高中數(shù)學(xué)課堂中學(xué)生抽象能力的有效培養(yǎng)

陳進(jìn)忠

摘 要：抽象能力是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！迸囵B(yǎng)抽象能力是提升數(shù)學(xué)思維能力的重中之重，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)重要目標(biāo)。下面針對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何提升學(xué)生抽象能力進(jìn)行具體闡述。

關(guān)鍵詞：抽象能力;數(shù)學(xué)教學(xué);培養(yǎng)途徑

史寧中教授說過：“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展最重要的基本思想也就是抽象，只有通過抽象才能得到抽象的東西。”可以說沒有抽象，就沒有數(shù)學(xué)。所謂數(shù)學(xué)抽象思維是一種以數(shù)學(xué)內(nèi)容為基礎(chǔ)，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、歸納等途徑從同類事物中抽取的具有共同、本質(zhì)屬性特征的數(shù)學(xué)思維。培養(yǎng)抽象能力是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的首要前提。

一、利用數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)抽象能力

華羅庚曾說過：“數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程就是不斷建立各種數(shù)學(xué)概念的過程?！倍鴶?shù)學(xué)概念的形成是經(jīng)過多次“從具體到抽象、從特殊到一般”的過程，反映的是一類對(duì)象所具有的典型本質(zhì)屬性特征，是一種數(shù)學(xué)的思維形式。數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)定理、公式、法則的基礎(chǔ)，是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理與論證的手段。而數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)命題等都可以看作是數(shù)學(xué)概念進(jìn)一步抽象的結(jié)果，因此，讓學(xué)生感知與經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，也是讓學(xué)生經(jīng)歷多個(gè)層次的抽象過程，是培養(yǎng)抽象能力的重要環(huán)節(jié)。

數(shù)學(xué)概念呈現(xiàn)高度“抽象性”和“概括性”特點(diǎn)。杜賓斯基強(qiáng)調(diào)：“從現(xiàn)實(shí)情境中逐步抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)概念同化式教學(xué)的弊端。”例如，在“函數(shù)的概念”一課的教學(xué)時(shí)，本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生在實(shí)際問題情境中抽象出函數(shù)概念，并感受抽象的全過程。在課堂中首先帶領(lǐng)學(xué)生回顧初中函數(shù)概念和形式，為理解高中數(shù)學(xué)概念做好前置知識(shí)鋪墊。然后，結(jié)合生活實(shí)際，創(chuàng)設(shè)以下實(shí)例情境：

情境1：某城市居民天然氣收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每月用氣量不超過30立方時(shí)，按照3元/立方收費(fèi);超過30立方而不超過50立方部分，按照4元/立方收費(fèi)。如果小李家每月用氣量為不超過30立方，月用氣單價(jià)為元，每月交天然氣費(fèi)元與用氣量。

（1）上述問題中的變量是什么？用氣量？月用氣單價(jià)？

（2）你可以用自己的方法表示出題目中的變量嗎？

（3）用氣單價(jià)是用氣量的函數(shù)嗎？每月交天然氣費(fèi)與用氣量的函數(shù)嗎？

顯然，根據(jù)已知條件，用氣單價(jià)與初中函數(shù)概念中有兩個(gè)變量的已知條件相矛盾，引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，通過三個(gè)問題的逐層深入，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何表示變量，并找到對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。

情境2：國際上利用“恩格爾系數(shù)”來反映人們的生活質(zhì)量水平，該系數(shù)隨著時(shí)間的變化情況如下表所示。

提問：請(qǐng)嘗試描述恩格爾系數(shù)與時(shí)間之間的關(guān)系？

學(xué)生通過觀察表格發(fā)現(xiàn)，恩格爾系數(shù)與時(shí)間分別可以用集合A和集合B表示，且在集合中A的每一個(gè)時(shí)間t，在集合B中都有唯一確定的值與之相對(duì)應(yīng)。

通過情境1和情境2兩個(gè)實(shí)例的分析，引領(lǐng)學(xué)生歸納其共同點(diǎn)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們都是生活中的例子，且都具有對(duì)應(yīng)的關(guān)系。那么究竟什么是函數(shù)呢？讓學(xué)生自主的定義并表征出函數(shù)的概念，教師給予糾正和總結(jié)，這樣，在情境中，學(xué)生經(jīng)歷了從具體事物中抽象出函數(shù)概念的全過程，有效促進(jìn)了學(xué)生抽象能力的培養(yǎng)。

二、利用數(shù)學(xué)建模，培養(yǎng)抽象能力

弗賴登塔爾說過：“模型是一個(gè)對(duì)象的表屬性和規(guī)定性的體現(xiàn)，人們可以通過具體的模型獲得抽象的感性認(rèn)知。”數(shù)學(xué)建模的過程，就是將現(xiàn)實(shí)世界問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，形成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)知識(shí)分析與解決問題的過程?？梢哉f數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)抽象的前提。因此，在實(shí)際教學(xué)中，要培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力，從數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)入手，不失為一個(gè)好的教學(xué)方法。

“數(shù)學(xué)就是對(duì)于模式的研究?！彪S著房價(jià)的不斷上漲，貸款購房成為人們關(guān)注的熱門話題。在“等差數(shù)列”教學(xué)時(shí)，我們不妨將貸款購房問題具體化，設(shè)計(jì)以下問題情境，引領(lǐng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析并解決問題。

情境3：小劉為購房需要向銀行貸款60萬元，貸款時(shí)間為25年，貸款年利率為7.2%，假設(shè)小劉工資每月去除開銷后能存5000元，那每個(gè)月還款額為多少在小劉的承受范圍之內(nèi)？

目前銀行按揭貸款主要有等額本息和等額本金兩種還款方式，根據(jù)題意，可以構(gòu)建兩種還款模型，通過分析與比較兩種還款模型，來確定每個(gè)月的還款額。

（1）等額本息還款模型。將貸款總額與總利息平均分?jǐn)偟矫總€(gè)月，在該還款方式中，雖然每個(gè)月還款額相同，但是本金是逐月增加、利息逐月減少的。

由已知，可設(shè)貸款額a0=60（萬元），年利率q=0.006，還款時(shí)間n=1，2，3，…300（月），an表示第n個(gè)月尚欠銀行的款，x表示每個(gè)月還款額度，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型：

根據(jù)遞推關(guān)系分析，該模型為等差數(shù)列模型。

由此可得：xn=5600-12n。每月還款額為首項(xiàng)5600，公差為-12的等差數(shù)列。貸款本金和利息總額為1141800元。

兩種數(shù)學(xué)模型相比較，可知，雖然模型2所需要支付的總額低，但前幾個(gè)月的還款額明顯超出了小劉的承受范圍。因此，確定采用模型1的還款方式比較合適。

可見，對(duì)實(shí)際生活分析的過程，就是讓學(xué)生經(jīng)歷從生活問題中抽象出數(shù)學(xué)模型來解決問題的過程，開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

三、利用數(shù)學(xué)推理，培養(yǎng)抽象能力

數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)邏輯推理有著密切的聯(lián)系，其中，數(shù)學(xué)推理是一種由已知到未知的方法，包括了數(shù)、式的演算與證明過程，而數(shù)學(xué)推理的過程往往是從最抽象的數(shù)學(xué)公理體系出發(fā)，運(yùn)用歸納推理、合情推理、類比推理和演繹推理等方法逐步尋求新的結(jié)果。而這一過程是利用學(xué)生感官直覺從已知問題中抽象出一般性原理的過程。可以說，數(shù)學(xué)抽象始終貫穿于數(shù)學(xué)邏輯推理的過程。

數(shù)列推理論證題的求解是高考重點(diǎn)，涉及函數(shù)、方程、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等重要思想方法，突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力。

例1：在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求通項(xiàng)an。

例2：在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+3n-4，求通項(xiàng)an。

例3：在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=3an+4·2n，求通項(xiàng)an。

對(duì)三道例題進(jìn)行整體分析，發(fā)現(xiàn)三個(gè)問題的形式比較相近，將其特殊值一般化，可以抽象出以下問題：在數(shù)列{an}中，a1=a，an+1=kan+f（n），求通項(xiàng)an，通過對(duì)一般形式變形可得：an+1+g（n+1）=k[an+g（n）]，從而可以求出通項(xiàng)公式。這樣通過邏輯推理分析，就抽象出了三個(gè)數(shù)列問題的通用求解方法。

在實(shí)際教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷具體問題抽象化一般問題，既能使學(xué)生深刻的理解問題的求解思路與策略，又能有效提升學(xué)生的抽象能力。一旦學(xué)生具備了這種能力，其解題效率也會(huì)大大提升。

四、利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)抽象能力

表象反映了一類事物的共同特點(diǎn)和特征，是人們思維意識(shí)中對(duì)客觀事物的一種客觀印象。表象思維是形象思維和抽象思維溝通的橋梁。而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是讓學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦的經(jīng)歷中去抽象的過程，其宗旨是讓學(xué)生將具體過程抽象為具有高度概括性和抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，將數(shù)學(xué)知識(shí)的講解以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程呈現(xiàn)在學(xué)生面前，既有利于刺激學(xué)生大腦皮層，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和積極性，還能在動(dòng)手實(shí)踐的過程中提升抽象概括能力。

GeoGebra軟件具有強(qiáng)大的繪圖能力，且操作簡單，便于學(xué)生實(shí)踐。例如，在“對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”一課教學(xué)時(shí)，學(xué)生通過前面“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了對(duì)函數(shù)圖象和性質(zhì)研究的基本方法。因此，本節(jié)課教學(xué)思路是：

首先結(jié)合考古學(xué)知識(shí)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境：考古學(xué)家通常會(huì)根據(jù)附著在出土文物和遺址上死亡生物體的殘留物之間的關(guān)系t=p來推算出土文物年代。

為學(xué)生提供了一組數(shù)據(jù)，讓學(xué)生利用GeoGebra軟件判斷是否為對(duì)數(shù)函數(shù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示是對(duì)數(shù)函數(shù)。師生交流，從具體問題抽象出對(duì)數(shù)的概念。

然后，讓學(xué)生以小組為單位，仿照指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的研究過程，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，并能利用GeoGebra軟件畫出具體的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，從而借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)來探索對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。學(xué)生借助分類討論的思想，動(dòng)手作圖，用軟件展示了實(shí)驗(yàn)成果，同時(shí)，通過相互討論，從圖象中發(fā)現(xiàn)了函數(shù)的性質(zhì)，在用特殊值驗(yàn)證性質(zhì)正確性的基礎(chǔ)上，然后再從特殊抽象出一般的特征。

通過實(shí)驗(yàn)主動(dòng)探索、積極動(dòng)腦和動(dòng)手，才能讓學(xué)生在感受客觀事實(shí)的同時(shí)，又適當(dāng)?shù)乩美碚撝R(shí)進(jìn)行論證，有效促進(jìn)了數(shù)學(xué)抽象概括能力的培養(yǎng)。

“抽象是數(shù)學(xué)思維形成的基礎(chǔ)?！睌?shù)學(xué)抽象反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，有助于學(xué)生形成一般性問題思考的方法與習(xí)慣，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展影響較大。抽象能力的形成過程，是數(shù)學(xué)知識(shí)積累消化和數(shù)學(xué)思維能力不斷提升的過程，積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象思維能力訓(xùn)練，有利于完善學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)。

參考文獻(xiàn)：

[1]周先華.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)實(shí)踐初探[J].數(shù)理化解題研究（高中版），2017（7）：39-41.

[2]張亞男.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生抽象能力的提升途徑探究[J].高考，2019（14）：208.