芻議“中介”思想 解決比較類問題

江西 林春平

比較類問題是高中物理學(xué)習(xí)中經(jīng)常碰見的一類問題，許多學(xué)生對(duì)于兩個(gè)物體間的比較類問題，直接用公式推導(dǎo)，比較容易處理，但是碰到三個(gè)物體或者兩個(gè)沒有直接關(guān)系的物體，常常出錯(cuò)或是感到無從下手，此類問題的根本原因在于沒有建立“中介”，沒有找到比較的“橋梁”。下面將從高考試題出發(fā)，探討尋找并利用“中介”思想準(zhǔn)確快速地解決比較類問題。

【例1】(2019年全國卷Ⅲ第21題)如圖1所示，電荷量分別為q和-q(q>0)的點(diǎn)電荷固定在正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)上，a、b是正方體的另外兩個(gè)頂點(diǎn)。則

圖1

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A.a點(diǎn)和b點(diǎn)的電勢相等

B.a點(diǎn)和b點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小相等

C.a點(diǎn)和b點(diǎn)的電場強(qiáng)度方向相同

D.將負(fù)電荷從a點(diǎn)移到b點(diǎn)，電勢能增加

【名師點(diǎn)睛】這個(gè)題目引入了一個(gè)正方體模型，而且a、b兩點(diǎn)不在同一條電場線上，空間想象力稍弱的學(xué)生很難比較a、b兩點(diǎn)的電勢。a、b兩點(diǎn)和q、-q兩個(gè)點(diǎn)電荷就是在同一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)上，如圖2所示，c點(diǎn)是a點(diǎn)關(guān)于q、-q連線的對(duì)稱點(diǎn)，也是b點(diǎn)關(guān)于兩個(gè)電荷連線的中垂線的對(duì)稱點(diǎn)，c點(diǎn)和a、b兩點(diǎn)都有關(guān)系，c點(diǎn)可以作為a、b兩點(diǎn)的“中介”。

圖2

【優(yōu)化解題】a、b、q、-q位置以及兩個(gè)點(diǎn)電荷的電場線、等勢線如圖2所示，c點(diǎn)是a點(diǎn)關(guān)于q、-q連線的對(duì)稱點(diǎn)，在同一個(gè)等勢面上，所以φa=φc，c點(diǎn)又是b點(diǎn)關(guān)于兩個(gè)電荷連線中垂線的對(duì)稱點(diǎn)，在同一條電場線上，沿著電場線方向電勢逐漸降低，所以φb>φc，綜合可得φb>φa，A選項(xiàng)錯(cuò)誤。根據(jù)Ep=qφ，結(jié)合φb>φa，所以負(fù)電荷在b點(diǎn)的電勢能更小，D選項(xiàng)錯(cuò)誤。a、b兩點(diǎn)到兩點(diǎn)電荷連線的距離相等，且關(guān)于兩點(diǎn)電荷連線中點(diǎn)對(duì)稱，可知a、b兩點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小相等，方向相同，BC選項(xiàng)均正確。

【例2】(2019年江蘇卷第4題)1970年成功發(fā)射的“東方紅一號(hào)”是我國第一顆人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星至今仍沿橢圓軌道繞地球運(yùn)動(dòng)。如圖3所示，設(shè)衛(wèi)星在近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度分別為v1、v2，近地點(diǎn)到地心的距離為r，地球質(zhì)量為M，引力常量為G。則

圖3

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【例3】(2016年四川卷第3題)國務(wù)院批復(fù)，自2016年起將4月24日設(shè)立為“中國航天日”。1970年4月24日我國首次成功發(fā)射的人造衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，目前仍然在橢圓軌道上運(yùn)行，其軌道近地點(diǎn)高度約為440 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度約為2 060 km；1984年4月8日成功發(fā)射的“東方紅二號(hào)”衛(wèi)星運(yùn)行在赤道上空35 786 km的地球同步軌道上。設(shè)“東方紅一號(hào)”在遠(yuǎn)地點(diǎn)的加速度為a1，“東方紅二號(hào)”的加速度為a2，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的加速度為a3，則a1、a2、a3的大小關(guān)系為

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A.a2>a1>a3

B.a3>a2>a1

C.a3>a1>a2

D.a1>a2>a3

【例4】如圖4所示，A是地球赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體，線速度大小為v1；B是繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的近地衛(wèi)星，線速度大小為v2；C是地球同步衛(wèi)星，線速度大小為v3，下列關(guān)于A、B、C的線速度大小關(guān)系正確的是

圖4

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A.v1=v2>v3B.v3>v2>v1

C.v2>v3>v1D.v3>v1>v2

【例5】如圖5為“鳳凰號(hào)”著陸器經(jīng)過多次變軌后登陸火星的軌跡圖，軌道上的P、Q兩點(diǎn)與火星中心在同一直線上，P、Q兩點(diǎn)分別是橢圓軌道的遠(yuǎn)火星點(diǎn)和近火星點(diǎn)，已知軌道Ⅱ?yàn)閳A軌道，下列說法正確的是

圖5

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A.著陸器在軌道Ⅱ上P點(diǎn)的速度vⅡP小于在軌道Ⅲ上Q點(diǎn)的速度vⅢQ

B.著陸器在軌道Ⅱ上P點(diǎn)的速度vⅡP等于在軌道Ⅲ上Q點(diǎn)的速度vⅢQ

首先通過兩兩比較路由度量的相對(duì)重要性構(gòu)建模糊互補(bǔ)的判斷矩陣R=(rij)n×m,之后將R=(rij)n×m轉(zhuǎn)換成模糊一致性矩陣最后利用歸一化處理得出權(quán)重向量a=(a1,a2,…,am)。

C.著陸器在軌道Ⅱ上P點(diǎn)的速度vⅡP大于在軌道Ⅲ上Q點(diǎn)的速度vⅢQ

D.著陸器在軌道Ⅱ上P點(diǎn)的速度vⅡP和在軌道Ⅲ上Q點(diǎn)的速度vⅢQ大小無法比較

【名師點(diǎn)睛】很多學(xué)生會(huì)誤選D選項(xiàng)，因?yàn)楦鶕?jù)開普勒第二定律可知vⅢQ>vⅢP，又因?yàn)閺膱A軌道Ⅱ進(jìn)入橢圓軌道Ⅲ，需要在P點(diǎn)減速，所以vⅡP>vⅢP，但vⅢQ和vⅡP速度無法比較，D選項(xiàng)恰好是無法比較，從而誤選D選項(xiàng)。這個(gè)題目中也沒有已知的“中介”，必須自己建立。應(yīng)該以火星為中心，設(shè)Q點(diǎn)所在圓軌道為Ⅳ與軌道Ⅲ相切于Q點(diǎn)，如圖6所示，軌道Ⅳ與軌道Ⅱ都是圓周軌道，由萬有引力提供向心力，即軌道Ⅳ和軌道Ⅲ、Ⅱ都有關(guān)系，軌道Ⅳ作為“中介”。

圖6

【例6】如圖7所示，兩輪壓緊通過摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)(不打滑)，已知大輪半徑是小輪半徑的2倍，A為大輪半徑的中點(diǎn)，B為小輪邊緣上的一點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的

圖7

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A.加速度大小之比為1∶4

B.加速度大小之比為4∶1

C.轉(zhuǎn)速之比為1∶2

D.轉(zhuǎn)速之比為2∶1

【例7】如圖8所示，在傾角為θ的斜面頂端將三個(gè)小球A、B、C分別以v1、2v1、3v1的初速度沿水平方向拋出，小球B恰好落到斜面底端，不計(jì)空氣阻力，重力加速度大小為g。則小球A的水平位移大小與小球C的水平位移大小之比為

圖8

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A.1∶2 B.1∶4

C.1∶6 D.條件不足，無法求出

【名師點(diǎn)睛】小球B恰好落到斜面底端，根據(jù)它們初速度關(guān)系，那么小球A必定落在斜面上，小球C必定落在水平面上。平拋運(yùn)動(dòng)水平位移x=v0t，因不知小球A和小球C時(shí)間到底有什么關(guān)系，從而陷入困境。小球A、小球B都是落在同一個(gè)斜面上，位移方向相同，小球B、小球C落在同一個(gè)水平面上，豎直位移相同，發(fā)現(xiàn)小球B和小球A、小球C都有關(guān)系，小球B可以當(dāng)小球A和小球C的“中介”。