例談辯證思想在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用

連錦釗

[摘要]在中學(xué)階段，由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)容量增多，方法技巧多樣化，在思考解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，時(shí)常會(huì)碰到直接研究、分析、解決問(wèn)題較困難的情況。為有效地回避解題出現(xiàn)的這種困境，如果能?chē)L試用辯證思想來(lái)處理這類(lèi)問(wèn)題，一般可以達(dá)到較為理想的解決問(wèn)題的效果。

[關(guān)鍵詞]辯證思想;數(shù)學(xué)題;應(yīng)用

用辯證思想、技巧、方法觀(guān)察、分析、理解客觀(guān)現(xiàn)實(shí)世界，有利于更快地接受真實(shí)實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅應(yīng)讓每個(gè)學(xué)生學(xué)會(huì)基本數(shù)學(xué)知識(shí)技能，更重要的是數(shù)學(xué)教學(xué)要教給學(xué)生用數(shù)學(xué)觀(guān)點(diǎn)、思想、方法等看待或思考生產(chǎn)生活等實(shí)際問(wèn)題。辯證思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題極其重要的思想。因此，研究辯證思想解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題是很有必要的。本文結(jié)合平時(shí)的數(shù)學(xué)課程教學(xué)，以實(shí)例的形式加以分析、說(shuō)明、總結(jié)。

一、正與反思想

如果從正面去思考數(shù)學(xué)問(wèn)題比較困難，情況較復(fù)雜，那么就可以嘗試用逆向思維去思考。

分析：討論這道題，就應(yīng)分三種情況，即恰有一函數(shù)、恰有兩個(gè)函數(shù)、恰有三函數(shù)有零點(diǎn)。其解題過(guò)程非常煩瑣。反之，從三個(gè)函數(shù)都沒(méi)有零點(diǎn)去考慮問(wèn)題后再求補(bǔ)集就能很輕松地解決問(wèn)題。

二、數(shù)與形思想

“數(shù)”與“形”的結(jié)合是數(shù)學(xué)解題的重要思想。如果學(xué)會(huì)積極采取有效的“數(shù)”與“形”的結(jié)合或轉(zhuǎn)換，那么就可以創(chuàng)造性地解決困難問(wèn)題。

四、繁與簡(jiǎn)思想

例4：討論不定方程x+v+z=10的解的個(gè)數(shù)（其中：x、v、z為正整數(shù)）。

分析：如果將本題分類(lèi)討論，其過(guò)程較繁，可能會(huì)因顧此失彼而考慮不周，其實(shí)本題只要構(gòu)造簡(jiǎn)單的組合模型便可以輕松解題。

解：把本題構(gòu)造成為10個(gè)小球排成一排，在其間插入2塊隔板把10個(gè)小球自然地分成三段，每一段的數(shù)目分別就是x、v、z對(duì)應(yīng)值，這樣不同插法有C9⁹=36種，因此符合原方程的正整數(shù)解一共有36組。

五、主與次思想

有些問(wèn)題變換主與次的角色后，問(wèn)題的解決思路更清晰。

八、或然與必然思想

大部分概率主要研究“偶然”中的“必然”，然后用規(guī)律性的東西去解決“偶然”的實(shí)際問(wèn)題，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)或然與必然思想。

例8：元旦節(jié)前，一學(xué)生在自己家院子里樹(shù)上掛了兩盞燈以增加節(jié)日氣氛。假設(shè)這兩盞燈通電后4秒內(nèi)任何時(shí)刻閃爍是等可能的，接著每盞燈每隔4秒一次閃爍。當(dāng)給這兩盞燈通電之后，求這兩盞燈第一次閃爍的時(shí)刻差不到兩秒鐘的概率。

可以注意到，隨機(jī)事件發(fā)生的隨機(jī)性和概率的確定性是隨機(jī)事件發(fā)生的規(guī)律問(wèn)題，體現(xiàn)了或然與必然聯(lián)系。

九、有限與無(wú)限思想

中學(xué)數(shù)學(xué)課程很強(qiáng)調(diào)有限性與無(wú)限性的對(duì)立統(tǒng)一，相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容比比皆是。下面例舉線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的教學(xué)與考查。

本文較為系統(tǒng)地分析了九種辯證思想的解題思路和技法。解題過(guò)程中往往滲透著幾種重要的數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生多角度、靈活思辨地思考及解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，擺脫定勢(shì)思維習(xí)慣的困境，提高解題思維品質(zhì)，培養(yǎng)積極創(chuàng)新的思辨意識(shí)。