函數零點個數問題解題策略的思考

北京 韓靜波

函數的零點是高中數學中重要的概念，將函數與方程聯系在一起，使方程根的問題和函數零點的問題可以相互轉化.函數零點個數問題也是高考命題的熱點之一，此類問題具有綜合性，且解題方法靈活多變，本文結合實例探究函數零點個數問題的一般邏輯思考過程.

一、原理分析

在解決函數零點個數問題時，可按照下圖進行邏輯思考.

1.方程角度

函數y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實根，若方程f(x)=0是可解、易解的方程(例如一元一次方程，一元二次方程，簡單的分式、指數、對數或三角方程等)，則可從方程角度研究方程實根的個數.

2.函數角度

從函數的角度研究函數零點的個數，首先從形的角度，利用函數圖象直觀觀察函數零點的個數，然后從數的角度，利用函數性質和零點存在定理嚴格證明.

(1)從形的角度

函數y=f(x)的零點就是該函數圖象與x軸交點的橫坐標，因此若函數的圖象易畫出，則圖象與x軸交點個數就是函數零點的個數.更進一步，若函數f(x)可以表示為兩個函數的和、差、積、商，例如f(x)=g(x)-h(x)，則f(x)的零點個數?g(x)=h(x)方程實根的個數?函數g(x)與函數h(x)圖象的交點個數.

(2)從數的角度

原理：已知函數y=f(x)在(a,b)上單調且圖象連續(xù)不斷.若存在x1,x2∈(a,b)，滿足f(x1)f(x2)<0，則函數y=f(x)在(a,b)上有且只有一個零點，否則(即f(x)>0或f(x)<0在(a,b)上恒成立)函數y=f(x)在(a,b)上無零點.

因此，研究函數y=f(x)在區(qū)間D上的零點個數，可先研究該函數在D上的單調性，根據上述原理，在每個單調區(qū)間上研究函數零點的個數.

二、函數零點個數問題的解題策略總結

函數零點個數問題比較綜合，解決方法靈活，問題的解決不能照搬套用，而應該依據問題的具體情境，通過嚴格的推理，靈活選擇解決問題的方法.具體解題策略如下：

首先考慮方程f(x)=0是否可解或易解，如果是，則可用方程方法研究，如果不是，需要利用函數方法進行研究；然后繼續(xù)思考函數f(x)是否為常規(guī)函數，如果是，畫出函數圖象，則可直觀觀察得出結論，如果不是常規(guī)函數，則繼續(xù)考慮能否轉化為常規(guī)函數；如果可以，即可轉化為兩個常規(guī)函數的交點個數問題，畫出函數圖象，則可直觀觀察得出結論，如果不可轉化(此類函數稱為復雜函數)，則利用導數研究函數的單調性、極值、最值(也需考慮奇偶性(對稱性)、周期性、及函數的一些特殊點)，然后根據性質畫出圖象，則可直觀觀察得出結論.需注意，若利用函數方法研究函數零點個數問題，嚴格論證需要利用上述一2(2)的方法.

三、應用策略解決具體問題

根據上述解題策略，在研究函數y=f(x)的零點個數問題時，通?？梢园凑杖缦聠栴}逐層深入思考.

問題1：方程f(x)=0是否可解、易解？

研究函數y=f(x)的零點個數問題時，通?？梢韵人伎挤匠蘤(x)=0是否可解、易解？如果是，可以根據方程知識直接求解(如下題)；如果不是，可以繼續(xù)思考問題2.

所以函數f(x)的零點個數是2.

由此題可知，一般地，如果方程f(x)=0可解、易解，就可以用方程知識(例如本題解法1)研究函數y=f(x)的零點個數問題.對于本題，方程方法更簡便.

問題2：函數y=f(x)是否為常規(guī)的函數？

在問題1的基礎上，如果方程f(x)=0不可解或不易解，通常利用函數方法研究函數零點個數問題.一般地，首先思考函數y=f(x)是否為常規(guī)函數(圖象和性質都已知的函數)？如果是，可直接畫出函數圖象，直觀觀察函數零點個數；如果不是，繼續(xù)思考問題3.

解析：函數g(x)=f(x)-k的零點個數，即為方程f(x)=k的實根個數，即函數f(x)的圖象與直線y=k交點的個數.

函數f(x)圖象如下：

由此題可知，若函數y=f(x)為常規(guī)函數，即其圖象和性質已知，則可以畫出函數f(x)的圖象，直觀觀察其零點個數，但需注意數形的互補，即一方面借助圖的直觀性，另一方面要注意數的精確性(例如此題中的最大值與漸近線).另外，這種方法主要依靠直觀觀察，可以分析出結論，但不能算作嚴格證明，嚴格論證需要利用上述一2(2)的方法.

問題3：能否轉化為常規(guī)函數？

在問題2的基礎上，如果函數y=f(x)不是常規(guī)函數，一般地，思考能否將不常規(guī)函數轉化為常規(guī)函數，如果能，畫出常規(guī)函數圖象，直觀觀察零點的個數(如下題)；如果不能，繼續(xù)思考問題4.

由圖可知，函數g(x)與函數h(x)在區(qū)間(0,4)內的交點個數為3，

由此題可知，“將不常規(guī)函數轉化為常規(guī)函數”，即通過對方程f(x)=0進行變形，從而將非常規(guī)函數f(x)的零點個數問題轉化為兩個常規(guī)函數圖象交點個數的問題，然后畫出兩個常規(guī)函數的圖象，直觀觀察出交點個數，即f(x)零點個數.同問題2，畫圖需注意數形的互補 (例如(1)中的漸近線與一些特殊點).另外，這種方法主要依靠直觀觀察，可以分析出結論，但不能算作嚴格證明，嚴格論證需要利用上述一2(2)的方法.

問題4：如何研究函數性，并根據性質畫出函數圖象

在問題3的基礎上，如果函數y=f(x)不是常規(guī)的函數并且不可轉化為常規(guī)函數，一般地，需要研究函數的性質，即單調性、奇偶性(對稱性)、周期性、極值、最值以及特殊點的函數值，然后根據性質畫出函數圖象,直觀觀察出函數零點個數.需注意函數零點個數的嚴格論證需要利用上述一2(2)的方法.如下題：

【例4】設函數f(x)=mex-x2+3，其中m∈R．若函數f(x)在區(qū)間[-2,4]上有兩個零點，求m的取值范圍．

由g′(x)=0，解得x1=-1，x2=3.

當x變化時，g′(x)與g(x)的變化情況如下表所示：

x(-2,-1)-1(-1,3)3(3,4)g'(x)-0+0-g(x)↘極小值↗極大值↘

所以g(x)在(-2,-1)，(3,4)上單調遞減，在(-1,3)上單調遞增.

由此題可知，研究非常規(guī)函數的性質關鍵在于利用導數研究函數的單調性、極值、最值，然后根據性質，畫出函數圖象，可直觀觀察出結論，在此基礎上，如果需進一步嚴格證明，則需要在每一個單調區(qū)間上用零點存在定理證明.另外，雖然此類非常規(guī)函數不可轉化為常規(guī)函數，但仍可通過對方程f(x)=0進行變形，轉化為更簡單函數的零點個數問題(例如此題中，研究g(x)比研究f(x)更容易).