在實(shí)驗(yàn)驅(qū)動(dòng)中實(shí)踐課堂教學(xué)
——以多邊形的內(nèi)角和與外角和為例

江蘇省南通市八一中學(xué) 張 華

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課內(nèi)容

通過視頻展示三角形在生活中的應(yīng)用，如橋梁、房屋、籃球架、新栽樹木固定架……最后展示一個(gè)三角形，然后通過問題串讓學(xué)生回答：

（1）三角形的要素有哪些？

（2）根據(jù)三角形的要素，想一想四邊形、五邊形等多邊形的要素。

【設(shè)計(jì)目的】通過分析概念，再進(jìn)一步推理，可以讓學(xué)生從組織語言和表達(dá)上達(dá)成對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知。

二、分組合作探究，實(shí)驗(yàn)總結(jié)規(guī)律

活動(dòng)：（讓學(xué)生回歸舊知）三角形的內(nèi)角和有什么規(guī)律？是如何證明的？

分組實(shí)驗(yàn)：（1）通過量角工具——量角器測量出三角形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再將三個(gè)數(shù)值加在一起，看結(jié)果是不是180o。

（2）將三角形中的三個(gè)角都剪下來放在桌面上，將所有角的頂點(diǎn)放在一點(diǎn)展開，看看拼接成的角是不是平角。

猜想：四邊形的內(nèi)角和是多少？用同樣的規(guī)律來驗(yàn)證猜想。

可以引導(dǎo)學(xué)生采取分割的方法，把一個(gè)四邊形分割成兩個(gè)三角形，因?yàn)槊總€(gè)三角形的內(nèi)角和都是180o，所以可以計(jì)算出四邊形的內(nèi)角和是360o。

【設(shè)計(jì)目的】激發(fā)學(xué)生的類比潛能，用三角形的內(nèi)角和定理推理四邊形的內(nèi)角和，這是一種轉(zhuǎn)化歸納的數(shù)學(xué)思想。

思考：在以上三種計(jì)算四邊形內(nèi)角和的方法中，你認(rèn)為哪種最好？請講述你的理由。能夠得出這樣的結(jié)論：

①度量法：角度量取不精確，多邊形邊數(shù)越多，越不可取。

②拼角法：需要裁剪和拼接，操作不方便，多邊形邊數(shù)越多，此法越不可行。

③分割法：以推斷為途徑，簡單并且有理論根據(jù)，是一種幾何證明。

【設(shè)計(jì)目的】學(xué)生通過自主實(shí)踐，可以清楚地比較三種四邊形內(nèi)角和計(jì)算方法的優(yōu)劣，也為后面探究多邊形內(nèi)角和提供最直接的方法。

思考：根據(jù)四邊形內(nèi)角和的簡單推理方法，請分析五邊形內(nèi)角和。

分組實(shí)驗(yàn)：學(xué)生動(dòng)手操作，進(jìn)行小組討論、交流，尋找解答方法，共同歸納總結(jié)。有五邊形ABCDE，預(yù)測學(xué)生可能有以下幾種方法計(jì)算其內(nèi)角和：

如圖1，連接AD、AC兩條對角線，五邊形分為三個(gè)三角形，故內(nèi)角和為：3×180o=540o。

如圖2，連接AC，將五邊形分為一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，其內(nèi)角和為：360o+180o=540o。

如圖3，在AB上任取一點(diǎn)P，連接PC、PD、PE，這樣就將五邊形分為四個(gè)三角形，另外，∠APB=180o，所以五邊形的內(nèi)角和為：4×180o-180o=540o。

如圖4，在AB上任取一點(diǎn)P，連接PD，將五邊形分成兩個(gè)四邊形，其中∠APB=180o，故五邊形的內(nèi)角和為：2×360o-180o=540o。

如圖5，在五邊形內(nèi)任取一點(diǎn)O，向五個(gè)頂點(diǎn)連線(發(fā)散式)，即連接OA、OB、OC、OD、OE，將五邊形分為五個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和為五個(gè)三角形的內(nèi)角和去掉一個(gè)圓周角，即5×180o-360o=540o。

如圖6，在五邊形外任取一點(diǎn)N，連接NA、NB、NC、ND、NE(拉網(wǎng)式)，五邊形內(nèi)角和為四個(gè)三角形的內(nèi)角和減去△ABN的內(nèi)角和：4×180o-180o=540o。

【設(shè)計(jì)目的】在四邊形內(nèi)角和的推斷基礎(chǔ)上去探究五邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法，這是一種循序漸進(jìn)的教學(xué)方法，可以讓學(xué)生不斷地建模。在課堂上必須留給學(xué)生充足的時(shí)間合作交流，教會(huì)學(xué)生多種五邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法。交流、方法整合符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和年齡特征，這正是數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化規(guī)律的思想。

思考：根據(jù)四邊形、五邊形內(nèi)角和的簡單推理方法，請判斷n邊形內(nèi)角和的度數(shù)。請你說出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

在n邊形中固定一個(gè)頂點(diǎn)，從該點(diǎn)可以畫出(n-3)條對角線，于是n邊形就被分成了(n-2)個(gè)三角形，從而得出：n邊形的內(nèi)角和是(n-2)·180o。

總之，讓學(xué)生能夠主動(dòng)合作，在實(shí)踐探究中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)，是我們一線教師必須具備的教育能力。這次教研活動(dòng)中，筆者感受至深，也希望這樣的活動(dòng)能夠成為常態(tài)，讓自己由教書匠成為名副其實(shí)的園丁。