基于偏相關(guān)-灰關(guān)聯(lián)方法的發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)影響因素分析*

翟亞浩，解夢(mèng)濤，任瑞冬

(中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院 發(fā)動(dòng)機(jī)所，陜西 西安 710089)

0 引 言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)是影響航空發(fā)動(dòng)機(jī)壽命和飛行安全的重要因素[1-2]，而獲取影響發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的主要狀態(tài)參數(shù)，可以合理指導(dǎo)飛行試驗(yàn)任務(wù)的設(shè)計(jì)，最大程度地降低安全事故發(fā)生的概率。

影響渦軸發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的因素眾多，包括飛行高度、速度、三向過(guò)載、姿態(tài)角等飛機(jī)狀態(tài)，發(fā)動(dòng)機(jī)扭矩、燃油流量、燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)速、動(dòng)力渦輪轉(zhuǎn)速等發(fā)動(dòng)機(jī)工作狀態(tài)以及大氣總溫等大氣環(huán)境參數(shù)。有學(xué)者以某型發(fā)動(dòng)機(jī)為研究對(duì)象，利用偏相關(guān)理論開(kāi)展了發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)影響因素的相關(guān)性分析[3]，其優(yōu)點(diǎn)在于避免了各影響因素之間的相互影響，但算法理論過(guò)于單一，容易造成誤判。另外，某些因素對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的影響是未知和不確定的，而灰色關(guān)聯(lián)分析方法[4-5]為該研究提供了新思路，它將眾多因素影響的振動(dòng)現(xiàn)象看作一個(gè)灰色系統(tǒng)，可以較為真實(shí)地反映出各影響因素對(duì)考核變量影響程度。正基于此，在前人研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，筆者將偏相關(guān)理論和灰色關(guān)聯(lián)方法相結(jié)合，以提高分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和合理性。傳統(tǒng)的灰色關(guān)聯(lián)度[6]分析采用的是等權(quán)計(jì)算，文中將各影響因素與發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的偏相關(guān)系數(shù)作為計(jì)算灰色關(guān)聯(lián)度的權(quán)重，綜合了二者的優(yōu)點(diǎn)，可以體現(xiàn)各影響因素對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的不同影響程度。基于某型渦軸發(fā)動(dòng)機(jī)的試飛數(shù)據(jù)，利用偏相關(guān)-灰關(guān)聯(lián)方法進(jìn)行發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)影響因素分析，為發(fā)動(dòng)機(jī)試飛的任務(wù)點(diǎn)規(guī)劃提供參考作用。

1 方法原理

灰色關(guān)聯(lián)是灰色系統(tǒng)的基本概念之一。灰色關(guān)聯(lián)是指事物之間的不確定關(guān)聯(lián)，或系統(tǒng)因子之間，因子對(duì)主行為之間的不確定關(guān)聯(lián)[7-8]。

求灰色關(guān)聯(lián)度的通常包括以下步驟：確定參考序列(母序列)和比較序列(子序列)，原始數(shù)據(jù)變換，計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)，求關(guān)聯(lián)度，關(guān)聯(lián)度排序等。

1.1 確定參考序列和比較序列

根據(jù)所研究的具體問(wèn)題需求，確定一個(gè)因變量因素和m個(gè)自變量因素，如式(1)和式(2):

x0=[x0(1),x0(2),…,x0(n)]

(1)

xi=[xi(1),xi(2),…,xi(n)]

(2)

i=1,2,…,m

式中：x0為參考序列；x0(n)為參考序列中的變量；xi為第i個(gè)比較序列；xi(n)為第i個(gè)比較序列中的變量。

在計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)之前需要對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行變換，包括將數(shù)列均值化，求差序列以及求序列的兩極最大差值與最小差值，如式(3)～(5)所示。

(1) 求各序列的均值像得：

i=1,2,…,n

(3)

(2) 求差序列，記為：

Δi(k)=|x0′(k)-xi′(k)|

Δi=(Δi(1),Δi(2),…,Δi(n))

i=1,2,…,n

(4)

(3) 求序列的兩極最大差值與最小差值，記為：

(5)

式中：x0(k)，xi(k)分別是x0及xk的第k點(diǎn)，其中i=1,2,…,m，k=1,2,…,n。

1.2 計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)

計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)，可以定義以下點(diǎn)關(guān)聯(lián)系數(shù)的計(jì)算公式，ξ為分辨系數(shù)，它可以提高關(guān)聯(lián)系數(shù)之間的顯著差異性，ξ∈(0,1)，一般取0.5。令q(X0,Xi)為xi對(duì)于x0在k點(diǎn)的灰關(guān)聯(lián)度(或灰色關(guān)聯(lián)系數(shù))，可記為q0i，k點(diǎn)關(guān)聯(lián)系數(shù)q(x0(k),xi(k))記為q0i(k)。

q0i(k)=

(6)

1.3 權(quán)重系數(shù)確定

通過(guò)計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)可以得到比較序列和參考序列在各個(gè)點(diǎn)處的關(guān)聯(lián)系數(shù)值，但結(jié)果繁雜，不便于進(jìn)行比較，因此需要將每個(gè)比較序列的各個(gè)點(diǎn)處的關(guān)聯(lián)系數(shù)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，并集中為一個(gè)值，即灰色關(guān)聯(lián)度。通常為反映某個(gè)比較序列與參考序列之間的灰色關(guān)聯(lián)度，是計(jì)算這兩個(gè)數(shù)據(jù)序列各個(gè)點(diǎn)處的關(guān)聯(lián)系數(shù)的平均值，即：

(7)

但由于各影響參數(shù)對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的影響程度不同，因此在得到各影響因素的灰色關(guān)聯(lián)度后還應(yīng)賦予各影響參數(shù)不同的權(quán)重。

偏相關(guān)系數(shù)[9-10]在研究某一個(gè)要素對(duì)另一個(gè)要素的影響或相關(guān)程度時(shí)，可以不考慮其他要素的影響，單獨(dú)研究?jī)蓚€(gè)要素之間的相互關(guān)系的密切程度。求解偏相關(guān)系數(shù)的一般步驟為：

(1) 計(jì)算x，y之間的關(guān)聯(lián)程度，即簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)rxy，如式(8)所示：

(8)

(2) 設(shè)一組變量x1，x2，…，xn，則由簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)rij組成的相關(guān)矩陣R：

對(duì)矩陣R求逆：

則可求得xi和xj間的偏相關(guān)系數(shù)：

(9)

將參考序列與各比較序列的偏相關(guān)系數(shù)歸一化，即可得到各影響因素的權(quán)重值；如假定變量xn為參考序列，則其余比較序列對(duì)xn的影響權(quán)重為：

(10)

1.4 求關(guān)聯(lián)度并排序

將偏相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果Wk作為各比較序列對(duì)參考序列的影響權(quán)重，對(duì)關(guān)聯(lián)系數(shù)求加權(quán)平均值，即：

k=1,2,…,n，i=1,2,…,n

(11)

根據(jù)上式可以求得加權(quán)后的灰色關(guān)聯(lián)度值，而在關(guān)聯(lián)度分析中，關(guān)聯(lián)度值的大小實(shí)際意義并不大，而將各比較序列對(duì)同一參考序列的關(guān)聯(lián)度從大到小依次排列的關(guān)聯(lián)序起著較為重要的作用，因?yàn)樗苯臃从沉烁鞅容^序列對(duì)同一參考序列的影響大小。

2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

選取某型渦軸發(fā)動(dòng)機(jī)8個(gè)架次的飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)作為分析樣本，提取其中16個(gè)影響參數(shù)作為比較序列，包括氣壓高度、指示空速、大氣總溫、航向角、俯仰角、滾轉(zhuǎn)角以及三向過(guò)載等參數(shù)。

根據(jù)式(3)～(5)對(duì)參數(shù)序列進(jìn)行均值化處理，以及求差序列，并求序列的兩極最大差值與最小差值。由式(6)，取分辨系數(shù)ξ=0.5，分別計(jì)算出各個(gè)架次中各影響因素與發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)量之間的關(guān)聯(lián)系數(shù)，對(duì)其分別求架次平均量，得到最終的平均關(guān)聯(lián)系數(shù)，如表1中第三列所列。

表1 發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)影響參數(shù)關(guān)聯(lián)度分析

根據(jù)偏相關(guān)分析原理，借助MATLAB編程分別計(jì)算得到發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的各個(gè)影響因素在所有飛行架次中的平均權(quán)重系數(shù)，見(jiàn)表1。由式(11)可以求得各個(gè)影響因素與發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)間的灰色關(guān)聯(lián)度數(shù)值，然后對(duì)其進(jìn)行排序，如表1所示。并根據(jù)計(jì)算結(jié)果作出發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)影響參數(shù)的灰色關(guān)聯(lián)度分析條形圖，如圖1所示。

圖1 發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)關(guān)聯(lián)度分析條形圖

關(guān)聯(lián)度的數(shù)值大小并無(wú)實(shí)際意義，根據(jù)關(guān)聯(lián)度排序結(jié)果可知，對(duì)該型發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的程度較大的三個(gè)參數(shù)依次為發(fā)動(dòng)機(jī)扭矩、燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)速和壓氣機(jī)出口壓力，均為發(fā)動(dòng)機(jī)工作狀態(tài)參數(shù)。

3 結(jié) 論

通過(guò)偏相關(guān)和灰色關(guān)聯(lián)法綜合分析的方法，將偏相關(guān)系數(shù)作為計(jì)算灰色關(guān)聯(lián)度的權(quán)重，獲得了影響某型發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的各因素的關(guān)聯(lián)順序，即代表各因素在發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)影響中的主次關(guān)系。結(jié)果表明，影響該型發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的主要因素為發(fā)動(dòng)機(jī)扭矩、燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)速和壓氣機(jī)出口壓力等發(fā)動(dòng)機(jī)工作狀態(tài)。所得分析結(jié)果對(duì)該型發(fā)動(dòng)機(jī)試飛過(guò)程中任務(wù)點(diǎn)的合理規(guī)劃有著極為重要的意義。