一般矩陣特征值的Wielandt-Hoffman型擾動(dòng)上界

孔祥強(qiáng)

(菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 菏澤 274015)

0 引 言

矩陣特征值擾動(dòng)是矩陣擾動(dòng)分析的重要分支.文獻(xiàn)[1]研究了Hermite矩陣及可對(duì)稱化矩陣特征值的擾動(dòng)，改進(jìn)了原有結(jié)果.文獻(xiàn)[2]對(duì)可對(duì)角化矩陣加法和乘法的組合擾動(dòng)進(jìn)行了研究，推廣了以往結(jié)果.文獻(xiàn)[3]給出了正規(guī)矩陣對(duì)擾動(dòng)的Wielandt-Hoffman型擾動(dòng)界，推廣了正規(guī)矩陣對(duì)的擾動(dòng)結(jié)果.文獻(xiàn)[4]討論了用正單位線性映射得到兩正規(guī)矩陣特征值之間的最大距離的下界問題，同時(shí)分析了與Hermite矩陣相關(guān)的擾動(dòng)下界.文獻(xiàn)[5]研究了廣義鞍點(diǎn)矩陣和Hermite塊三對(duì)角矩陣的結(jié)構(gòu)化擾動(dòng)，所給界限揭示了特征值關(guān)于不同塊的擾動(dòng)的敏感性.本文研究了一般矩陣特征值的擾動(dòng)上界問題，利用矩陣的分解，得到一般矩陣特征值擾動(dòng)的Wielandt-Hoffman型擾動(dòng)上界，推廣了一般矩陣特征值的擾動(dòng)界.同時(shí)，分析了可對(duì)角化矩陣特征值的擾動(dòng)，得到其擾動(dòng)上界，且所得結(jié)論改進(jìn)了以往結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A∈Cn×n，則存在酉陣U，使得UHAU=T，記T=M+Λ，M為嚴(yán)格上三角陣，Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)，λ1,λ2,…,λn為A的n個(gè)特征值，稱為A的Schur三角分解[9].

引理1[10]設(shè)A=(ajk)n×n，B=(bjk)n×n均是正規(guī)陣，Q∈Cn×n是Hermite正定陣，其特征值γ1≥γ3≥…≥γn，c是任意正數(shù)，則

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)A,B∈Cn×n，λ(A)={λi}，λ(B)={μi}，則存在1,2,…,n的某排列π使得

ΔF(A)+ΔF(B)).

證明由Schur三角分解，存在酉陣C，D，使得

A=CH(T1+M1)C,B=DH(T2+M2)D,

其中T1=diag(λ1,…,λn)，T2=diag(μ1,…,μn)，M1,M2均為上三角陣.

B-A=DHT2D+DHM2D-CHT1C-CHM1C.

由上式得

C(B-A)DH=

CDHT2+CDHM2-T1CDH-M1CDH,

D(B-A)CH=

T2DCH+M2DCH-DCHT1-DCHM1，

作CDH的奇異值分解CDH=VΣUH，Σ=diag(σ1,…,σn)，σ1≥…≥σn>0，U，V均為酉陣，則

ΣUHT2U-VHT1VΣ=VHC(B-A)DHU-

ΣUHM2U+VHM1VΣ,

(1)

UHT2UΣ-1-Σ-1VHT1V=UHD(B-A)CHV-

UHM2UΣ-1+Σ-1VHM1V.

(2)

令G=UHT2U，S=VHT1V，則G酉相似于T2，S酉相似于T1，故G,S均為正規(guī)陣，λ(G)=λ(B)，λ(S)=λ(A).

將G,S代入式(1)和式(2)得

ΣG-SΣ=VHC(B-A)DHU-ΣUHM2U+

VHM1VΣ,

GΣ-1-Σ-1S=UHD(B-A)CHV-UHM2UΣ-1+

Σ-1VHM1V,

則

‖ΣG-SΣ‖F(xiàn)≤‖C‖2‖B-A‖F(xiàn)‖D-1‖2+

‖Σ‖2‖M2‖F(xiàn)+‖M1‖F(xiàn)‖Σ‖2≤

‖C‖2‖B-A‖F(xiàn)‖D-1‖2+

‖C‖2‖D-1‖2‖M2‖F(xiàn)+

‖M1‖F(xiàn)‖C‖2‖D-1‖2=

‖C‖2‖D-1‖2(‖B-A‖F(xiàn)+

‖M2‖F(xiàn)+‖M1‖F(xiàn)),

(3)

‖GΣ-1-Σ-1S‖F(xiàn)≤

‖D‖2‖B-A‖F(xiàn)‖C-1‖2+

‖M2‖F(xiàn)‖D‖2‖C-1‖2+

‖D‖2‖C-1‖2‖M1‖F(xiàn)=

‖D‖2‖C-1‖2(‖B-A‖F(xiàn)+

‖M2‖F(xiàn)+‖M1‖F(xiàn)).

(4)

依引理 1，有

(5)

將式(3)，(4)代入式(5)得

‖M2‖F(xiàn)+‖M1‖F(xiàn))2,

又c為任意正數(shù)，不妨令

則

A‖F(xiàn)+‖M2‖F(xiàn)+‖M1‖F(xiàn)).

(6)

依引理 2，有‖M1‖F(xiàn)=ΔF(A)，‖M2‖F(xiàn)=ΔF(B)；又C,D是酉陣，故K(C)=1，K(D)=1.

式(6)為

ΔF(A)+ΔF(B)).

3)A為正規(guī)陣，B為任意陣，則

4)A為任意陣，B為正規(guī)陣，則

定理2設(shè)A,B均是可對(duì)角化矩陣，C,D為非奇異陣，A=CT1C-1，B=DT2D-1，T1=diag(λ1,…,λn)，T2=diag(μ1,…,μn)，λ(A)={λi}，λ(B)={μi}，非奇異陣Y∈Cn×n，則存在1,2,…,n的某排列π，使得

證明由A=CT1C-1，B=DT2D-1，C，D均非奇異，則

‖AY-YB‖F(xiàn)=

‖Y(D(D-1Y-1CT1-T2D-1Y-1C)C-1)Y‖F(xiàn)≥

T2D-1Y-1C‖F(xiàn),

(7)

‖AY-YB‖F(xiàn)=

‖C(T1C-1YD-C-1YDT2)D-1‖F(xiàn)≥

(8)

作C-1YD的奇異值分解C-1YD=UΣVH，Σ=diag(σ1,…,σn)，σ1≥…≥σn>0，U,V均為酉陣.

令G=UHT1U，S=VHT2V，則G，S均為正規(guī)陣，λ(G)=λ(A)，λ(S)=λ(B).

將G,S代入式(7),(8)得

‖AY-YB‖F(xiàn)≥

T2VΣ-1UH‖F(xiàn)=

(9)

(10)

依引理 1，有

(11)

將式(9)，(10)代入式(11)，得

又c為任意正數(shù)，不妨令

則

‖G-S‖F(xiàn)≤

注21)若A,B均為可對(duì)稱化矩陣，定理2的結(jié)論仍成立.由于

故定理 2 較文獻(xiàn)[14]的結(jié)論3.2.6更強(qiáng).

2)A,B均為正規(guī)陣，Y為單位陣，則

‖A-B‖F(xiàn),

故定理2是Wielandt-Hoffman定理的推廣.

3 算 例

考慮三階可對(duì)角化矩陣

則存在非奇異陣

4 結(jié) 論

本文首先研究了一般矩陣特征值的擾動(dòng)，利用矩陣的分解，得到Wielandt-Hoffman型絕對(duì)擾動(dòng)上界，且所得結(jié)果推廣了以往結(jié)論.其次，研究了可對(duì)角化陣特征值的擾動(dòng)，所得結(jié)論適用于可對(duì)稱化陣，且結(jié)論是Wielandt-Hoffman定理的推廣.