求解三角函數(shù)題　思維靈活就容易

在求解三角函數(shù)問題時(shí)，如果大家能夠開拓思維，充分利用數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用各種解法，常?？梢院喗?、快速獲解.下面舉例說明求解此類問題的一些行之有效的思想方法，希望對(duì)提高同學(xué)們的思維品質(zhì)和解題能力能夠有所幫助.

一、數(shù)形結(jié)合思想

有些關(guān)于三角函數(shù)的問題有其相應(yīng)的幾何背景，借助其幾何背景下的圖形性質(zhì)，可使問題由難變易，由抽象變直觀，從而便于探尋到解題的最佳途徑.單位圓、三角函數(shù)線以及三角函數(shù)的圖象是經(jīng)常用到的圖象工具.

例1 已知α∈（0，π2），求證：1

證明：如圖所示，設(shè)單位圓交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，角α的終邊交單位圓于點(diǎn)P，過P作PM⊥OA，連結(jié)PA、PB.則由三角函數(shù)線的定義可知：sinα=MP，cosα=OM.

在Rt△OMP中，OM+MP>|OP|=1，

∴sinα+cosα>1 ①

又S△POA=12|OA||MP|=12sinα，

S△POB=12|OB||OM|=12cosα，

S扇形AOB=14π·12=π4.

由S△POA+S△POB

sinα+cosα<π2 ②

由①、②知，1

二、方程思想

用方程的思想方法解題，就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，通過方程建立變量間的關(guān)系，然后通過解方程便可順利獲解.

例2 （2015福建卷）已知函數(shù)f（x）的圖象是由函數(shù)g（x）=cosx的圖象經(jīng)如下變換得到：先將g（x）圖象上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖象向右平移π2個(gè)單位長度.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并求其圖象的對(duì)稱軸方程;

（2）已知關(guān)于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）內(nèi)有兩個(gè)不同的解α，β.

①求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

②證明：cos（α-β）=2m25-1.

思路分析：（1）先求出圖象變換后的函數(shù)f（x）的解析式，再求出其對(duì)稱軸方程.（2）①利用輔助角公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡，數(shù)形結(jié)合即可得關(guān)于參數(shù)m的不等式，解不等式得m的取值范圍.②把方程的兩解代入方程中，利用分類討論與觀察角的特點(diǎn)（湊角）即可證明結(jié)論.

解與證：（1）將g（x）=cosx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=2cosx的圖象，再向右平移π2個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=2cos（x-π2）的圖象，故f（x）=2sinx.從而函數(shù)f（x）=2sinx圖象的對(duì)稱軸方程為x=kπ+π2（k∈Z）.

（2）①f（x）+g（x）=2sinx+cosx=5（25sinx+15cosx）=5sin（x+φ）（其中sinφ=15，cosφ=25）.

根據(jù)題意，sin（x+φ）在[0，2π）內(nèi)有兩個(gè)不同的解α，β當(dāng)且僅當(dāng)|m5|<1，故m的取值范圍是（-5，5）.

②解法1 因?yàn)棣?，β是方?sin（x+φ）=m在[0，2π）內(nèi)的兩個(gè)不同的解，

所以sin（α+φ）=m5，sin（β+φ）=m5.

當(dāng)1≤m<5時(shí)，α+β=2（π2-φ），即α-β=π-2（β+φ）;當(dāng)-5

解法2 因?yàn)棣?，β是方?sin（x+φ）=m在[0，2π）內(nèi)的兩個(gè)不同的解，

所以sin（α+φ）=m5，sin（β+φ）=m5.

當(dāng)1≤m<5時(shí)，α+β=2（π2-φ），即α+β=π-（β+φ）;當(dāng)-5

點(diǎn)評(píng)：本題（1）問及（2）問中的①按常規(guī)出題，（2）問中的②則別出心裁，試題難度較大，求解此類問題的關(guān)鍵是：一要熟悉誘導(dǎo)公式與特殊角的三角函數(shù)值;二要對(duì)三角恒等變換熟練掌握，特別是輔助角公式要靈活運(yùn)用;三要巧妙變角，即將已知角靈活分拆、配湊成待求角.

三、換元思想

在求解三角函數(shù)問題時(shí)，有時(shí)直接求解不易得出結(jié)論，需要引入一個(gè)新的變量，來代替原來的某些變量或代數(shù)式，然后通過對(duì)新變量的考查求得結(jié)果.

例3 求函數(shù)y=（1+sinα）（1+cosα）的最值.

解析：y=（1+sinα）（1+cosα）

=1+sinα+cosα+sinαcosα.

令sinα+cosα=t，t∈[-2，2]，則sinαcosα=t2-12.

那么y=1+t+t2-12=12（t+1）2.

當(dāng)t=-1時(shí)，ymin=0;當(dāng)t=2時(shí)，ymax=32+2.

四、分類討論思想

分類討論思想是根據(jù)題設(shè)條件，將研究對(duì)象分類解析，然后再歸納總結(jié)的數(shù)學(xué)思想，解決此類問題須特別注意分類的完備性.

例4 已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)M（3π4，0）成中心對(duì)稱，且在區(qū)間[0，π2]上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值.

解析：∵f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，根據(jù)正、余弦的關(guān)系易知φ=π2.

∵圖象關(guān)于點(diǎn)M（3π4，0）成中心對(duì)稱，

∴f（3π4）=sin（3π4ω+π2）=cos3π4ω=0.

∵ω>0，∴3π4ω=kπ+π2，k∈N.

∴ω=23（2k+1），k∈N.

當(dāng)k=0時(shí)，ω=23，f（x）=sin（23x+π2）在[0，π2]上是減函數(shù);

當(dāng)k=1時(shí)，ω=2，f（x）=sin（2x+π2）在[0，π2]上是減函數(shù);

當(dāng)k≥2時(shí)，ω>103，f（x）=sin（ωx+π2）在[0，π2]不是單調(diào)函數(shù).

綜上可知，φ=π2，ω=23或ω=2.

五、轉(zhuǎn)化、化歸思想

在三角函數(shù)的化簡、求值、證明等過程中，常常會(huì)涉及到單角、復(fù)角、倍角、半角之間的轉(zhuǎn)化;或者正弦、余弦、正切之間的轉(zhuǎn)化.當(dāng)將已知條件轉(zhuǎn)化為一類已經(jīng)解決或易于解決的問題時(shí)，便可以輕松獲解.這種將未知問題化歸為熟知問題的解題方法正是轉(zhuǎn)化、化歸思想的體現(xiàn).

例5 （2016全國Ⅲ卷）若tanα=34，則cos2α+2sin2α=（）

A.6425 B.4825 C.1 D.1625

解析：常規(guī)解法 由tanα=sinαcosα=34，cos2α+sin2α=1，得sinα=35，cosα=45.或sinα=-35，cosα=-45.則sin2α=2sinαcosα=2425，則cos2α+2sin2α=1625+4825=6425.

巧妙解法：cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosαcos2α+sin2α=1+4tanα1+tan2α=1+31+916=6425.

六、特殊化思想

特殊化思想是把一般性問題特殊化處理，通過考查和研究它的特殊情形，探究和發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法.根據(jù)一般性寓于特殊性之中的道理，若根據(jù)題設(shè)條件巧妙地取一些適合題意的特殊值、特殊點(diǎn)或特殊圖形等來探究解題途徑，常?？墒盏交y為易、化繁為簡的效果，達(dá)到事半功倍的目的.

例6 設(shè)函數(shù)f（x）=3sinx+2cosx+1，若實(shí)數(shù)a、b、c使得af（x）+bf（x-c）=1對(duì)任意x恒成立，則bcosca=（）

A.-12 B.12 C.-1 D.1

解析：根據(jù)題意取特殊值，令c=π，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R，有

f（x）+f（x-c）=f（x）+f（x-π）=3sinx+2cosx+1+3sin（x-π）+2cos（x-π）+1=2.

于是取a=b=12，c=π，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R，有af（x）+bf（x-c）=1.

∴bcosca=12cosπ12=-1.故應(yīng)選C.

七、極限思想

從有限到無限，從近似到精確，從量變到質(zhì)變，無不蘊(yùn)含著極限思想.在求解有關(guān)三角函數(shù)的一些問題時(shí)，若能靈活地運(yùn)用極限思想，常?？梢员荛_繁雜的運(yùn)算，降低解題難度，優(yōu)化解題過程，收到意想不到的效果.

例7 對(duì)任意的銳角α、β，下列不等關(guān)系中正確的是（）

A.sin（α+β）>sinα+sinβ

B.sin（α+β）>cosα+cosβ

C.cos（α+β）

D.cos（α+β）

解析：當(dāng)α→π2，β→π2時(shí)，α+β→π，則sin（α+β）→0，而sinα+sinβ→2，則選項(xiàng)A錯(cuò)誤;當(dāng)α→0，β→0時(shí)，α+β→0，則sin（α+β）→0，而cosα+cosβ→2，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤;當(dāng)α→0，β→0時(shí)，α+β→0，則cos（α+β）→1，而sinα+sinβ→0，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤;無論α、β趨向于0還是趨向于π2，選項(xiàng)D均符合題意.故應(yīng)選D.

實(shí)際上，由α、β是銳角，知0

八、變換思想

變換是求解數(shù)學(xué)問題一種常用的思想方法，數(shù)與式變換、代數(shù)與幾何的變換、圖象的變換等都是常用的解題方法.

例8 （2017全國Ⅰ卷）已知曲線C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+2π3），則下列結(jié)論正確的是（）

A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移π6個(gè)單位長度，得到曲線C2.

B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移π12個(gè)單位長度，得到曲線C2.

C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移π6個(gè)單位長度，得到曲線C2.

D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移π12個(gè)單位長度，得到曲線C2.

解析：把曲線C：y=cosx各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的12，縱坐標(biāo)不變，得曲線y=cos2x;在向左平移π12個(gè)單位長度，得曲線y=cos2（x+π12）=cos（2x+π6）=sin（π2+2x+π6）=sin（2x+2π3）.因此應(yīng)選D.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于三角函數(shù)圖象變換問題應(yīng)把握以下兩點(diǎn)：（1）三角函數(shù)名稱的統(tǒng)一;（2）三角函數(shù)變換規(guī)律：“變量變化”與“圖象變化”的關(guān)系如下：①當(dāng)x→x+φ時(shí)，若φ>0，則向左平移φ個(gè)單位長度;若φ<0，則向右平移|φ|個(gè)單位長度;②當(dāng)y→y+m時(shí)，若m>0，則向上平移m個(gè)單位長度;若m<0，則向下平移|m|個(gè)單位長度;③當(dāng)x→ωx（ω>0）時(shí)，其橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω;當(dāng)y→ky（y>0）時(shí)，其縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋倍.

九、構(gòu)造思想

通過構(gòu)造幾何模型，可以極大地簡化解題過程，從而簡捷獲解.

例9 已知α，β，γ均為銳角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求證：tanα+tanβ+tanγ≥32.

證明：因?yàn)殚L方體的一條對(duì)角線與它過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角余弦值的平方和等于1，為此我們可構(gòu)造一個(gè)長方體ABCDA1B1C1D1，如圖.使∠C1AD=α，∠C1AB=β，∠C1AA1=γ.

設(shè)AD=a，AB=b，AA1=c，

則有tanα=b2+c2a，tanβ=a2+c2b，

tanγ=b2+a2c.

由不等式x2+y2-（x+y2）2=（x-y2）2≥0，得x2+y2≥x+y2.

運(yùn)用上述公式得tanα+tanβ+tanγ=b2+c2a+a2+c2b+b2+a2c≥12[（ba+cb+ac）+（ca+bc+ab）]≥12×（2+2+2）=32，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)，所以tanα+tanβ+tanγ≥32.

（作者：王暉，安徽省靈璧縣黃灣中學(xué)）