探析數(shù)學史中的數(shù)學思想方法與數(shù)學教育

閻淑榮 劉法泉 柳秀蘭

摘 要：數(shù)學在人類社會發(fā)展中發(fā)揮著重要的作用，可以說，數(shù)學的發(fā)展其實也就是人類科學技術的發(fā)展。在此，本文主要從函數(shù)、極限以及化歸三大方面對數(shù)學史中的數(shù)學思想方法進行深入探究，并給予了人們深刻的啟發(fā)：要想培養(yǎng)優(yōu)秀的數(shù)學人才，需要從培養(yǎng)人的思維習慣方面下手。

關鍵詞：數(shù)學史;數(shù)學思想方法;數(shù)學教育

數(shù)學史不僅是人類科學技術的發(fā)展史，更是人類文明的進步史，數(shù)學上的進步在很大程度上體現(xiàn)著人類社會的發(fā)展。從最初的歐式幾何到微積分、現(xiàn)代數(shù)學，再到近代數(shù)學，數(shù)學在每一階段的發(fā)展都與其所處時代的科學技術、政治、經濟以及社會等有著緊密的聯(lián)系，絕大多數(shù)人類科學技術的實現(xiàn)都將數(shù)學充分利用了起來，就拿芯片技術來說，如果沒有先進的算法，芯片技術還能實現(xiàn)嗎？因此，有必要深入探索數(shù)學史中的數(shù)學思想方法以及數(shù)學教育，以確保對數(shù)學思想的更好應用。

一、數(shù)學史中的數(shù)學思想方法

深入分析，數(shù)學已經有4000多年的發(fā)展史，其內容的廣度和深度是很難預測的，尤其是其中的數(shù)學思想和方法非常豐富，但是，深入分析發(fā)現(xiàn)，經典思想主要有三種：函數(shù)思想、極限思想以及化歸思想，這三種思想是當前解決數(shù)學問題的重要工具。

（一）函數(shù)思想方法

函數(shù)思想是數(shù)學中最為常見且在其他學科中經常使用的概念，其中想要表達的意義已經遠遠超出當前的數(shù)學范疇，在對經典數(shù)學進行深入分析時，函數(shù)就是其中必不可少的內容。對當前數(shù)學教材中的函數(shù)知識分析發(fā)現(xiàn)，其不僅是初等數(shù)學中的主要內容，在高等數(shù)學中同樣占據(jù)著核心地位。函數(shù)思想在數(shù)學中的融入使得傳統(tǒng)的常量數(shù)學轉變成了變量數(shù)學，辯證法在數(shù)學中得到了廣泛的應用。不僅如此，物理、化學以及均是多個領域都與數(shù)學中的函數(shù)思想有了緊密的聯(lián)系，例如：物體冷卻現(xiàn)象、樹木的生長以及人口增長率等，雖然函數(shù)思想在不同內容中的意義不盡相同，但是它們都適用于同一個數(shù)學模型中，如下：

這個數(shù)學模型中主要表示的是當α0，γ不變時，上述提到的具有不同意義的問題可以轉化成關于周期t的函數(shù)。

正是上述函數(shù)思想的應用，很多相對復雜的問題都能轉化成統(tǒng)一的處理方式，可以用數(shù)學家F·克萊因的話闡述，教育家可以將數(shù)學課上的重要問題利用變量和函數(shù)進行解決。

（二）極限思想方法

極限在函數(shù)研究中發(fā)揮著非常重要的作用，是現(xiàn)代數(shù)學中較為常見的一種思想方法，也是當前很多數(shù)學概念建立的基礎，在分析問題和解決問題上也有著重要意義。極限思想無論在哪一方面的數(shù)學研究中都得以體現(xiàn)，正是因為具有這種思想方法，數(shù)學才能在各個領域中得到廣泛的應用。因此，筆者對極限思想的發(fā)展歷程進行了深入的分析，從中得知，極限思想的發(fā)展主要有四個階段：第一，萌芽時期，我國偉大哲學家莊子提到的“一日之錘，日取其半，萬世不竭”以及國外相關專家構建的窮竭法都能夠體現(xiàn)出極限思想;第二，發(fā)展階段，牛頓、布萊尼等創(chuàng)立的微積分，將極限研究成果充分利用了起來，以此解決實際問題，這就使得極限思想得到了一定的發(fā)展;第三，爭論階段，實際上，牛頓和布萊尼并沒有將極限思想嚴謹?shù)年U述出來，從而也就產生出現(xiàn)了不能自圓其說的觀點，例如：級數(shù)的收斂以及發(fā)散應用過程中出現(xiàn)的悖論等。而相對嚴密的極限思想主要是從波萊諾、柯西等學者的工作開始的，經過Weierstrass的進一步發(fā)展，從而形成了一門較為完整的“數(shù)學分析”學科，正是這一時期，極限思想變得更加嚴密，這也在一定程度上帶動了微積分學的發(fā)展。

深入分析，極限思想方法在現(xiàn)代數(shù)學中得以更好的發(fā)展，主要就是因為極限思想和方法在推動數(shù)學進步的過程中，涉及到了物理、化學、地理等多個領域，解決了各個工程領域中的實際問題，從而才能為當今社會背景下科技水平的提升以及經濟的發(fā)展提供有力支持。

（三）化歸思想方法

深入分析，當前數(shù)學中所包含的化歸思想意義有宏觀和微觀之分，從宏觀方面來看，其主要體現(xiàn)的是數(shù)學家在思考問題時與一般科學家不同的見解，這是后續(xù)分析問題、解決問題并形成數(shù)學構想的重要條件;從微觀方面來看，這一方面的意義主要是數(shù)學家在解決數(shù)學問題的過程中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，并將其與已經解決的問題結合分析的過程。深入分析數(shù)學史上有名的化歸思想，1944年發(fā)表的《怎樣解題表》是最為典型的化歸思想著作，其將化歸思想在解決問題上的精華闡述了出來。在這張表中，G·波利亞還將數(shù)學解題過程概括成了發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題以及回顧問題的過程，而四個思維階段的主要目的就是鍛煉人在數(shù)學內容上的理解、轉換、具體實施以及反思的能力，而且，波利亞還設置了一系列的問題，啟發(fā)人們在這四個思維框架中進行解題。上述的這種思維過程其實就是變幻問題，并將其轉化為簡單內容的過程，將復雜的問題不斷化歸，最終歸結成一個較為熟悉的簡單問題，模式如圖1：

以化歸思想來解決實際性的問題的方法也就是化歸法，這種方法在中學數(shù)學中非常常見，幾何代數(shù)中的數(shù)形結合、解方程中的換元法、待定系數(shù)法等都將化歸思想充分利用了起來，以此來簡化題目，為后續(xù)解題提供便利。

各個分支中問題的解決也經常用到化歸法，例如：數(shù)學分析中的換元法以及三角函數(shù)的萬能替換法等，其與中學數(shù)學中相關問題的解題方式是相同的，如：一般情況下，無限個數(shù)的求和是不能得到結果的，而如果將無限個數(shù)的求和轉化為有限個數(shù)的極限求和就可以得出最終結果，這樣做也在一定程度上上解決了數(shù)項級數(shù)的斂散性問題，為相關問題的解決明確了具體的方法。

總之，數(shù)學中的化歸思想方法不僅在相關數(shù)學領域的問題解決過程中發(fā)揮著重要意義，也廣泛應用于物理、社會等領域中。切實做好這一思想方法的培養(yǎng)工作，對于提升學生的數(shù)學思想和問題解決能力非常重要，尤其可以幫助剛步入大學的學生盡快從中學思維模式中轉化過來，形成良好的思維模式。

二、數(shù)學史中的數(shù)學思想方法教育

在數(shù)學問題上，無論是數(shù)學家發(fā)現(xiàn)問題的過程還是解答問題的過程，都可以充分體現(xiàn)出其數(shù)學思維方式。無論是數(shù)學史上教育的成功還是失敗，其中都揭示了一個非常重要的規(guī)律，那就是實際教學過程中要將知識的內在聯(lián)系體現(xiàn)出來，發(fā)現(xiàn)問題中的思維規(guī)律，從而為學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)提供保障。

從根本上來看，數(shù)學史對于數(shù)學思想方法的傳播是一個層層遞進的過程，貫穿于整個數(shù)學學習過程中，其中，概念的形成、推論以及相關習題的推導都能夠將數(shù)學思想體現(xiàn)出來。此時，教師就可以抓住這一契機，引導學生理解相關數(shù)學概念的同時，形成良好的數(shù)學思維習慣，及時發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，形成一種辯證思維。

數(shù)學史中主要體現(xiàn)的是數(shù)學家思想方法的故事，在實際解題過程中都能直接體現(xiàn)出相關概念、定理的應用，教師應用數(shù)學思想方法開展數(shù)學工作，也會讓學生在潛移默化中利用數(shù)學，從而使學生獲得能夠解決日常生活實際問題的思想方法。

數(shù)學中的方法和概念是數(shù)學思想的深入體現(xiàn)，教師在教學中完整的表述相關定義，可以引發(fā)學生的思考，從而有利于培養(yǎng)其綜合思維能力，促進學生的全面發(fā)展。這也是當前數(shù)學史對實踐教育的重要意義。

三、結束語

總而言之，數(shù)學思想方法在數(shù)學以及其他各個領域中都得到了較為廣泛的應用，其中，函數(shù)、極限以及化歸三大思想方法是較為典型的數(shù)學思想方法，其能夠很好的解決各個工程領域的實際問題。而且，通過深入分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)學史中的數(shù)學思想方法教育還能實現(xiàn)對學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)，引導學生及時發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，形成辯證性的思維，從而提升綜合思維能力，在實踐教育中具有重要意義。

[參考文獻]

[1]陳宏.數(shù)學思想方法對數(shù)學教學的作用[J].數(shù)學學習與研究，2020（09）：41.

[2]劉水強. 數(shù)學史中的數(shù)學思想方法與數(shù)學教育研究[J]. 邵陽學院學報（自然科學版）， 2018， v.15;No.59（01）：10-14.

[3]張艷粉.淺談數(shù)學史教育與教學[J].科技資訊，2019，17（24）：113-115.

[4]伍枝枝. 數(shù)學思想方法教學現(xiàn)狀及教學策略研究[D].華中師范大學，2018.

[5]張瑩. 關于中職數(shù)學教育問題的探討[C].國家教師科研專項基金科研成果2018（三）.：國家教師科研基金管理辦公室，2018：104-105.

（作者單位：德州學院職業(yè)教育學院，山東 德州 253000）