汽車主動懸架次優(yōu)控制策略等效性研究

魯紅偉, 張志飛, 徐中明, 譚侃倫, 鄭曉勇

(1. 重慶大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院, 重慶 400044; 2. 重慶長安汽車股份有限公司, 重慶 400023)

汽車主動懸架可根據(jù)懸架系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)靈活調(diào)節(jié)控制力的輸出,具有改善汽車乘坐舒適性和行駛安全性的顯著作用。最優(yōu)控制(LQR(linear quadratic regulator)控制和H∞控制)作為一種可以平衡多個目標(biāo)的控制策略,常用于主動懸架的控制系統(tǒng)[1-4],并展示出來良好的減振效果。然而,最優(yōu)控制策略通常需要較多的輸入變量,并且其中有些變量是不容易獲得的。多數(shù)懸架最優(yōu)控制的狀態(tài)變量是懸架動撓度、簧上質(zhì)量絕對速度、輪胎動撓度和簧下質(zhì)量絕對速度[5-6],其中輪胎動撓度最不容易獲得。為了解決最優(yōu)控制輸入變量過多的問題,輸出反饋控制也得到了深入研究。靜態(tài)輸出反饋控制可直接建立了輸出力與可測量變量之間的關(guān)系,形式簡單,但是其求解過程較為復(fù)雜,同時還存在收斂性的問題[7-9]。動態(tài)輸出反饋控制通過使用較少的可觀察量來估計系統(tǒng)的狀態(tài)變量,即狀態(tài)觀測器[10-11],例如將卡爾曼觀測器與LQR控制算法相結(jié)合,可以獲得LQG (linear quadratic Gaussian)控制算法[12]。然而,基于狀態(tài)觀測器的動態(tài)輸出反饋控制仍然需要估計一些額外的變量,使得控制系統(tǒng)設(shè)計仍較復(fù)雜。

次優(yōu)控制可更簡單地解決輸入變量過多的問題。Levine等[13]最早提出了次優(yōu)控制問題,并給出了一組求解次優(yōu)控制增益的非線性矩陣方程,需通過優(yōu)化算法求解。Kosut[14]提出了最小誤差激勵法和最小范數(shù)法,可直接獲得次優(yōu)控制的近似解,并指出最小范數(shù)法更適合于控制向量為一組可測狀態(tài)變量的時不變線性組合(單結(jié)構(gòu)約束)的情況。張玉春等[15]和李金輝等[16]在某一權(quán)值參數(shù)下驗(yàn)證了基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制在汽車懸架控制中以速度相關(guān)量為輸入變量時可產(chǎn)生與最優(yōu)控制相似的效果。魯紅偉[17]以二自由度四分之一車輛模型為對象,將LQR控制的控制律與懸架動力學(xué)方程結(jié)合,同時忽略數(shù)量級較小的輪胎變形量及其導(dǎo)數(shù),并移除控制力中不期望的高頻成分,得到一種稱為雙阻尼控制的次優(yōu)控制策略。仿真結(jié)果表明,該控制方法與LQR控制在合理的權(quán)值參數(shù)范圍內(nèi)均具有高度的等效效果。以上兩種次優(yōu)控制方法的等效效果對比尚未得到研究,且對于頻域最優(yōu)控制,即H∞控制的簡化等效情況,兩種次優(yōu)控制方法的等效性也值得探討。

分析懸架被動控制、天棚阻尼控制、天棚被動混合控制[18-19]、天棚地棚混合控制[20-21]、No-Jerk天棚阻尼控制[22]和天棚-ADD(acceleration driven damping)混合控制[23]可知,懸架相對速度和簧上質(zhì)量絕對速度往往是不可或缺的。此外,張玉春等在基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制和魯紅偉關(guān)于雙阻尼控制的研究也表明速度反饋對于控制效果影響顯著。因此所研究的次優(yōu)控制的輸入變量設(shè)定為懸架相對速度和簧上質(zhì)量的絕對速度。

以二自由度的1/4懸架模型為研究對象,將LQR控制和H∞控制等最優(yōu)控制策略作為參考,對雙阻尼次優(yōu)控制、最小范數(shù)次優(yōu)控制與最優(yōu)控制的等效程度進(jìn)行對比分析。綜合考慮舒適性,懸架動撓度和輪胎動載荷,討論了最優(yōu)控制的合理參數(shù)范圍,并在該范圍內(nèi)進(jìn)行等效性研究。最后在隨機(jī)道路激勵下進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證。

1 懸架動力學(xué)模型

二自由度的1/4懸架模型,如圖1所示。圖1中:簧上質(zhì)量ms相對于平衡狀態(tài)的位移為zs;簧下質(zhì)量mu相對于平衡狀態(tài)的位移為zu;路面的位移激勵為q;懸架剛度為ks;主動懸架的執(zhí)行器對簧上質(zhì)量的作用力為u;車輪的剛度和阻尼為ku和cu。懸架模型參數(shù)如表1所示。懸架最大動撓度為zmax,執(zhí)行器最大輸出力值為umax。

表1 懸架模型參數(shù)

圖1 汽車懸架模型

根據(jù)牛頓定律,懸架系統(tǒng)遵循以下動力學(xué)方程

(1)

u=0

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

寫成矩陣的形式為

(7)

y1=C1x+D1u

(8)

y2=C2x+D2u

(9)

2 懸架最優(yōu)控制與次優(yōu)策略

2.1 最優(yōu)控制

2.1.1 LQR控制

(1) I型LQR控制

根據(jù)典型懸架最優(yōu)控制的目標(biāo)函數(shù)形式[24-26],這里定義I型LQR控制的目標(biāo)函數(shù)為

(10)

(11)

式中,L為退化的黎卡提方程的解

(12)

最終的控制律可寫為

(13)

(2) II型LQR控制

根據(jù)另一種典型懸架最優(yōu)控制的目標(biāo)函數(shù)形式[27-28],定義II型LQR控制的目標(biāo)函數(shù)為

(14)

(15)

式中,L為退化的黎卡提方程的解

(16)

最終的控制律可寫為

(17)

2.1.2H∞控制

(18)

(19)

通過求解γ最小時上述不等式的可行解,即可得到狀態(tài)反饋控制器增益K2,因此最終的控制律為

(20)

2.2 次優(yōu)控制

由上述可知,最優(yōu)控制的控制律可以統(tǒng)一寫為

u=Kx=k1x1+k2x2+k3x3+k4x4

(21)

(22)

從式(22)可知,次優(yōu)控制可以看作是天棚地棚混合控制或者天棚被動混合控制。如果這種次優(yōu)控制可以直接由懸架參數(shù)和LQR控制或H∞控制的增益計算得到,同時可以實(shí)現(xiàn)等效的控制效果,那么將可以建立天棚地棚(或被動)混合控制與LQR控制或H∞控制的等效關(guān)系。

2.2.1 最小范數(shù)次優(yōu)控制

基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制輸出力u′可表示為

y=Cx

(23)

u′=K′y

(24)

將式(23)代入式(24),得到次優(yōu)控制力為

(25)

(26)

可求解得到

(27)

(28)

因此,基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制力為

u′=K′y=k2x2+k4x4

(29)

2.2.2 雙阻尼次優(yōu)控制

將式(21)與式(4)和式(6)結(jié)合,消去x1,得到:

(30)

(31)

將式(30)、式(31)與式(21)的導(dǎo)數(shù)式(32)結(jié)合,得到式(33)

(32)

(33)

由于車輛輪胎的剛度遠(yuǎn)大于懸架的剛度,因此在合理的情況下,輪胎變形及其導(dǎo)數(shù)的數(shù)值非常小。此外,考慮到執(zhí)行器的真實(shí)響應(yīng)速度和車輛的平順性,執(zhí)行器輸出力的高頻分量應(yīng)盡可能小。因此,可以忽略式(33)的后三項,得到如下次優(yōu)控制律

(34)

2.2.3 最佳次優(yōu)控制

通過參數(shù)優(yōu)化可計算得到形如式(22)所示的次優(yōu)控制與最優(yōu)控制最逼近的效果,可用于衡量上述兩種次優(yōu)控制與數(shù)值上的最佳次優(yōu)控制的差距。

在式(17)控制下,路面激勵速度到懸架簧上質(zhì)量加速度的幅頻特性可表示為

(35)

假設(shè)最佳次優(yōu)控制的控制律及其幅頻特性如下

(36)

(37)

3 數(shù)值仿真驗(yàn)證

為對比基于最小范數(shù)法和基于雙阻尼控制法的兩種次優(yōu)控制與最優(yōu)控制的等效效果,選擇路面不平度為C級、車速為20 m/s的較差路面激勵進(jìn)行仿真分析。

次優(yōu)控制與最優(yōu)控制的等效程度使用控制力的相對差異E表示,即:

(38)

根據(jù)式(34),基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制的力值相對差異記為Em,基于雙阻尼控制法的次優(yōu)控制的力值相對差異記為Ec,最佳次優(yōu)控制與最優(yōu)控制的力值相對差異記為Eopt。

3.1 LQR控制

3.1.1 I型LQR控制

為了盡可能覆蓋常見的權(quán)值系數(shù)取值范圍,在研究權(quán)重對I型LQR控制的影響時,取q1∈[10 1012],q2∈[10 3.16e11],q3∈[10 1012]。改變權(quán)重系數(shù),數(shù)值計算得到了I型LQR控制作用下控制力、懸架動撓度、輪胎動撓度和簧上質(zhì)量加速度的均方根值,如圖2所示。

(a) RMS(u)/N

為保證舒適性、懸架動撓度、輪胎抓地力和控制力的均衡,三個權(quán)重系數(shù)應(yīng)在圖2中四幅圖重疊的區(qū)域選取。因此可通過將控制力、懸架動撓度、輪胎動撓度和簧上質(zhì)量加速度的均方根進(jìn)行歸一化并相加,即式(39),得到一種合理參數(shù)范圍(reasonable parameter range, RPR)指數(shù),如圖3(a)所示。按照式(38)計算了I型LQR控制與相應(yīng)的雙阻尼控制的力值相對差異Em、Ec和Eopt,如圖3(b)、圖3(c)、圖3(d)所示。

(a) RPR

(39)

從圖3可知,基于雙阻尼控制的次優(yōu)控制與I型LQR控制的力值相對差異Ec較小。此外,雙阻尼控制的Ec較小的區(qū)域包含了圖3(a)中的合理權(quán)值參數(shù)范圍,且與最佳次優(yōu)控制的力值相對差異Eopt較小,說明在合理權(quán)值參數(shù)范圍內(nèi),基于雙阻尼控制的次優(yōu)控制可以很好地對I型LQR控制進(jìn)行等效簡化。

為進(jìn)一步驗(yàn)證以上結(jié)論,在圖3中的合理參數(shù)范圍內(nèi)選取對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)進(jìn)行仿真分析,即q1=3.16×1010,q2=1×1010,q3=1×108,結(jié)果如圖4和圖5所示。從圖中可知,在該組權(quán)值參數(shù)下,基于雙阻尼控制的次優(yōu)控制具有與I型LQR控制高度的等效效果,且明顯優(yōu)于基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制的等效性。

圖4 I型LQR控制與次優(yōu)控制的時域等效效果

3.1.2 II型LQR控制

在研究權(quán)重對II型LQR控制的影響時,取q1∈[10 1012],q2∈[10 1012],q3∈[10 1012]。改變權(quán)重系數(shù)取值,數(shù)值計算得到了II型LQR控制作用下的控制力、懸架動撓度、輪胎動撓度和簧上質(zhì)量加速度的均方根值,如圖6所示。

(a) RMS(u)/N

為指示出可以均衡舒適性、懸架動撓度、輪胎抓地力和控制力的合理權(quán)值范圍,根據(jù)式(39),計算得到了合理參數(shù)范圍指數(shù)RPR,如圖7(a)所示。按照式(38)計算了II型LQR控制與相應(yīng)的雙阻尼控制的力值相對差異Em、Ec和Eopt,如圖7(b)、圖7(c)、圖7(d)所示。

(a) RPR

從圖7可知,基于雙阻尼控制的次優(yōu)控制與II型LQR控制的力值相對差異Ec較小的藍(lán)色區(qū)域面積稍大于基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制的力值相對差異Em較小,表明基于雙阻尼控制的次優(yōu)控制對II型LQR控制的等效效果略優(yōu)于基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制。此外,雙阻尼控制的Ec較小的區(qū)域包含了圖7(a)中大部分的合理權(quán)值參數(shù)范圍,且與最佳次優(yōu)控制的力值相對差異Eopt較小的區(qū)域相差不大,說明在大部分合理權(quán)值參數(shù)范圍內(nèi),雙阻尼控制可很好地對II型LQR控制等效簡化。

為進(jìn)一步驗(yàn)證以上結(jié)論,在圖7中的合理參數(shù)范圍內(nèi)選取對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)進(jìn)行仿真分析,即q1=1×1011,q2=1×107,q3=1×108,結(jié)果如圖8和圖9所示。從圖8和9可知,在該組權(quán)值參數(shù)下基于雙阻尼控制的次優(yōu)控制具有與II型LQR控制較好的等效效果,且優(yōu)于基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制的等效性。

圖8 II型LQR控制與次優(yōu)控制的時域等效效果

3.2 H∞控制

H∞控制的主要參數(shù)有最大動撓度zmax、最大輸出力umax和路面擾動能量相關(guān)參數(shù)ρ?？紤]到實(shí)際情況,僅考慮zmax∈[0.05 0.15] m,umax∈[1 000 3 000] N,ρ∈[0.2 4]對控制效果的影響。仿真得到了不同參數(shù)下H∞控制作用下的控制力、懸架動撓度、輪胎變形、簧上質(zhì)量加速度的均方根,如圖10所示。由于不同參數(shù)下的控制力,懸架動撓度和簧上質(zhì)量加速度的均值普遍都比較小,因此合理參數(shù)范圍可定為簧上質(zhì)量加速度較小的區(qū)域。

(a) RMS(u)/N

H∞控制和相應(yīng)的雙阻尼控制的控制力相對差異Em、Ec和Eopt,如圖11所示。從圖11可知,基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制與H∞控制的力值相對差異Em較小區(qū)域面積明顯大于基于雙阻尼控制的次優(yōu)控制的力值相對差異Ec較小的區(qū)域,表明基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制與H∞控制的等效效果明顯優(yōu)于基于雙阻尼控制的次優(yōu)控制。此外,基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制的Em較小的區(qū)域包含了圖10(d)中大部分的合理權(quán)值參數(shù)范圍,且與最佳次優(yōu)控制的力值相對差異Eopt較小的區(qū)域相差不大,說明在大部分合理權(quán)值參數(shù)范圍內(nèi),基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制可以很好地對H∞控制等效簡化。為進(jìn)一步驗(yàn)證以上結(jié)論,在圖11中的合理參數(shù)范圍內(nèi)選取對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)進(jìn)行仿真分析,即zmax=0.11,umax=1 800,ρ=0.8,結(jié)果如圖12和圖13所示。從圖可知,在該組權(quán)值參數(shù)下,基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制具有與H∞控制較好的等效效果,且優(yōu)于基于雙阻尼控制的次優(yōu)控制的等效性。

(a) Em/%

圖12 H∞控制與次優(yōu)控制的時域等效效果

4 結(jié) 論

(1) 在主動懸架控制中,對比了在合理參數(shù)范圍內(nèi)基于最小范數(shù)法的雙阻尼控制和基于雙阻尼控制的雙阻尼控制對三種最優(yōu)控制(I型LQR控制,II型LQR控制和H∞控制)的等效效果,給出了這兩種次優(yōu)控制在實(shí)際應(yīng)用中適應(yīng)的情況。

(2) 通過綜合考慮舒適性,懸架動撓度和輪胎動載荷,給出了三種最優(yōu)控制的合理參數(shù)范圍,并通過控制力相對差異衡量次優(yōu)控制對最優(yōu)控制的等效程度。

(3) 數(shù)值仿真結(jié)果表明,基于雙阻尼控制的次優(yōu)控制對LQR控制的等效效果優(yōu)于基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制,而基于最小范數(shù)法的次優(yōu)控制對H∞控制的等效效果優(yōu)于基于雙阻尼控制的次優(yōu)控制。

在實(shí)際懸架控制策略設(shè)計中可以選擇合適的次優(yōu)控制方法對基于經(jīng)典最優(yōu)控制得到的狀態(tài)反饋進(jìn)行等效降階,在減少輸入變量的同時實(shí)現(xiàn)與最優(yōu)控制更相似的控制效果。