探討反證法在初中數(shù)學解題中的應用

（山西省太原市魯藝中學校，山西 太原 030000）

一、反證法的概述

（一）反證法的基本理念

先對原命題進行否定，然后再找出必要的矛盾，就可以對原命題進行論證。也就是說，在證明一個命題的時候，可以先假設命題結(jié)論的對立面是正確的，再由已知條件得出兩個相互矛盾的結(jié)論，或者與數(shù)學定理、公理、已知條件等相矛盾的結(jié)果，就可以說假設不成立。而在說明假設不成立的同時，也就代表著原命題的成立，這就是反證法。

（二）反證法的理論依據(jù)

反證法的理論依據(jù)為矛盾律和排中律。矛盾律的意思是，在同一個證明過程中，如果兩個相結(jié)論相互對立，那么其中一個必然是錯誤的。而排中律的意思是，同一個命題只有兩種可能，要么為真，要么為假。排中律的特點是，解題者必須要有清晰、明確的思維，不僅要確定自己的思維邏輯，還要明確自己的立場。要想有效地運用矛盾律和排中律解決數(shù)學問題，就一定要避免出現(xiàn)邏輯矛盾，如果邏輯思維不符合排中律，那么必然也不符合矛盾律。但是矛盾律更加強調(diào)當兩個結(jié)論彼此對立的時候，其中一個結(jié)論必然是錯誤的。而排中律則強調(diào)兩個結(jié)論相互否定，就會存在一定的正確結(jié)論。

（三）反證法的分類

一般情況下，我們可以將反證法分為以下兩種。第一種是歸謬法，即對原命題的結(jié)論進行否定，如果只有一種情況，那么只要證明這種情況是錯誤的，就可以證明原命題結(jié)論成立。第二種是窮舉法，即對原命題的結(jié)論進行否定，其結(jié)果有多種情況，那么就只能將所有情況進行逐一否定，才能證明原命題結(jié)論成立。

二、反證法在初中數(shù)學解題中應用的重要性

（一）提高了學生的數(shù)學思維能力

反證法的解題思維與常規(guī)性的數(shù)學解題思維完全相反，所以反證法的應用可以對學生的解題思維產(chǎn)生新的啟發(fā)，進而提高學生的數(shù)學思維能力。當面對數(shù)學問題的時候，學生往往會習慣性地運用常規(guī)性方法展開思考與分析，但是還有相當一部分的數(shù)學問題，很難通過常規(guī)方法獲得答案，只有從反面思考才能找到解題突破口。所以，在初中數(shù)學解題過程中，反證法的應用可以拓寬學生的解題思路，讓學生思考并嘗試更多非常規(guī)的解題方法。久而久之，學生的數(shù)學思維能力也就得到了有效提高。

（二）推動了數(shù)學教育的發(fā)展與進步

面對數(shù)學問題，如果初中學生長期使用正向思維，很容易形成一種定性思維，甚至對學生多樣化的思考方式產(chǎn)生限制，影響學生對問題的多角度思考的同時，也讓學生對枯燥的數(shù)學學習無法提起學習興趣。隨著新課程改革的不斷深化，在數(shù)學知識的學習方面，對于學生也提出了更高的要求，即學生不僅要掌握足夠的基礎(chǔ)知識，為后期數(shù)學知識的學習打好基礎(chǔ)，還要學會多角度的分析數(shù)學問題，運用多種數(shù)學思維獲得問題答案。另外，掌握了反證法的應用技巧的學生，還可以將這種數(shù)學思維應用到日常生活中特殊問題的解決當中，而這正好為數(shù)學教育的發(fā)展提供了有力的支持。

三、反證法在數(shù)學解題中的應用步驟

反證法在數(shù)學解題中的應用步驟，主要有三步：第一反設，第二歸謬，第三結(jié)論。首先，反設，這是應用反證法解決數(shù)學問題的基礎(chǔ)，反設的正確與否，直接影響著數(shù)學問題的解題進度與解題結(jié)果。要想進行正確的反設，第一要明確題設條件與結(jié)論，第二全面詳細地找出與結(jié)論相反的假設，第三對結(jié)論進行肯定或者否定。為了提高反設的正確率，可以引導學生熟知常用的幾種互為否定詞。例如“是”的反義詞是“不是”，“都”的反義詞是“不都”，“大于”的反義詞是“不大于”，“小于”的反義詞是“不小于”，“有限”的反義詞是“存在”，“存在”的反義詞是“不存在”。另外，針對至少有1個，至多有n個，至多有1個等證明結(jié)論的反設，就需要用心琢磨，了解“一個也沒有”“最多有兩個”以及“至多有n個”的含義。其次，歸謬，這是應用反證法正確解決數(shù)學問題的關(guān)鍵，也是應用反證法的難點所在。主要是通過反設來得出矛盾，需要解題者明確推理方向反設后條件部分，明確如何找出矛盾。最后，結(jié)論，即通過反證法獲得預期結(jié)果。歸謬得出的矛盾是因為反設才產(chǎn)生的問題，并不是所謂的新理論。只有這樣，才能夠得出原命題成立的結(jié)論。

四、反證法在數(shù)學解題中的應用注意事項

（一）正確否定結(jié)論

在數(shù)學問題的解決過程中，要想巧妙地應用反證法獲得問題答案，必須要對結(jié)論進行正確的否定，這是應用反證法解題的前提。

（二）明確推理特點

在數(shù)學問題的解決過程中，要想巧妙地應用反證法獲得問題答案，就需要先否定結(jié)論，再推導出矛盾。但是會出現(xiàn)什么樣的矛盾，或者推導到什么程度會出現(xiàn)矛盾具有一定的不確定性。但是可以通過相關(guān)領(lǐng)域的聯(lián)想來猜測矛盾的種類。例如，如果題目是與平面幾何相關(guān)的問題，那么就要聯(lián)想與平面幾何相關(guān)的公理、定理以及定義等。

（三）了解矛盾種類

常見的矛盾主要有以下幾種形式：第一自相矛盾，第二與假設矛盾，第三與已知條件矛盾，第四與數(shù)學定理、公理以及定義矛盾。與直接證明法相比，反證法的應用可以跨越一些解題阻礙，簡化解題步驟，而且通過反設還可以增加解題條件，快速得出結(jié)論。

綜上所述，在初中數(shù)學的解題實踐過程中，反證法是一種非常有效的數(shù)學解題方法，很多看似無從下手的問題，使用反證法都可以迎刃而解，而且解題的效率非常高。但是反證法的應用具有一定的難度，學生很難在短時間內(nèi)掌握。所以初中數(shù)學教師要講究一定的方式方法對反證法的知識點進行教授，對反證法的概念、種類、解題步驟以及適用的題型進行充分詳細的講解和反復強調(diào)，讓學生形成深刻印象才能更好地應用。