基于直觀想象素養(yǎng)的導(dǎo)數(shù)壓軸題研究

廣東 李 虎

直觀想象素養(yǎng)在立體幾何和解析幾何中以顯性考查的方式出現(xiàn)，但在導(dǎo)數(shù)壓軸題中是以隱性考查方式為主，大部分解題思路的來源就是直觀想象，直觀想象可以為探索形成論證思路，為邏輯推理提供思維基礎(chǔ).下面以學(xué)生在考試中失分較多，但又有較強的直觀想象背景的導(dǎo)數(shù)壓軸題來闡明筆者的觀點，以期在今后的教學(xué)和備考中引起更多的重視，提升學(xué)生的素養(yǎng)，面對從能力立意向素養(yǎng)立意過渡的高考.

一、巧用直觀想象，妙解導(dǎo)數(shù)壓軸小題

【例1】(2020年廣州二模)若關(guān)于x的不等式e2x-

A．[0,2e] B. (-∞,2e]

C. [0,2e2] D. (-∞,2e2]

圖1

A. (-∞,0) B. (-∞,0]∪[1,+∞)

C. (-∞,-1]∪[1,+∞) D. (-∞,0)∪[1,+∞)

所以a的取值范圍是[-∞，0)∪[1，+∞)，故選D.

解法二：a<0和a=0的討論同上，下面只討論a>0的情形.由題知f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ax-sinx，仍借助直觀想象的方法，考慮到y(tǒng)=sinx在x=0處切線的斜率是1，故容易猜到當(dāng)a≥1時，對于x>0，恒有f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，結(jié)合f(0)=0及f(x)為偶函數(shù)，可知a≥1滿足題意.當(dāng)00，使得f′(x0)=0且當(dāng)x∈(0,x0)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x0,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，結(jié)合f(0)=0，且x→+∞，f(x)→+∞，可得?x1>x0>0，使得f(x1)=0，與題意不符.所以a的取值范圍是(-∞，0)∪[1，+∞)，故選D.

點評：直觀想象素養(yǎng)可以化抽象為直觀，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往可以找到分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，獲得解題的靈感，同時還可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，很多定理也是從直觀想象中誕生，經(jīng)過后面的發(fā)展才逐步完善起來的.

類題演練2.已知函數(shù)f(x)=(lnx+1-ax)(ex-2m-ax)，若存在實數(shù)a使得f(x)<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是( )

點評：本題含有雙參數(shù)，并且還有兩個超越函數(shù)y=lnx和y=ex-2m，若直接求導(dǎo)討論將無法進行下去.式子結(jié)構(gòu)有明顯意義，借助直觀想象容易與切線聯(lián)系起來，從而得到解決.

二、活用直觀想象，探尋導(dǎo)數(shù)壓軸題思路

(Ⅰ)若f(x)為R上的增函數(shù)，求a的取值范圍；

(Ⅱ)若a>0，x1≠x2，且f(x1)+f(x2)=4，證明：f(x1+x2)<2.

(Ⅰ)解析：f′(x)=ex-x+a，若f(x)為R上的增函數(shù)，則f′(x)=ex-x+a≥0恒成立，即ex-x≥-a恒成立，設(shè)F(x)=ex-x,則F′(x)=ex-1,當(dāng)x∈(-∞,0)時，F(xiàn)′(x)<0，當(dāng)x∈(0,+∞)時，F(xiàn)′(x)>0，所以F(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以F(x)≥F(0)=1，故-a≤1，所以a≥-1.

點評：學(xué)生幾乎無法找到本題中第(Ⅱ)問要構(gòu)造的函數(shù)，究其根源是無法根據(jù)圖形結(jié)合單調(diào)性對問題進行轉(zhuǎn)化.直觀想象可以為解題指明方向，但是由于是感性的認知，還是要靠邏輯推理，回歸理性的研究.本題的另一難點在于根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定拐點左右兩側(cè)增長速度的快慢，不過這個由問題也可以反向推出來.這給教學(xué)一個啟示，在高三一輪復(fù)習(xí)中，一定要注意直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，它往往決定學(xué)生是否可以正確找到解題的突破口.

三、善用直觀想象，剖析導(dǎo)數(shù)壓軸題

(Ⅰ)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍；

點評：涉及極值問題，與導(dǎo)函數(shù)的變號零點有關(guān)，問題轉(zhuǎn)化為研究導(dǎo)函數(shù)的零點情況，需要了解導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，由于中學(xué)階段沒有介紹二階導(dǎo)數(shù)，所以通常的做法是將一階導(dǎo)數(shù)記成一個新的函數(shù)，然后再研究這個函數(shù)的單調(diào)性.本題通過極值得到一個方程，此方程不可解，但可利用此方程實現(xiàn)消參的目的，極小值轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫冊獑栴}，本題巧妙的利用不等式放縮，將要證的問題簡化.

類題演練3.(2020廣東省二模)已知函數(shù)f(x)=aex-ex-a(a

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)的極小值為-1，求a的值；

(Ⅱ)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時，f(x)+2x-xln(x+1)≥0成立.

考情及思路分析：(Ⅰ)a=1，過程略.從學(xué)生解答情況來看，有以下幾個問題，問題一：沒有分類討論極值是否存在；問題二：沒有證明elna-a+1=0的解只能是1，沒有證明完備性.

(Ⅱ)當(dāng)x≥0時，要證明ex+(2-e)x-1-xln(x+1)≥0②.因為式子②中有兩個超越函數(shù)，考慮放縮掉其中一個，如果放縮掉y=ln(x+1)，則借助其圖象，容易想到利用此函數(shù)在原點的切線進行放縮，即得到ln(x+1)≤x，然后原不等式②轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯縠x-x2+(2-e)x-1≥0.令g(x)=ex-x2+(2-e)x-1,x≥0，所以g′(x)=ex-2x+2-e，令h(x)=g′(x)=ex-2x+2-e(x≥0) ,所以h′(x)=ex-2，當(dāng)x∈[0,ln2)時，h(x)單調(diào)遞減，x∈[ln2,+∞)時，h(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=ln2時，h(x)取得最小值,h(ln2)=4-2ln2-e<0.又h(0)=3-e>0,h(1)=0，所以存在x0∈(0,ln2)使得h(x0)=0.所以g(x)在[0,x0)單調(diào)遞增，在(x0,1)單調(diào)遞減，在[1,+∞)單調(diào)遞增.又g(0)=g(1)=0,所以g(x)min=0,g(x) ≥g(x)min=0,即f(x)+2x-xln(x+1) ≥0.

點評：本題第(Ⅱ)問第一個難點在起步的切線放縮，第二個難點在對g(x)單調(diào)區(qū)間的討論，由于零點不可顯性求解出來，只能根據(jù)零點存在性定理，確定其所在的范圍，結(jié)合幾個特殊位置的值來確定函數(shù)圖象的大致形態(tài).

四、結(jié)語