中學(xué)數(shù)學(xué)中的化歸思想及教學(xué)策略淺談

唐怡

摘 要數(shù)學(xué)已經(jīng)日益成為一門重要的學(xué)科，但是中學(xué)數(shù)學(xué)在傳授基本的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，總是在不斷地填鴨教學(xué)，學(xué)生無法靈活應(yīng)用。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該有更遠(yuǎn)大的目光，不僅是參加中考、高考，而且要教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)，以數(shù)學(xué)思想去感染學(xué)生，讓數(shù)學(xué)能夠滲透入學(xué)生的日常學(xué)習(xí)和生活。這里筆者就討論了對(duì)于化歸思想的教學(xué)策略問題。

關(guān)鍵詞化歸思想;數(shù)學(xué);策略

中圖分類號(hào)：C931.1，D045???????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號(hào)：1002-7661（2020）33-0093-02

中學(xué)數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)課程，在整個(gè)中學(xué)階段都有著舉足輕重的作用，它不僅提高學(xué)生的基本素養(yǎng)，同時(shí)也能夠在一定程度上幫助學(xué)生提高物理、化學(xué)等科目的學(xué)習(xí)效果。然而，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中卻產(chǎn)生疑惑，到底是哪些知識(shí)點(diǎn)對(duì)于自己的未來產(chǎn)生作用呢？筆者想指出的是，數(shù)學(xué)知識(shí)在傳授過程中，更多應(yīng)該考慮的是數(shù)學(xué)思想對(duì)于學(xué)生潛移默化的影響。由此看來，數(shù)學(xué)思想在整個(gè)數(shù)學(xué)課堂上的滲透是必須的，而其中化歸思想方法是數(shù)學(xué)思想方法中最基本的方法。

一、數(shù)學(xué)化歸思想的概述

化歸思想就是將待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個(gè)容易解決或已經(jīng)解決的問題，從而得到原問題的解答的一種理性認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)中的高度抽象、概括的內(nèi)容，它蘊(yùn)含于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法、模型法、函數(shù)法等方法分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的過程之中。化歸的核心思想就是一個(gè)“變”字，這種“變”，其實(shí)就是解題的一個(gè)思維過程。

二、數(shù)學(xué)化歸思想的教學(xué)意義

（一）有利于全面掌握數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)常常會(huì)用到的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想等等。而其中，函數(shù)與方程的思想體現(xiàn)的是函數(shù)與方程及不等式之間的相互轉(zhuǎn)換;數(shù)形結(jié)合的思想則反映了數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化;分類討論思想則是將局部與整體之間進(jìn)行著相互轉(zhuǎn)化，它們都是化歸思想的具體體現(xiàn)。總之，化歸思想是眾多數(shù)學(xué)思想的精髓，而掌握好化歸思想將有助于其他數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)。

（二）有利于問題的解決

數(shù)學(xué)問題的解決過程就是一個(gè)在不斷地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，然后化歸為一類能夠解決的問題或是容易解決問題的過程，因此化歸思想對(duì)于數(shù)學(xué)問題的解決有著十分重要的意義。而數(shù)學(xué)是無處不在的，實(shí)際問題的解決也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的。在化歸思想的指導(dǎo)下，實(shí)際問題常常被歸結(jié)為函數(shù)問題、不等式問題、數(shù)列問題、線性規(guī)劃問題、圓錐曲線問題等等。

（三）有助于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化

認(rèn)知新知識(shí)的過程中，通常會(huì)利用已學(xué)過的知識(shí)逐步深入，而這正是運(yùn)用了化歸思想。在運(yùn)用的過程中可以將散亂的知識(shí)點(diǎn)有序地結(jié)合成一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中易懂、好記，而且會(huì)用。

在認(rèn)知同化論中提出，當(dāng)學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想和方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，就屬于下位學(xué)習(xí)了。下位學(xué)習(xí)所學(xué)知識(shí)具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學(xué)習(xí)的意義，即，可使新知識(shí)能夠順利地納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。學(xué)生學(xué)習(xí)了化歸思想就能夠更好地理解和掌握教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、數(shù)學(xué)化歸思想的教學(xué)策略

（一）注重“三基”，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)是化歸思想教學(xué)的基礎(chǔ)

中學(xué)數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，教學(xué)中要注重“三基”的培養(yǎng)，也就是基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法，而這其中就蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想。教學(xué)實(shí)踐也告訴大家，學(xué)生的差別很大程度上與他的“三基”掌握程度有關(guān)。那么，在教學(xué)過程中，注重“三基”，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)就是必不可少的。

1.知識(shí)點(diǎn)傳授過程中，重視基本數(shù)學(xué)模型的教學(xué)

數(shù)學(xué)無處不在，而傳授各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的過程其實(shí)也是一個(gè)將數(shù)學(xué)模型化的過程，建立數(shù)學(xué)模型是將實(shí)際問題規(guī)范化和程序化，這恰好是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的過程。數(shù)學(xué)中這些知識(shí)點(diǎn)可以通過化歸完美地解決。而教師如果能在教學(xué)的過程中抓住機(jī)遇，潛移默化地影響學(xué)生，將有助于學(xué)生有意識(shí)地領(lǐng)悟化歸思想。

2.數(shù)學(xué)方法整理歸納有利于尋求化歸方法

學(xué)生常常在一道題目面前一籌莫展，無從下手，而其根本的原因是知識(shí)結(jié)構(gòu)的不完整。正如同中學(xué)數(shù)學(xué)中對(duì)于求直線方程一般有5種方法，點(diǎn)斜式方程需要點(diǎn)坐標(biāo)和斜率（或傾斜角）;斜截式方程需要找到斜率和縱截距（或者是直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)）;兩點(diǎn)式方程需要兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo);截距式方程需要橫、縱截距;還有一般式方程，可以使用待定系數(shù)發(fā)來解題。如果學(xué)生能夠?qū)τ谶@其中的條件和關(guān)聯(lián)公式了如指掌，自然可以很清楚地加以解題，甚至于可以常常一題多解來完成任務(wù)。

3.完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，方便尋求化歸途徑

在教學(xué)過程中教師應(yīng)該常常幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，例如新授課時(shí)與已經(jīng)學(xué)過的章節(jié)內(nèi)容的銜接和單元小結(jié)做好整章的結(jié)構(gòu)整理等等。這里畫知識(shí)結(jié)構(gòu)圖將使知識(shí)結(jié)構(gòu)更加系統(tǒng)化、板塊化，知識(shí)之間的相互關(guān)系也將一目了然。

（二）創(chuàng)設(shè)問題情景，設(shè)計(jì)教學(xué)過程有助于提高化歸意識(shí)

教師在教學(xué)中應(yīng)該要精心地設(shè)計(jì)，巧妙地引導(dǎo)，有意識(shí)地利用一題多解或多題一解歸納總結(jié)、啟發(fā)學(xué)生，使他們領(lǐng)悟到蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)中的各個(gè)數(shù)學(xué)思想方法。

例如：化簡(jiǎn)

這是一個(gè)典型的三角函數(shù)題，而對(duì)于學(xué)生而言三角函數(shù)是有一定難度的。教師常常教導(dǎo)學(xué)生在三角函數(shù)解題過程中，可以關(guān)注角和函數(shù)名，減少函數(shù)名，會(huì)選擇化弦，利用商數(shù)關(guān)系做到“切化弦”;而為了統(tǒng)一角度，會(huì)選擇二倍角公式倍角化單角，但是說來簡(jiǎn)單，學(xué)生常常會(huì)一籌莫展。

比如這一題中的分母，可以選擇sin2x=2sinxcosx，而分子部分就有一定難度了，不妨和學(xué)生做一下分析，需要讓這里的，同樣變成單角，那有三個(gè)公式可以做選擇。而其中只有，正好可以抵消分子上的1，起到化簡(jiǎn)作用。由此化簡(jiǎn)將倍角轉(zhuǎn)化為了單角，可以繼續(xù)進(jìn)行化簡(jiǎn)了。

解：

這樣一道例題的解答可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維，逐層尋找關(guān)系，提高了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和解題技巧，從而達(dá)到了本節(jié)課的教學(xué)目的。

（三）指導(dǎo)學(xué)生掌握化歸的一般方法，有利于化歸思想的教學(xué)

樹立了化歸意識(shí)的同時(shí)，也要指導(dǎo)學(xué)生掌握探求化歸的一般方法。

1.化未知為已知

在數(shù)列的極限運(yùn)算中，歸納了三個(gè)結(jié)論：（c為常數(shù)），（）和（），而他們都存在特定的成立條件。那么在解題的過程中，即使碰到了指數(shù)函數(shù)，也要考慮是否適合才用這三個(gè)結(jié)論。如果不適合，那么如何來化未知為已知。

例如：

解：原式==

未知條件的每一項(xiàng)與第二個(gè)公式相比較，不符合條件，而在進(jìn)行分子分母同除以以后，就化為了已知公式的形式，可以采納了。

2.化復(fù)雜為簡(jiǎn)單

復(fù)雜和簡(jiǎn)單是一個(gè)相對(duì)的概念，概念發(fā)展的低級(jí)階段的形式與高級(jí)階段的形式相比較，前者是簡(jiǎn)單形式，正如平面幾何是立體幾何的簡(jiǎn)單形式。

例如：一只螞蟻從正方體的頂點(diǎn)A沿正方體的表面爬到正方體的C點(diǎn)。設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a，問螞蟻爬過的最短路程是多少？

在這個(gè)問題中就需要將右平面展開，這樣原本一個(gè)立體幾何題就可以轉(zhuǎn)化為平面幾何題。

四、結(jié)語

總之，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，尤其是化歸思想的教學(xué)，是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵。而在教學(xué)過程中應(yīng)該多培養(yǎng)學(xué)生的化歸思維能力，讓他們積極地投入進(jìn)來，自主地發(fā)展思維、提高能力。

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