基于喚醒與生成的數(shù)學(xué)探究課堂

魏榮

摘要：培養(yǎng)學(xué)生做學(xué)習(xí)的有心人，甚至是知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者，其手段是多樣的，可能是頓悟之后的發(fā)現(xiàn)與證明，也可能是解決問(wèn)題過(guò)程中的自然生成。后一種方式在課堂教學(xué)中表現(xiàn)為：基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，利用并開(kāi)發(fā)教材，創(chuàng)設(shè)自然的發(fā)散思維情境，喚醒舊知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)聯(lián)想、試錯(cuò)、整合，在問(wèn)題的解決過(guò)程中，逐步弱化條件，探索并獲得新知識(shí)。

關(guān)鍵詞：勾股定理;自然思維;探究課堂;教學(xué)邏輯;喚醒;生成

作為直角三角形的性質(zhì)，勾股定理揭示了直角三角形的三邊關(guān)系，是用來(lái)求解線(xiàn)段的長(zhǎng)度的最重要手段;作為歐氏幾何的基礎(chǔ)定理，勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端定理，是邏輯推理教學(xué)的契機(jī);作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，勾股定理的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展史，是課堂教學(xué)活動(dòng)不可或缺的。基于此，“勾股定理”第一課時(shí)教學(xué)定位為探究定理的獲得及簡(jiǎn)單應(yīng)用，滲透數(shù)學(xué)文化，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與生成過(guò)程。

一、問(wèn)題的提出

如果忽視定理的發(fā)現(xiàn)與證明過(guò)程，以定理的應(yīng)用為教學(xué)目標(biāo)，顯然不符合義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題能力”的要求。發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比解決問(wèn)題更有價(jià)值，通過(guò)定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)。對(duì)于如何發(fā)現(xiàn)、探究勾股定理，在平時(shí)的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)如下一些現(xiàn)象。

現(xiàn)象1：從畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)（如圖1）入手，引入網(wǎng)格驗(yàn)證特殊的直角三角形的三邊與相同邊長(zhǎng)的正方形的面積關(guān)系，發(fā)現(xiàn)趙爽弦圖，從而得到驗(yàn)證。

現(xiàn)象2：從制作類(lèi)似于沙漏的教具（如圖2）入手，發(fā)現(xiàn)三個(gè)正方形的面積關(guān)系，得到猜想，再通過(guò)拼圖驗(yàn)證。

現(xiàn)象3：從特殊直角三角形入手，由等腰直角三角形三邊關(guān)系引導(dǎo)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)平方關(guān)系，從而聯(lián)想正方形的面積，引入網(wǎng)格圖，驗(yàn)證特殊的直角三角形，發(fā)現(xiàn)趙爽弦圖，從而得到驗(yàn)證。

現(xiàn)象4：通過(guò)“畫(huà)一畫(huà)”“量一量”“算一算”等方式，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊不是一次關(guān)系，進(jìn)而猜想平方關(guān)系，引入正方形，再由割補(bǔ)法驗(yàn)證。

“觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證”，是數(shù)學(xué)研究的重要手段。以上幾種教學(xué)設(shè)計(jì)正是基于這個(gè)思路。但是，本節(jié)課用這種思路教學(xué)，學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)命題的存在（特別是平方關(guān)系）？為什么會(huì)想到用面積法驗(yàn)證？這將是課堂教學(xué)面臨的最大困難。

1.畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)作為文化史，說(shuō)明數(shù)學(xué)無(wú)處不在，可以鼓勵(lì)學(xué)生要善于觀察，發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)?，F(xiàn)象3僅從等腰直角三角形計(jì)算，特例太少，如何歸納？現(xiàn)象1、現(xiàn)象2、現(xiàn)象3故意為之的痕跡太明顯，有告訴學(xué)生結(jié)果之嫌。

2.現(xiàn)象4試圖通過(guò)一般化的計(jì)算發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，但是無(wú)理數(shù)如何測(cè)量？如何解釋直角三角形的三邊不是一次關(guān)系或其他關(guān)系？

3.在沒(méi)有發(fā)現(xiàn)或給予平方關(guān)系的情況下，如何想到面積法？面積問(wèn)題為什么會(huì)想到用網(wǎng)格輔助解決？沒(méi)有引出網(wǎng)格，發(fā)現(xiàn)弦圖，驗(yàn)證的難度可想而知。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

基于以上考慮，本節(jié)課將定理的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證過(guò)程定位為：出于思維過(guò)程的合理性，由原有知識(shí)（實(shí)數(shù)

的獲得）出發(fā)，利用思維慣性，發(fā)現(xiàn)拼圖的價(jià)值，并逐步一般化，在面積法求解一般直角三角形的斜邊長(zhǎng)的過(guò)程中，因目標(biāo)驅(qū)動(dòng)，自然地發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證勾股定理。歷史名家的發(fā)現(xiàn)過(guò)程與驗(yàn)證思路改為在數(shù)學(xué)文化滲透中簡(jiǎn)單體會(huì)。

流程：感受邊的關(guān)系的存在（確定研究方向）→簡(jiǎn)單特殊情況探究（尋找研究手段）→從一般性情況獲得定理（自然生成新知）→定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（知識(shí)應(yīng)用價(jià)值）→定理的文化史簡(jiǎn)介（他人發(fā)現(xiàn)過(guò)程）→前人對(duì)定理的證明（了解不同方法）→課堂小結(jié)學(xué)法及定理（回顧歸結(jié)生長(zhǎng)）

活動(dòng)1：引導(dǎo)研究方向

【問(wèn)題設(shè)計(jì)】

1.在三角形的研究中，我們采取了從一般到特殊的方法，有哪些特殊三角形呢？

2.說(shuō)說(shuō)學(xué)了等腰三角形的哪些內(nèi)容？

3.直角三角形呢？如何研究？

4.如果a、b確定，c的值可以確定嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由。

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題1、2讓學(xué)生體會(huì)幾何學(xué)習(xí)的基本方向，也就是研究圖形的定義、性質(zhì)與判定，在性質(zhì)研究中抓住邊、角、特殊線(xiàn)段等，確定課題的研究?jī)?nèi)容。

問(wèn)題3、4作為直角三角形三邊關(guān)系發(fā)現(xiàn)的第一步：相對(duì)于一般三角形來(lái)說(shuō)，條件強(qiáng)化，發(fā)現(xiàn)三邊的確定關(guān)系。

【預(yù)設(shè)生成】問(wèn)題4作為這個(gè)環(huán)節(jié)的難點(diǎn)，體現(xiàn)問(wèn)題的確定性，學(xué)生可能存在解釋困難，可提醒學(xué)生作圖，聯(lián)系全等三角形的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)a、b確定的同時(shí)，c是唯一確定的。這個(gè)結(jié)論說(shuō)明了c是可求的，從而找到本節(jié)課的重點(diǎn)——已知兩直角邊a、b，探究斜邊c的求法。

活動(dòng)2：定理的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證

【問(wèn)題設(shè)計(jì)】

1.從簡(jiǎn)單特殊入手

問(wèn)題1：已知Rt△ABC，∠C=90°，若 a=b=1，你能求出c嗎？

問(wèn)題2：若 a=2， b=3，你還能求c嗎？

2.如果一個(gè)直角三角形的兩直角邊是a、b，還能求斜邊c嗎？

3.在計(jì)算過(guò)程中，得到一個(gè)關(guān)于a、b、c的結(jié)論，即a2+b2=c2。由于a、b、c是直角三角形的三邊，所以這個(gè)結(jié)果就是直角三角形的三邊關(guān)系，我們把它稱(chēng)為勾股定理。

4.歸納：定理、幾何語(yǔ)言

【設(shè)計(jì)意圖】從簡(jiǎn)單特殊圖形入手，給定具體的直角邊，便于計(jì)算，符合研究的過(guò)程，更為了引出面積法原理。在處理問(wèn)題1和問(wèn)題2中體會(huì)差異，在差異中找到共性，理順?lè)椒?，達(dá)到一般化的目標(biāo)，讓定理的獲得水到渠成。

特別是問(wèn)題2，仍從具體的直角邊長(zhǎng)求面積，便于計(jì)算。完成兩個(gè)目標(biāo)：一是明確求大正方形的邊長(zhǎng)，目標(biāo)是求大正方形的面積;二是在求中間小正方形的面積計(jì)算中，找到一般情形的處理辦法。

【預(yù)設(shè)生成】問(wèn)題1的解決方法是多樣的，給足學(xué)生時(shí)間，從已有知識(shí)、學(xué)情出發(fā)，展開(kāi)探討，其結(jié)果對(duì)個(gè)別學(xué)生來(lái)說(shuō)也可以作為定理的猜想起點(diǎn)。如果存在困難，可以作如下引導(dǎo)：

（1）你熟悉直角三角形的什么？

（2）回顧學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)時(shí)，如何得到_________？

學(xué)生基于小學(xué)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，一般可以聯(lián)想到面積，可能通過(guò)作斜邊上的高或拼兩塊等腰直角三角形完成。通過(guò)以上幾種解法，給學(xué)生簡(jiǎn)單說(shuō)明面積法，明晰本節(jié)課推理、計(jì)算的依據(jù)。

問(wèn)題2的設(shè)置是一般化的過(guò)程，可以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力，在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上經(jīng)歷探究試錯(cuò)的過(guò)程。在試錯(cuò)中識(shí)別圖形特征，如拼成的四邊形的四個(gè)角是不是直角;在試錯(cuò)中鞏固原有幾何知識(shí)，如等腰三角形的三線(xiàn)合一;在試錯(cuò)中找到弦圖，明確知道兩條直角邊就可以求得斜邊。

順?biāo)浦?，把具體的數(shù)換成字母，通過(guò)整式運(yùn)算、恒等變形，自然就得到勾股定理。

活動(dòng)3：定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【問(wèn)題設(shè)計(jì)】

1.（1）勾股定理有什么用呢？舉例說(shuō)明;（2）變形等式。

2.練習(xí)：Rt△ABC中，∠C=90°，兩條直角邊為a、b，斜邊為c。

（1）已知a=6，c=10，求b;（2）已知a=5，b=12，求c;（3）已知c=25，b=15，求a。

3.已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)是_____________.

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題1、2初步體會(huì)定理的價(jià)值;問(wèn)題3針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，分析強(qiáng)化對(duì)勾股定理?xiàng)l件的識(shí)別。

活動(dòng)4：定理的文化與其他證法

【問(wèn)題設(shè)計(jì)】

1.闡述定理的發(fā)現(xiàn)與證法發(fā)展過(guò)程。

2.畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)。

3.美國(guó)第20任總統(tǒng)加菲爾德用下圖驗(yàn)證了勾股定理，你能做到嗎？

4.大家可以去查詢(xún)一些有趣的方法，或者你也可以想出某種方法。

【設(shè)計(jì)意圖】回歸教材，體會(huì)與本節(jié)課不同的知識(shí)獲得方式：觀察、猜想、驗(yàn)證，引出其他驗(yàn)證方法。

通過(guò)文化史介紹，體驗(yàn)前人發(fā)現(xiàn)定理的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)文化的魅力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣;從名家證法的再現(xiàn)，進(jìn)一步體會(huì)面積法，培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)，滲透數(shù)形結(jié)合思想。

三、教學(xué)思考

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不但要傳遞數(shù)學(xué)知識(shí)，更應(yīng)滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、數(shù)學(xué)思想，指導(dǎo)學(xué)生如何學(xué)習(xí)、如何研究。

（一）嘗試發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的不同渠道

數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)經(jīng)常采取“觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證”的科學(xué)探究過(guò)程。這種探究過(guò)程往往建立在大量的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，通過(guò)歸納得以發(fā)現(xiàn)。一旦實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)太小，學(xué)生的敏感性不足，是難以發(fā)現(xiàn)的。

從特殊到一般，條件逐步弱化，找到事物的本質(zhì)屬性，這也是一種發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的有效手段。本課例通過(guò)直角三角形已知兩直角邊，發(fā)現(xiàn)斜邊的確定性，由特殊到一般，從具體的數(shù)值到字母，在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，反思、整合解決問(wèn)題的方法，找到圖形的共性，獲得定理。

（二）基于思維自然生長(zhǎng)的教學(xué)邏輯

勾股定理的探究，由畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)等入手，顯然指向性太明確;在非等腰直角三角形中引入網(wǎng)格、構(gòu)造正方形求斜邊長(zhǎng)，在教學(xué)中未必順理成章。

本課例從學(xué)情出發(fā)，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，探究知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生探索新知識(shí)。以原有實(shí)數(shù)? ? ? 的獲得為基礎(chǔ)，發(fā)現(xiàn)拼圖的可行性，沿著這條線(xiàn)得到勾股定理，運(yùn)用勾股定理，由應(yīng)用價(jià)值轉(zhuǎn)入文化史，在文化史中導(dǎo)入前人證法，在課堂小結(jié)中明晰學(xué)法，歸結(jié)直角三角形的性質(zhì)，提出定理的應(yīng)用展望，為數(shù)學(xué)生成埋下種子。

（三）充分利用學(xué)科知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性

設(shè)計(jì)富有思維量的問(wèn)題，靈活駕馭課堂，有指導(dǎo)地開(kāi)放課堂，抓住學(xué)科知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)力和綜合知識(shí)運(yùn)用能力。

在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直角三角形的研究中，類(lèi)比遷移等腰三角形的學(xué)習(xí)，從邊、角等幾何元素入手，研究其性質(zhì)、判定，了解幾何學(xué)習(xí)的基本套路，為往后學(xué)習(xí)更多幾何圖形指明方向;教學(xué)過(guò)程滲透數(shù)形結(jié)合思想，以數(shù)解形，本意為推導(dǎo)勾股定理，實(shí)為解題指導(dǎo);課堂小結(jié)延伸斜三角形，暗示勾股定理對(duì)幾何運(yùn)算的普適性。

本節(jié)課中，除了回顧實(shí)數(shù)? ? ? 作為推進(jìn)課堂教學(xué)的著力點(diǎn)，面積法作為運(yùn)算手段，還涉及在特例中批判性地運(yùn)用等腰三角形的“三線(xiàn)合一”，在運(yùn)算過(guò)程中鞏固了整式運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)。

（四）課堂教學(xué)成為學(xué)生情感態(tài)度價(jià)值觀的載體

從學(xué)生學(xué)習(xí)的情感、態(tài)度來(lái)看，一個(gè)班級(jí)近五十個(gè)學(xué)生，他們對(duì)生活現(xiàn)象的敏感度也不同，相比勉為其難地“逼”學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，不如在定理的不經(jīng)意獲得中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、反思、深入的學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，感受數(shù)學(xué)研究的獲得感。

邏輯思維能力是指正確、合理思考的能力，而學(xué)生的學(xué)習(xí)與生活環(huán)境又影響了學(xué)生的邏輯思維，所以要求我們構(gòu)建基于學(xué)生邏輯思維的課堂教學(xué)邏輯。

培養(yǎng)學(xué)生做學(xué)習(xí)的有心人，甚至是知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者，其手段是多樣的，可能是頓悟之后的發(fā)現(xiàn)與證明，也可能是解決問(wèn)題過(guò)程中的自然生成。后一種方式在課堂教學(xué)中表現(xiàn)為：基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，利用并開(kāi)發(fā)教材，創(chuàng)設(shè)自然的發(fā)散思維情境，喚醒舊知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)聯(lián)想、試錯(cuò)、整合，在問(wèn)題的解決過(guò)程中，逐步弱化條件，探索并獲得新知識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 卜以樓.基于四能的“勾股定理”教學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（20）.

[2]林日福.基于思維自然生長(zhǎng)的創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)與思考：以“探索勾股定理”一課為例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2018（21）.

（責(zé)任編輯：奚春皓）