁的平衡微分方程,計(jì)算了CNTRC曲梁的頻散關(guān)系曲線以及波速度,采用RETM求解CNTRC曲梁高頻能量響應(yīng),并與WPA的計(jì)算的理論解進(jìn)行對比以驗(yàn)證RETM方法的準(zhǔn)確性,討論了曲率半徑以及板厚對兩種梁理論模型曲梁的能量響應(yīng)的影響,最后分析了不同CNTs體積分?jǐn)?shù)以及分布方式對高頻能量響應(yīng)的影響。數(shù)值算例結(jié)果表明:

(1) 當(dāng)頻率大于臨界頻率fcr1時(shí),曲梁的頻散關(guān)系與波群速度與直梁的變化趨勢相同,兩種梁理論模型曲梁中的傳播波均為復(fù)波且波數(shù)大小相等,波群速與波相速度相等的非色散波。

(2) RETM計(jì)算的曲梁的能量響應(yīng)與WPA的計(jì)算結(jié)果吻合很好,對于TBT曲梁,剪切變形與截面轉(zhuǎn)動慣量主要在高頻階段以及梁厚較大時(shí)對能量響應(yīng)有較大影響。曲率半徑增大會導(dǎo)致TBT曲梁剛度增大,軸力減小,在梁厚較大時(shí),TBT曲梁的能量密度增大,在梁厚較小時(shí),TBT曲梁的能量密度減小;曲率半徑增大使CBT曲梁軸力減小但剛度不變,所以曲率半徑增大,CBT曲梁的能量密度減小。

(3) CNTs體積分?jǐn)?shù)增加會增大CNTRC曲梁的彎曲剛度和剪切剛度,導(dǎo)致能量密度減小,能量衰減速度增大,而不同的分布方式對CNTRC曲梁的剪切剛度影響較小,而彎曲剛度O型分布