“兩角差的余弦公式”的教學(xué)設(shè)計(jì)

劉婷

【摘要】文章以高中數(shù)學(xué)“兩角差的余弦公式”為例，針對(duì)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)，明確教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，堅(jiān)持采用“引導(dǎo)——啟發(fā)——探究”的教學(xué)方法，以學(xué)生為本，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以期建構(gòu)“生本課堂”，提高課堂教學(xué)質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);兩角差的余弦公式;生本課堂

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課選自人教A版高中數(shù)學(xué)必修4第三章“三角恒等變換”第一節(jié)課“3.1.1兩角差的余弦公式”.變換是數(shù)學(xué)的重要工具，而三角恒等變換處于三角函數(shù)知識(shí)與數(shù)學(xué)變換知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)和交匯點(diǎn)，是前面所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)的繼續(xù)與發(fā)展，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力和運(yùn)算能力的重要素材.兩角差的余弦公式是“三角恒等變換”這一章的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，公式的發(fā)現(xiàn)和證明是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，其基本出發(fā)點(diǎn)是使公式的證明過(guò)程盡量簡(jiǎn)潔，易于學(xué)生理解和掌握，同時(shí)也有利于提高學(xué)生運(yùn)用向量解決相關(guān)問(wèn)題的意識(shí)和能力.教材里面沒(méi)有直接給出兩角差的余弦公式，而是分探求結(jié)果、證明結(jié)果兩步進(jìn)行，從簡(jiǎn)單情況入手得出結(jié)果，有利于學(xué)生學(xué)會(huì)探究和思維的發(fā)展.由于本節(jié)課可以從不同的角度提出不同的問(wèn)題，并且可以用不同的途徑與方法解決問(wèn)題，因此本節(jié)課為學(xué)生的思維發(fā)展提供了很好的空間和平臺(tái).教師要注意引導(dǎo)學(xué)生用觀察、聯(lián)想、對(duì)比、化歸等方法分析問(wèn)題，尋找解決問(wèn)題的思路.

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：通過(guò)探索得到兩角差的余弦公式，證明兩角差的余弦公式，熟記兩角差的余弦公式的形式及符號(hào)特征，并能運(yùn)用該公式進(jìn)行求值、計(jì)算.

2.過(guò)程與方法：利用單位圓中正弦線、余弦線證明以及利用向量知識(shí)證明，通過(guò)一系列設(shè)問(wèn)和答疑，形成公式的全部證明思路，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、歸納、分類討論等思維能力.

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，體會(huì)數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：通過(guò)探索得到兩角差的余弦公式與運(yùn)用兩角差的余弦公式.

2.難點(diǎn)：證明兩角差的余弦公式.

四、教法及教具

教法：本課采用“引導(dǎo)——啟發(fā)——探究”的教學(xué)方法，以學(xué)生為本，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)研究的思路，滲透數(shù)學(xué)思想方法.

教具：采用平板電腦上課.

五、教學(xué)過(guò)程

（一）探索兩角差的余弦公式

思考1?我們?cè)诔踔袝r(shí)就知道cos45°=22，cos 30°=32，由此我們能否得到cos 15°=cos（45°-30°）=？大家可以驗(yàn)證一下，是不是等于cos 45°-cos 30°呢？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生意識(shí)到兩角差的余弦并不是簡(jiǎn)單的兩角余弦的差，同時(shí)引起學(xué)生探究學(xué)習(xí)的興趣.

思考2?若已知α，β的正余弦函數(shù)值，那么cos（α-β）的值是否確定？它與α，β的正余弦函數(shù)值有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：依托學(xué)生已學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想，觸發(fā)學(xué)生形成解決問(wèn)題的基本方向.

思考3?請(qǐng)你計(jì)算下列式子的值，并根據(jù)這些式子的共同特征，寫(xiě)出一個(gè)猜想.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)四個(gè)特殊的式子，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)共同的特征，探究歸納，提出猜想，滲透了猜想、歸納、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

（二）證明兩角差的余弦公式

證法1?播放一個(gè)微視頻，在角α，β與α-β均為銳角的特殊情況下，運(yùn)用三角函數(shù)線證明兩角差的余弦公式.

設(shè)計(jì)意圖：此證法運(yùn)用三角函數(shù)線證明兩角差的余弦公式，過(guò)程較煩瑣，學(xué)生不好理解，而且將特殊角推廣到任意角很復(fù)雜.觀看微視頻可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且可以節(jié)省時(shí)間，提高課堂效率.

證法2?如圖，以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，作單位圓，以O(shè)x為始邊作角α與β，設(shè)它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)A，B，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

問(wèn)題3?設(shè)向量OA與OB的夾角為θ，它與角α，β之間有什么關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)意圖： 利用向量探究?jī)山遣畹挠嘞夜降乃季S形成過(guò)程，通過(guò)和證法1的比較，學(xué)生自然體會(huì)證法2的思路更清晰，過(guò)程更簡(jiǎn)潔.

（三）運(yùn)用兩角差的余弦公式

例1?利用兩角差的余弦公式求cos 15°的值.

設(shè)計(jì)意圖： 此例題是簡(jiǎn)單題.啟動(dòng)平板電腦師生互動(dòng)環(huán)節(jié)中的搶答模式，可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，從而使其掌握公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用.

學(xué)生的反思與感悟：在利用兩角差的余弦公式求某些角的三角函數(shù)值時(shí)，關(guān)鍵在于把待求的角轉(zhuǎn)化成已知特殊角（如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…）之間和與差的關(guān)系問(wèn)題，然后利用公式化簡(jiǎn)求值.而把一個(gè)具體角構(gòu)造成兩個(gè)角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：cos 15°=cos（60°-45°），cos 15°=cos（45°-30°）.

設(shè)計(jì)意圖： 此例題是中檔難度題型，解答此題不僅要運(yùn)用本節(jié)課的公式，還需要運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式.啟動(dòng)平板電腦師生互動(dòng)環(huán)節(jié)中的展示模式，學(xué)生的解答過(guò)程呈現(xiàn)在大屏幕上，方便教師點(diǎn)評(píng)答題是否按照高考采分點(diǎn)閱卷模式規(guī)范作答.

設(shè)計(jì)意圖：本題對(duì)于初學(xué)兩角差的余弦公式的學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一道中檔偏難的題型.學(xué)生有可能會(huì)將π4+θ=π4-（-θ），運(yùn)用兩角差的余弦公式得到一個(gè)關(guān)于cos θ和sin θ的方程，再聯(lián)立cos2 θ+sin2 θ=1求解.設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練可以更進(jìn)一步突出本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，從而突破教學(xué)難點(diǎn).

學(xué)生的反思與感悟：給式求值或給值求值問(wèn)題，由給出的某些函數(shù)關(guān)系式或某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“ 正負(fù)號(hào)”的取舍以及巧妙地變換角度.

（四）當(dāng)堂檢測(cè)

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課的自我檢測(cè)，有利于學(xué)生及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，利用課堂時(shí)間熟記和靈活運(yùn)用公式，提高課堂的效率.

（五）課堂小結(jié)

1.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，教師用到了什么數(shù)學(xué)思想方法？

2.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，教師聯(lián)系了什么數(shù)學(xué)知識(shí)？

3.利用兩角差的余弦公式進(jìn)行求值、計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意什么？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生進(jìn)行自我小結(jié)可以鞏固本節(jié)課的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，以及完善知識(shí)結(jié)構(gòu)體系和強(qiáng)化理解思路的完整性.

（六）課后反思

你通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，收獲了什么？還有什么困惑嗎？

設(shè)計(jì)意圖：開(kāi)放式的課后反思，不同的學(xué)生有不同的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和收獲.學(xué)生可以交流心得和體會(huì)，查漏補(bǔ)缺，再次扣住本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和易漏點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：本題是綜合題，考查了兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和角度的變換，難點(diǎn)是角度的范圍和“正負(fù)號(hào)”的取舍，設(shè)置選做題部分，促進(jìn)優(yōu)生成長(zhǎng).

六、教學(xué)后記

1.本節(jié)課采用平板電腦上課，借助平板電腦存儲(chǔ)容量強(qiáng)大，并且集音頻、視頻、圖片、PPT等多種形式于一身的優(yōu)勢(shì)，使課堂授課方式靈活多樣. 師生人手一臺(tái)平板電腦，輕松實(shí)現(xiàn)屏幕同傳，使師生的互動(dòng)更加輕松流暢.學(xué)生通過(guò)平板電腦提交作業(yè)，教師講課、評(píng)作業(yè)方便快捷，及時(shí)反饋課堂的教學(xué)效果.同時(shí)資料在平板電腦終端能永久留存，便于學(xué)生課后隨時(shí)查閱復(fù)習(xí).

2.“生本課堂”是新課程的一個(gè)重要理念.在課堂設(shè)計(jì)中，充分讓學(xué)生成為課堂主動(dòng)求知和探索的主體.根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)方案，讓學(xué)生親身體驗(yàn)公式的“探索”和證明過(guò)程，在靈活運(yùn)用公式、掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)獲得學(xué)習(xí)的成就感.

筆者認(rèn)為作為一位數(shù)學(xué)教師，首先要做到傳授數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，其次要培養(yǎng)學(xué)生提煉總結(jié)能力和滲透數(shù)學(xué)思想，更重要的是立德樹(shù)人，做好學(xué)生的引路人.