元認(rèn)知：基于思維的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)
——以“三角形的面積”教學(xué)為例

江蘇省徐州市賈汪區(qū)江莊鎮(zhèn)中心小學(xué) 盧興本

元認(rèn)知是美國(guó)心理學(xué)家J.H.弗拉維爾提出的一個(gè)關(guān)于應(yīng)用心理學(xué)的概念。在日常教學(xué)中，有學(xué)生會(huì)把教材中的認(rèn)知內(nèi)容納入自己的知識(shí)體系，把數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行前后貫通，橫向理解，這是思維內(nèi)化；也有部分學(xué)生讀不明白題意，說(shuō)不清楚題目中的邏輯關(guān)系，得不出正確的結(jié)論。這兩種情況都和元認(rèn)知水平的高低有密切關(guān)系。筆者以《三角形的面積》教學(xué)為例，淺談在數(shù)學(xué)課堂提高學(xué)生元認(rèn)知水平的具體做法與體會(huì)。

一、在教學(xué)預(yù)設(shè)中尋找元認(rèn)知，讓思維發(fā)生

師：今天，老師給同學(xué)們帶來(lái)了一則故事，埃及國(guó)王想要測(cè)量金字塔的高度，有一個(gè)叫法涅斯的學(xué)者利用太陽(yáng)的影子測(cè)量出了金字塔的準(zhǔn)確高度。法涅斯利用自己的身高在某一時(shí)刻和影子一致，從而推導(dǎo)出來(lái)金字塔的影子在此時(shí)和金字塔的高度應(yīng)該也一致。法涅斯用到的方法在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中十分常見(jiàn)。請(qǐng)看大屏幕，比一比，這兩個(gè)圖形的面積一致嗎？

生1：兩個(gè)圖形不一樣，不一定相等。

生2：我感覺(jué)是相等的。

師：那么我們來(lái)觀察一下，看看這兩個(gè)圖形的面積究竟是否相等。（PPT 顯示圖形的切割與組合）

師：相等嗎？

生：相等。

師：我們把原來(lái)不一樣的兩個(gè)圖形經(jīng)過(guò)重新切割與組合，就變成了一樣的圖形，這個(gè)過(guò)程就叫轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換可以把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的圖形，也可以把復(fù)雜的關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的關(guān)系。那么，《曹沖稱象》的故事是如何轉(zhuǎn)換的？

生：曹沖把大象轉(zhuǎn)換為一塊塊石頭，利用船載重物會(huì)沉入水中的原理，測(cè)量出了大象的重量。

師：是啊，轉(zhuǎn)換是一種重要的問(wèn)題解決策略，目的就是化繁為簡(jiǎn)，把沒(méi)有學(xué)過(guò)的知識(shí)轉(zhuǎn)換為學(xué)過(guò)的知識(shí)。

在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師通過(guò)兩則通俗易懂的小故事讓學(xué)生認(rèn)識(shí)了“轉(zhuǎn)換”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，發(fā)揮元認(rèn)知的價(jià)值，讓每個(gè)學(xué)生從身邊事例當(dāng)中發(fā)現(xiàn)認(rèn)知的意義，感受知識(shí)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

二、在課堂教學(xué)中展現(xiàn)元認(rèn)知，讓思維深入

要讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)知識(shí)的重構(gòu)過(guò)程，以“三角形的面積”教學(xué)為例。

1.通過(guò)操作與比較對(duì)知識(shí)進(jìn)行辨析

師：同學(xué)們，下面讓我們利用學(xué)具來(lái)進(jìn)行探究。選擇兩個(gè)一樣的三角形，嘗試進(jìn)行組合。

學(xué)生根據(jù)選擇的材料進(jìn)行探索，并展示、匯報(bào)。

生1：我用兩個(gè)一樣的直角三角形拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形。拼成的長(zhǎng)方形面積=底×高，每一個(gè)直角三角形的面積就等于這個(gè)長(zhǎng)方形面積的一半，所以這個(gè)三角形的面積=底×高÷2。

師：同學(xué)們，從他的發(fā)言中，你聽(tīng)明白了嗎？那么，是不是只要是三角形，面積就是平行四邊形面積的一半呢？（教師拿出兩個(gè)不等底等高的三角形和平行四邊形學(xué)具，讓學(xué)生對(duì)比）

生2：我發(fā)現(xiàn)要抓住三角形和平行四邊形的底和高來(lái)比較，才能得出正確的結(jié)論。

師：同學(xué)們分析得很有道理，我們一起再來(lái)回憶拼圖過(guò)程。（板書(shū)：三角形的面積=底×高÷2）

在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過(guò)兩次比較與嘗試，得出了對(duì)三角形面積的正確認(rèn)識(shí)，在思維的不斷深入中，經(jīng)歷了對(duì)三角形面積進(jìn)行初步認(rèn)識(shí)的元認(rèn)知過(guò)程。

2.代入符號(hào)讓知識(shí)經(jīng)歷二次建構(gòu)

師：同學(xué)們，三角形面積計(jì)算公式當(dāng)中，“底×高”指什么？ “÷2”指什么？

生1：“底×高”表示平行四邊形的面積，也就是兩個(gè)完全一樣的三角形的面積，所以又要 “÷2”。

師：如果我們用“a”表示三角形的底，用“h”表示三角形的高，“S”表示三角形的面積，那么計(jì)算三角形面積的字母公式可以寫(xiě)成什么？

生1：S=ah÷2。（教師補(bǔ)充板書(shū)）

學(xué)生的認(rèn)知隨著對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究不斷深入，學(xué)生通過(guò)對(duì)平行四邊形面積向三角形面積的公式轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)了思維向知識(shí)深處進(jìn)發(fā)。

三、在課后實(shí)踐中運(yùn)用元認(rèn)知，讓思維存在

發(fā)明家富勒曾說(shuō)：“三角形是宇宙起源的未來(lái)形式。”三角形的獨(dú)特存在是我們判斷實(shí)物之間聯(lián)系的重要基礎(chǔ)之一。在課后實(shí)踐中，筆者以“紅領(lǐng)巾”作為測(cè)量對(duì)象，讓學(xué)生搜集有關(guān)紅領(lǐng)巾的資料，讓學(xué)生根據(jù)三角形面積公式計(jì)算其面積。

師：同學(xué)們，假如我們想測(cè)量紅領(lǐng)巾的面積，你準(zhǔn)備怎么做？

生1：我把紅領(lǐng)巾當(dāng)作一個(gè)三角形，首先測(cè)量它的底，再測(cè)量它的高，然后根據(jù)公式S=ah÷2 計(jì)算它的面積。

生2：我會(huì)找兩個(gè)完全一樣的紅領(lǐng)巾，拼成一個(gè)平行四邊形，先得出平行四邊形的面積，然后除以2，就得到紅領(lǐng)巾的面積了。

師：同學(xué)們，通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，課后，你們會(huì)利用三角形的面積公式做些什么呢？

生1：利用這個(gè)公式測(cè)量家中三角形物品的面積。

師：同學(xué)們，得出三角形面積公式的途徑有很多，我們可以用推導(dǎo)、切割、“數(shù)格”等許多方法來(lái)研究三角形的面積，課后同學(xué)們繼續(xù)探究，你們還會(huì)有新的收獲。

上面的教學(xué)環(huán)節(jié)可以理解為認(rèn)知與思維的碰撞過(guò)程，也是滲透學(xué)科“立德樹(shù)人”的過(guò)程。經(jīng)歷這一過(guò)程，有助于凸顯知識(shí)的生活應(yīng)用。

總之，基于元認(rèn)知，讓學(xué)生不斷調(diào)整學(xué)習(xí)狀態(tài)，在思維視角下去學(xué)習(xí)知識(shí)、積累經(jīng)驗(yàn)、提高能力。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，從學(xué)生的元認(rèn)知著手，鼓勵(lì)學(xué)生呈現(xiàn)“自我”，逐步提高元認(rèn)知能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。