用整體法和隔離法 玩轉(zhuǎn)靜止斜劈受到的支持力和靜摩擦力

湖南 王經(jīng)天

物塊在靜止斜劈上運(yùn)動(dòng)或靜止時(shí)，如何求水平地面對(duì)斜劈的支持力和靜摩擦力是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。本文通過(guò)整體法和隔離法求物塊在靜止斜劈上，在不同方向的力作用下、不同的運(yùn)動(dòng)形式下，探究斜劈受到水平地面的支持力和靜摩擦力的情況，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力、科學(xué)探究能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)處理此類問(wèn)題的思想方法——整體法和隔離法。

一、構(gòu)建情景，提出研究問(wèn)題

粗糙水平面上斜劈始終靜止不動(dòng)，在物塊上不施加外力或施加外力F的情況下，物塊在斜劈上靜止或運(yùn)動(dòng)時(shí)，求地面對(duì)斜劈的支持力FN和靜摩擦力Ff。

二、構(gòu)建模型，培養(yǎng)科學(xué)思維能力

模型構(gòu)建一滑塊加速度a=0

1.物塊在斜劈上勻速下滑

【例1】如圖1所示，質(zhì)量為M，傾角為θ的斜劈靜止在水平地面上，質(zhì)量為m的物塊在斜劈上勻速下滑，求水平地面對(duì)斜劈的支持力FN和靜摩擦力Ff。

圖1

【分析】由于物塊在斜劈上勻速下滑，對(duì)物塊和斜劈整體根據(jù)力的平衡可得，水平地面對(duì)斜劈的支持力為FN=(M+m)g，方向豎直向上；水平地面對(duì)斜劈的靜摩擦力Ff=0。

【延伸1】在例1中若物塊在斜劈上靜止，求水平地面對(duì)斜劈的支持力FN和靜摩擦力Ff。

【分析】無(wú)論物塊在斜劈上是靜止還是勻速下滑，物塊的加速度a均為0，因此處理方法和結(jié)論與例1完全相同。

2.在物塊上添加另一物塊后，兩物塊在靜止斜劈上一起勻速下滑

【例2】如圖2所示，質(zhì)量為mB的物塊B，在質(zhì)量為M傾角為θ的斜劈上勻速下滑，在物塊B上添加物塊A后，物塊A、B一起沿斜面勻速下滑，求水平地面對(duì)斜劈的支持力FN和靜摩擦力Ff。

圖2

【分析】由于A、B物塊在斜劈上勻速下滑，對(duì)整體根據(jù)力的平衡可得，水平地面對(duì)斜劈的支持力為FN=(M+mA+mB)g，方向豎直向上；水平地面對(duì)斜劈的靜摩擦力為Ff=0。

【延伸2】在例2中，若B物塊靜止在斜劈上，在B物塊上添加物塊A后，A、B一起靜止在斜劈上，求水平地面對(duì)斜劈的支持力FN和靜摩擦力Ff。

【分析】處理方法和結(jié)論與例2相同。

3.在物塊上施加力F，物塊在斜劈上勻速下滑

【例3】如圖3所示，質(zhì)量為M，傾角為θ的斜劈，始終靜止在粗糙的水平地面上，有一質(zhì)量為m的物塊在斜劈上恰好勻速下滑，現(xiàn)給物塊施加一個(gè)豎直向下的恒力F。求：

(1)物塊和斜劈間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；

(2)斜劈受到的水平地面的支持力FN和靜摩擦力Ff。

圖3

【分析】由于物塊在斜劈上恰好勻速下滑，所以μ=tanθ，當(dāng)給物塊施加豎直向下的力F后，用隔離法對(duì)物塊受力分析可知，物塊沿斜面向下受力為(mg+F)sinθ，此時(shí)所受滑動(dòng)摩擦力為μ(mg+F)cosθ，而μ=tanθ，故可知此時(shí)物塊依然在斜劈上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)整體根據(jù)力的平衡可得，地面對(duì)斜劈的支持力為FN=(M+m)g+F，方向豎直向上；地面對(duì)斜劈的靜摩擦力為Ff=0。

【延伸3】在例3中，若物塊靜止在斜劈上，給物塊施加一個(gè)豎直向下的力F，求水平地面對(duì)斜劈的支持力FN和靜摩擦力Ff。

【分析】由于物塊靜止在斜劈上，所以μ≥tanθ，當(dāng)給物塊施加豎直向下的力F后，物塊依然靜止在斜劈上，對(duì)整體根據(jù)力的平衡可得，地面對(duì)斜劈的支持力為FN=(M+m)g+F，方向豎直向上；地面對(duì)斜劈的靜摩擦力為Ff=0。

模型構(gòu)建二滑塊加速度a≠0

1.物塊在靜止斜劈上的加速“自由滑”(物塊不受外界推力或拉力)

【例4】如圖4所示，質(zhì)量為M，傾角為θ的斜劈靜止在水平地面上，質(zhì)量為m的物塊沿斜面勻加速下滑，物塊和斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，求水平地面對(duì)斜劈的支持力FN和靜摩擦力Ff。

圖4

【分析】先采用隔離法對(duì)物塊受力分析及分解重力如圖5所示

圖5

根據(jù)牛頓第二定律得mgsinθ-μmgcosθ=ma①

a=g(sinθ-μcosθ) ②方向沿斜面向下

把物塊加速度沿水平方向和豎直方向分解如圖6所示

圖6

對(duì)物塊和斜劈整體根據(jù)牛頓第二定律得

(M+m)g-FN=masinθ

FN=(M+m)g-masinθ③

Ff=macosθ④

由②③式聯(lián)立解得FN=(M+m)g-mg(sinθ-μcosθ)sinθ，方向豎直向上

由②④式聯(lián)立解得Ff=mg(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向左

2.物塊上添加另一物塊后，兩物塊在靜止斜劈上一起加速“自由滑”

【例5】如圖7所示，質(zhì)量為M，傾角為θ的斜劈靜止在水平地面上，質(zhì)量為mB的物塊沿斜面勻加速下滑，物塊B和斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，B物塊勻加速下滑過(guò)程中，在B物塊上添加質(zhì)量為mA的物塊A后，A、B一起沿斜面勻加速下滑，求水平地面對(duì)斜劈的支持力FN和摩擦力Ff。

圖7

【分析】把A、B看成一個(gè)整體可得，A、B整體的加速度a=g(sinθ-μcosθ)，方向沿斜面向下，分解加速度得

ax=acosθ，ay=asinθ

把斜劈及兩物塊看成一個(gè)整體，根據(jù)牛頓第二定律得

FN=(M+mA+mB)g-(mA+mB)g(sinθ-μcosθ)sinθ，方向豎直向上

Ff=(mA+mB)g(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向左

3.物塊在靜止斜劈上在推力或拉力作用下的加速“被動(dòng)滑”

【例6】質(zhì)量為M，傾角為θ的斜劈靜止在水平地面上，質(zhì)量為m的物塊沿斜面勻加速下滑，物塊和斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，在物塊勻加速下滑過(guò)程中，給物塊施加一個(gè)豎直向下的恒力F，如圖8所示。求水平地面對(duì)斜劈的支持力FN和靜摩擦力Ff。

圖8

【分析】隔離物塊m受力分析并根據(jù)牛頓第二定律得，

對(duì)物塊加速度a正交分解為ax和ay

對(duì)物塊和斜劈整體根據(jù)牛頓第二定律得

(M+m)g+F-FN=may

水平地面對(duì)斜劈的支持力大小為

FN=Mg+(F+mg)cosθ(cosθ+μsinθ)，方向豎直向上

水平地面對(duì)斜劈的摩擦力大小為

Ff=(F+mg)(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向左

【延伸4】在例6中若對(duì)m所加推力平行斜面向下，求地面對(duì)斜劈的支持力FN和地面對(duì)斜劈的靜摩擦力Ff時(shí)最好對(duì)物塊和斜劈分別隔離分析，如圖9所示，由于推力F和斜面平行，所以，在物塊上施加平行斜面推力F后，斜劈的受力不變，因此在物塊上施加平行斜面推力F后，地面對(duì)斜劈的支持力不變，支持力大小為FN=(M+m)g-mg(sinθ-μcosθ)sinθ，靜摩擦力Ff也保持不變，靜摩擦力Ff=mg(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向左。

圖9

三、自主實(shí)踐，培養(yǎng)科學(xué)探究能力

一斜劈A靜止在粗糙的水平面上，在其斜面上放著一滑塊B，若給滑塊B一平行斜面向下的初速度v0，如圖10所示，在B下滑過(guò)程中再施加一個(gè)作用力。

圖10

1.若AB間的μ

(1)在B上未施加力F，則B在A上沿斜面下滑時(shí)，求水平地面對(duì)斜劈的靜摩擦力。

【分析】過(guò)程見例4地面對(duì)斜劈的靜摩擦力Ff=mg(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向左。

(2)若在B上施加一豎直向下的力F1，求水平地面對(duì)斜劈的靜摩擦力。

【分析】過(guò)程見例6地面對(duì)斜劈的靜摩擦力Ff=(F+mg)(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向左。

(3)若在B上加一平行斜面向下的力F2，求水平地面對(duì)斜劈靜摩擦力。

【分析】過(guò)程見延伸4地面對(duì)斜劈的靜摩擦力Ff=mg(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向左。

(4)若在B上施加一水平向右的力F3，若物塊在斜劈上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在物塊停止運(yùn)動(dòng)前，水平地面對(duì)斜劈的靜摩擦力方向是否發(fā)生改變？

【分析】在未施加F3之前，水平地面對(duì)斜劈的靜摩擦力方向水平向左；在B上施加一水平向右的力F3后，物塊對(duì)斜劈的壓力增加了ΔF=F3sinθ，壓力水平向右的分量增加了ΔFx=F3sinθsinθ，物塊對(duì)斜劈的摩擦力增加了ΔFf=μF3sinθ，摩擦力的水平向左分量增加了ΔFfx=μF3sinθcosθ，由于μ

(5)若在B上施加一水平向右的力F3，若物塊在斜劈上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，水平地面對(duì)斜劈的靜摩擦力方向是否發(fā)生改變？

【分析】在B上施加一水平向右的力F3后，分析方法同(4)，地面對(duì)斜劈的摩擦力方向不變，方向水平向左。

(6)在B上施加任意方向的力F，在斜劈上B停止運(yùn)動(dòng)前，地面對(duì)斜劈的靜摩擦力方向是否發(fā)生改變？

【分析】分析方法同(4)(5)，在B停止運(yùn)動(dòng)前，地面對(duì)斜劈的靜摩擦力方向不發(fā)生改變。

2.若AB間的μ=tanθ

(1)若在B上施加一豎直向下的力F1，則B將做什么運(yùn)動(dòng)？地面對(duì)斜劈有無(wú)靜摩擦力？

(2)若在B上施加一平行斜面向下的力F2，則B將做什么運(yùn)動(dòng)？地面對(duì)斜劈有無(wú)靜摩擦力？

(3)若在B上施加一水平向右的力F3，則B將做什么運(yùn)動(dòng)？地面對(duì)斜劈有無(wú)靜摩擦力？

(4)若在B上無(wú)論施加什么方向的力，則在斜劈上B停止運(yùn)動(dòng)前，地面對(duì)A有無(wú)靜摩擦力的作用？

【分析】分析方法與(3)相同，在B停止運(yùn)動(dòng)前，地面對(duì)斜劈沒(méi)有靜摩擦力的作用。

3.若AB間的μ>tanθ

(1)未在B上施加力F，若物塊以初速度v0沿斜面下滑，物塊B在斜劈上做什么運(yùn)動(dòng)？地面對(duì)斜劈的靜摩擦力方向如何？

【分析】物塊B在斜面上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)物塊分析可得物塊的加速度a=g(sinθ-μcosθ)，其水平分量ax=g(sinθ-μcosθ)cosθ，對(duì)物塊和斜劈整體分析可得地面對(duì)斜劈的靜摩擦力Ff=max=mg(sinθ-μcosθ)cosθ，方向水平向右。

(2)若在B上施加一豎直向下的力F1，地面對(duì)斜劈靜摩擦力方向如何？

【分析】若在B上施加一豎直向下的力F1，對(duì)物塊和斜劈整體分析可得施加豎直向下的力F1后，并不影響整體的水平方向受力，所以地面對(duì)斜劈的靜摩擦力水平向右。

(3)若在B上施加一平行斜面向下的力F2，地面對(duì)斜劈靜摩擦力方向如何？

【分析】若在B上施加一平行斜面向下的力F2，并不影響斜劈的受力，所以地面對(duì)斜劈的靜摩擦力還是水平向右。

(4)在B上施加一水平向右的力F3后，在物塊停止運(yùn)動(dòng)前，地面對(duì)斜劈的靜摩擦力方向是否發(fā)生改變？

【分析】在B上施加一水平向右的力F3后，物塊對(duì)斜劈的壓力增加了ΔF=F3sinθ，其水平向右的分量增加了ΔFx=F3sinθsinθ，物塊對(duì)斜劈的摩擦力增加了ΔFf=μF3sinθ，摩擦力的水平向左分量增加了ΔFfx=μF3sinθcosθ，由于μ>tanθ，所以μF3sinθcosθ>F3sinθsinθ，即ΔFfx>ΔFx，所以地面對(duì)斜劈的靜摩擦力方向不變，方向還是水平向右。

(5)在B上施加任意方向的力F，在B停止運(yùn)動(dòng)前，地面對(duì)斜劈的靜摩擦力方向如何？

【分析】分析方法和(4)相同，在B上施加任意方向的力F，在B停止運(yùn)動(dòng)前，地面對(duì)斜劈的靜摩擦力方向不變，方向都是水平向右。

四、構(gòu)建體系形成思想方法

1.構(gòu)建體系

2.思想方法

處理斜劈類問(wèn)題的方法是整體法和隔離法。

當(dāng)對(duì)物塊施加平行斜面的推力，求地面對(duì)斜劈的支持力和靜摩擦力時(shí)，由于在物塊上施加推力F后斜劈的受力不變，所以地面對(duì)斜劈的支持力和靜摩擦力保持不變。

當(dāng)斜劈和物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=tanθ，物塊在斜劈上勻速下滑，對(duì)物塊施加任意方向的推力時(shí)，在物塊停止運(yùn)動(dòng)前，地面對(duì)斜劈沒(méi)有摩擦力。