平面向量數(shù)量積復(fù)習(xí)導(dǎo)引

一、明確高考要求

1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;

2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;

3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;

4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系;

5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題;

6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.

二、夯實(shí)基礎(chǔ)知識

1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

（1）向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，記OA=a，OB=b，則∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角.

（2）數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）a·b=|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a=0.

（3）數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.

2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

設(shè)向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ為向量a，b的夾角.

（1）數(shù)量積：a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.

（2）模：|a|=a·a=x21+y21.

（3）夾角：cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x21+y21·x22+y22.

（4）兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b=0x1x2+y1y2=0.

（5）|a·b|≤|a||b|（當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立）|x1x2+y1y2|≤x21+y21x22+y22.

3.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

（1）（a+b）·（a-b）=a2-b2.

（2）（a+b）2=a2+2a·b+b2.

（3）（a-b）2=a2-2a·b+b2.

三、把握重要考點(diǎn)

考點(diǎn)一 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

例1 （1）若向量m=（2k-1，k）與向量n=（4，1）共線，則m·n=（ ）

A.0 B.4 C.-92 D.-172

（2）四邊形ABCD是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得CD=DE，若點(diǎn)F為線段BC上的動點(diǎn)，則AF·EF的最小值為（ ）

A.12 B.34 C.74 D.2

答案：（1）D （2）C

解析：（1）由題意得2k-1-4k=0，解得k=-12，

即m=（-2，-12），

所以m·n=-2×4+（-12）×1=-172.

（2）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則E（-1，1），F(xiàn)（1，y），（0≤y≤1）

所以EF=（2，y-1），

AF=（1，y），

則EF·AF=2+y（y-1）=y2-y+2=（y-12）2+74，

所以當(dāng)y=12時，EF·AF取最小值74，故選：C.

方法歸納：1.利用數(shù)量積公式a·b=|a||b|cosθ，需要借助向量加、減法的運(yùn)算及其幾何意義進(jìn)行適當(dāng)變形;也可建立平面直角坐標(biāo)系，借助數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式a·b=x1x2+y1y2求解，較為簡捷、明了.

2.在分析兩向量的夾角時，必須使兩個向量的起點(diǎn)重合，如果起點(diǎn)不重合，可通過“平移”實(shí)現(xiàn).

考點(diǎn)二 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

角度1 平面向量的垂直

例2.1 設(shè)向量a=（1，0），b=（-1，m），若a⊥（ma-b），則m=（ ）

A.-2 B.-1 C.1 D.2

答案：B

解析：向量a=（1，0），b=（-1，m），故可得ma-b=（m+1，-m）;

因?yàn)閍⊥（ma-b），故可得a·（ma-b）=0，即可得1×（m+1）=0，解得m=-1.

方法歸納：1.當(dāng)向量a，b是非坐標(biāo)形式時，要把a(bǔ)，b用已知的不共線向量作為基底來表示，且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進(jìn)行運(yùn)算.

2.數(shù)量積的運(yùn)算a·b=0a⊥b中，是對非零向量而言的，若a=0，雖然有a·b=0，但不能說a⊥b.

角度2 平面向量的模

例2.2 （1）已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥（α-2β），則|2α+β|的值是 .

（2）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點(diǎn)，則|PA+3PB|的最小值為 .

答案：（1）10 （2）5

解析：（1）由α⊥（α-2β）得α·（α-2β）=α2-2α·β=0，所以α·β=12，

所以（2α+β）2=4α2+β2+4α·β=4×12+22+4×12=10，所以|2α+β|=10.

（2）建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A（2，0），設(shè)P（0，y），C（0，b），則B（1，b）.

所以PA+3PB=（2，-y）+3（1，b-y）=（5，3b-4y），

所以|PA+3PB|=25+（3b-4y）2（0≤y≤b），

所以當(dāng)y=34b時，|PA+3PB|取得最小值5.

方法歸納：1.求向量的模的方法：（1）公式法，利用|a|=a·a及（a±b）2=|a|2±2a·b+|b|2，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算;（2）幾何法，利用向量的幾何意義.

2.求向量模的最值（范圍）的方法：（1）代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解;（2）幾何法（數(shù)形結(jié)合法），弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點(diǎn)表示的圖形求解.

角度3 平面向量的夾角

例2.3 （1）已知非零向量a，b滿足|a+b|=|a-b|=233|a|，則向量a+b與a-b的夾角為 .

（2）若向量a=（k，3），b=（1，4），c=（2，1），已知2a-3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是 .

答案：（1）π3 （2）（-∞，-92）∪（-92，3）

解析：（1）將|a+b|=|a-b|兩邊平方，

得a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b，∴a·b=0.

將|a+b|=233|a|兩邊平方，

得a2+b2+2a·b=43a2，∴b2=13a2.

設(shè)a+b與a-b的夾角為θ，

∴cosθ=（a+b）·（a-b）|a+b|·|a-b|=a2-b2233|a|·233|a|

=23a243a2=12.

又∵θ∈[0，π]，∴θ=π3.

（2）∵2a-3b與c的夾角為鈍角，∴（2a-3b）·c<0，即（2k-3，-6）·（2，1）<0，解得k<3.

又若（2a-3b）∥c，則2k-3=-12，即k=-92.

當(dāng)k=-92時，2a-3b=（-12，-6）=-6c，此時2a-3b與c反向，不合題意.

綜上，k的取值范圍為（-∞，-92）∪（-92，3）.

方法歸納：1.研究向量的夾角應(yīng)注意“共起點(diǎn)”;兩個非零共線向量的夾角可能是0或π;注意向量夾角的取值范圍是[0，π];若題目給出向量的坐標(biāo)表示，可直接套用公式cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x21+y21·x22+y22求解.

2.數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.

選擇題達(dá)標(biāo)檢測

一、單選題

1.已知非零向量a，b滿足|a|=2|b|，且（a-b）⊥b，則a與b的夾角為（ ）

A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6

2.設(shè)x∈R，向量a=（x，1），b=（1，-2），且a⊥b，則|a+b|=（ ）

A.5 B.10 C.25 D.10

3.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=2，c=3，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，則AB·BC的值為（ ）

A.2 B.3 C.-1 D.-3

4.已知△ABC是長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA·（PB+PC）的最小值是（ ）

A.-2 B.-32 C.-43 D.-1

二、多選題

5.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是AC、AB上的兩點(diǎn)，且AE=EB，AD=2DC，BD與CE交于點(diǎn)O，則下列說法正確的是（ ）

A.AB·CE=-1

B.OE+OC=0

C.|OA+OB+OC|=32

D.ED在BC方向上的投影為76

6.在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，如圖，則下列等式成立的是（ ）

A.|AC|2=AC·AB

B.|BC|2=BA·BC

C.|AB|2=AC·CD

D.|CD|2=（AC·AB）×（BA·BC）|AB|2

參考答案

1.B 因?yàn)椋╝-b）⊥b，所以（a-b）·b=a·b-b2=0，所以a·b=b2，所以cosθ=a·b|a|·|b|=|b|22|b|2=12，所以a與b的夾角為π3.

2.B 由a⊥b知a·b=x-2=0，x=2，則a+b=（3，-1），可得|a+b|=32+（-1）2=10.

3.D ∵（2a-c）cosB=bcosC根據(jù)正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，

即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC，

∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，

又∵00，∴cosB=12，

∵0

AB·BC=-|AB|·|BC|cosB

=-accosπ3=-2×3×12=-3.

4.B 如圖，以BC為x軸，BC的垂直平分線DA為y軸，D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，3），B（-1，0），C（1，0），設(shè)P（x，y），所以PA=（-x，3-y），PB=（-1-x，-y），PC=（1-x，-y），以PB+PC=（-2x，-2y），

PA·（PB+PC）=2x2-2y（3-y）

=2x2+2（y-32）2-32≥-32，

當(dāng)P（0，32）時，所求的最小值為-32.

5.BCD 由題E為AB中點(diǎn)，則CE⊥AB，

以E為原點(diǎn)，EA，EC分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以，E（0，0），A（1，0），B（-1，0），C（0，3），D（13，233），

設(shè)O（0，y），y∈（0，3），BO=（1，y），

DO=（-13，y-233），BO∥DO，

所以y-233=-13y，解得：y=32，即O是CE中點(diǎn)，OE+OC=0，所以選項(xiàng)B正確;

|OA+OB+OC|=|2OE+OC|=|OE|=32，所以選項(xiàng)C正確;

因?yàn)镃E⊥AB，AB·CE=0，所以選項(xiàng)A錯誤;

ED=（13，233），BC=（1，3），ED在BC方向上的投影為ED·BC|BC|=13+22=76，所以選項(xiàng)D正確.

6.ABD 由AC·AB=|AC||AB|cosA=|AD||AB|，由射影定理可得|AC|2=AC·AB，即選項(xiàng)A正確;

由BA·BC=|BA||BC|cosB=|BA||BD|，由射影定理可得|BC|2=BA·BC，即選項(xiàng)B正確;

由AC·CD=|AC||CD|cos（π-∠ACD）<0，

又|AB|2>0，即選項(xiàng)C錯誤;

由圖可知Rt△ACD∽Rt△ABC，

所以|AC||BC|=|AB||CD|，由選項(xiàng)A，B可得|CD|2=（AC·AB）×（BA·BC）|AB|2，即選項(xiàng)D正確.

（作者：王佩其，江蘇省太倉市明德高級中學(xué)）