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    “=”教學不宜簡單化

    2020-11-11 03:14:19鄭建鋒
    教學月刊·小學數學 2020年10期
    關鍵詞:小學數學教學

    鄭建鋒

    【摘 ? 要】學生把“=”理解為“算式與答案的連接符號”“開始計算的固定信號”,不僅狹隘,甚至還有錯誤?!?”本身的“一詞多義”和教材安排的失衡是造成學生片面理解的重要原因。因此教師在教學中要改變“=”總是被簡單教學的現象,適時幫助學生打破算式在等號左邊、結果在等號右邊的觀念,逐步建立等號表示等量的觀念,豐富對等號意義的理解。

    【關鍵詞】小學數學;教學;等號意義

    “=”是學生較早認識的數學符號,表示左右兩邊相等的意思。但學生對等號的理解不僅狹隘,甚至還有錯誤。這是什么原因造成的呢?和教學有關系嗎?教師應該怎樣促進學生對“=”意義的正確理解?

    一、學生錯法雷同

    在學習了萬以內進位加減法后,練習中有這樣一道題:615+385=□+140=□-207=□。本以為這是一道很普通的題,但學生的答題情況卻讓筆者不敢再“輕視”這樣的題。學生的答案好像事先商量好似的,幾乎一樣(如圖1)。

    這是偶然的嗎?其他班級的學生也會這樣做嗎?筆者對另外3個平行班的學生進行了測試,結果“癥狀”相似,統(tǒng)計如下表。

    “=”是學生很早認識并運用頻繁的一個非?!昂唵巍钡姆枺墒聦嵑孟癫⒉皇沁@樣。

    題中的式子與學生見到的一般算式不太一樣,圖1中呈現的式子特別“長”,“=”后又是一個算式,在學生的觀念中,一個算式的“=”之后緊跟著的應該是一個計算結果。

    二、學生所理解的“=”

    從以上例子我們可以看出學生理解的“=”和其含義不完全對等?!暗扔谔栂裥颍銓α?,過了橋,算錯了,過不了”,這首兒歌多少能反映學生對“=”意義理解的角度,“=”傳遞給學生的信息和“算”“結果”這些詞相關。因此,在學生的理解中,“=”是算式與答案的連接符號或分隔符號,有了“=”,就可以把左邊算式的答案在右邊寫下來,等號被看成是“開始計算算式的固定信號”。等號像一個程序,看到等號,學生就不假思索地開始計算。為了弄清楚學生對等號的理解,筆者把等號的意義和學生的理解做了一個對比。

    學生對等號的理解往往停留在“算術”中,僅僅將它作為得出運算結果的符號,而要把等號理解為等量關系的表示,應該是“代數”中的事情了。那么,為何學生在很長的一段時間內,對等號的理解沒能跳出“算術”,拓展到“代數”中呢?

    三、“=”被簡單地教學

    數學符號的“一詞多義”往往造成學生理解上的片面性,因為面對的是相同的視覺對象,而它們表達的意義卻并不一定相同?!?”就是一個“一詞多義”的符號,那么,除了視覺對象有時并不等于思維對象而造成學生理解上的困難之外,還有別的原因嗎?是不是學生代數思維發(fā)展滯后所造成的呢?

    曾有研究指出,孩子在9~10歲的時候能夠擴大對等號意義的理解,用字母表征未知數,用變量表征關系,計算未知數,甚至能解帶字母符號的一元一次方程??磥磉@和學生代數思維發(fā)展滯后有關,那么,和我們的教學有關系嗎?

    在人教版教材中,學生第一次接觸等號是在一年級上冊“數的大小比較”一課中,兩個數的大小比較有兩類:一類相等,一類不等。之后,學生開始在運算中使用等號,如3+4=7,等號被理解為“得出”,學生只是把等號簡單地看成得出運算結果的符號。盡管教師會強調“兩邊相等,就用等號表示”,暗示等號的意義,但學生由于年齡、思維的特點,把等號理解為表示計算的結果是十分自然的。但問題在于,之后很長的一段時間內,等號的意義沒有得到新的拓展。直到五年級上冊學習“簡易方程”時,才賦予等號“真正”的意義。

    筆者統(tǒng)計了原人教版實驗教材一年級至三年級拓展“=”意義的訓練題,見下表:

    其中,一年級上冊中有1題是思考題,二年級上冊中的2題是學生認識乘法意義后,把加法算式改寫成乘法算式的訓練,如4+4+4=( ?)×( ?),學生對此更多的理解是乘法的意義??梢?,拓展等號意義的題目在教材中出現不多。那么,是否可以這樣理解:在“數的大小比較”一課中第一次引出“=”是基于等號相等意義的,但在這之后的很長一段時間(學習方程之前)“=”卻作為得出結果而出現,教材和教學既沒有幫助學生打破算式總在左邊、結果總在右邊的觀念,也沒有幫助學生逐步建立等號表示算式等值的觀念,以致學生沒有逐步豐富和擴充對等號意義新的理解,沒有為學習等式的性質、建立兩邊有多個算式的代數方程做好準備。一項面對學生的訪談表明,當問及學生等號表示什么時,多數學生的回答是等號表示答案,進一步要求學生舉出用等號的例子,學生所舉的只限于左邊是運算、右邊是答案的例子。在分解質因數時,學生對合數在等號左邊的算式感覺很“另類”。因此,要突破從算術思維到代數思維的障礙,首先要將等號的意義從“得出”回歸到“相等”層面。

    那么,我們的教學可以做些什么呢?

    四、對“=”教學的建議

    國際數學教育大會獲獎者拉弗德的研究表明,代數思維的早期發(fā)展可以使學生更加容易地接受代數符號,也就是說,重視代數思維早期的系統(tǒng)滲透,能更好地幫助學生從算術思維轉向代數思維。無疑,拓展對等號意義的理解是教師首先應該關注和引起重視的。在教學中可注意以下幾點。

    (一)天平直觀模型的應用

    在幫助學生理解等號的意義時,天平是一個非常適合的直觀模型。天平左右兩邊平衡的狀態(tài)直觀地表達了等號兩邊等量的意義。如“數的大小比較”一課中,教材是通過比較小猴子數量和水果數量的多少認識、學習等號的。盡管該情境比較有趣,符合學生的身心特點,但對等號兩邊相等意義的詮釋卻不如天平來得直觀。因此,教師不妨引入天平應用于教學,為了兼顧學習的趣味性,依然可以創(chuàng)設情境——“小猴子玩天平”(如圖4)。

    通過天平的多種狀況比較,學生對等號“兩邊相等”建立了一個比較直觀的表象。

    (二)適時打破結果總在右邊的觀念

    學生初學運算,教師往往會為算式創(chuàng)設一個生動的“故事情境”。如3+2=5,可能講述的是“樹上原來有3只鳥,又飛來2只,合起來是5只”,這有利于學生理解運算的含義。按照“故事情境”發(fā)展順序寫出的算式,得數在等號的右邊是很自然的事情。那么,怎樣幫助學生打破算式總在等號左邊、結果總在等號右邊的觀念呢?

    1.擺脫故事情節(jié)發(fā)展順序的束縛

    既然故事情節(jié)發(fā)展順序使算式的書寫自然地從左到右,那么教師可適時地采用無故事情節(jié)的題目,以擺脫此束縛(如圖5)。學生按照已有的知識和經驗,很容易將題目與數的分解建立聯(lián)系,解釋為把6分成幾和幾。這時等號的含義不是算出算式結果,而是把等號前的數分解,等號在算式的左邊,理解成“可以分成”是比較自然的。如果說“□+□=□”是實施一個確定的運算,那么“□=□+□”是尋找一個數可能的運算,結果不唯一,這樣的式子也可理解為“數”與“式”的等價。

    2.借助天平實現等號兩邊的互換

    (三)逐步建立式與式等值的觀念

    除了幫助學生建立數與式等值以理解等號的意義外,教師還應幫助學生建立式與式等值的觀念。式與式等值觀念的建立需要相應的、持續(xù)的刺激和訓練。

    1.利用得數幫助理解

    學生理解兩個算式等值似乎沒有什么困難,但把兩個等值的算式用等號連接起來,學生卻不太容易接受。如5-2和1+2,學生理解這兩個算式結果相同,是等值的。但如果用“=”把兩個算式連接起來,得到等式5-2=1+2,學生認為5-2后面應該寫上3,怎么會是1呢?因此初始時可以保留得數“3”做過渡,即5-2=3=1+2。雖然這樣的表示不一定規(guī)范,但學生會認為這個等式比較“可靠”。當然,當學生有所理解后,應把插入的得數從等式中刪除。

    2.利用圖示直觀支持

    學生的思維在達到一定水平之前,需要依賴圖示,以獲得直觀化的支撐。如4+□=5+□,學生所理解的往往不是兩個等值的算式,而是從這個等式中“肢解”出4+□=5這樣一個算式,然后在□中毫不猶豫地填入1,即4+1=5。如果提示5+□的方框也要填入一個數,學生才會“醒悟”過來:得數要一樣也得是5,再填入0。

    但如果為學生提供一個圖示(如圖8),學生就比較容易把等號兩邊的算式各看成一個獨立的整體。圖示直觀的作用不僅提示和相等的事實,還為學生理解等式的意義提供了情境。

    3.循序漸進,逐步建立

    教師要幫助學生循序漸進地建立式與式等值的觀念,可以從最簡單的“兩個算式加數相同”開始,如4+5=5+4。借助圖示直觀,學生能比較容易地理解加法的可交換性、和不變的規(guī)律并構建類似和相等的例子。接著可以拓展到“兩個算式加數不同”的情況,如4+5=6+3。再到“加數個數不同”的情況,如4+5=2+6+1。因為加數的個數也會影響到學生對等式平衡的判斷,并由加法積累的經驗拓展到“減法”“等號兩邊包含不同的運算”等情況,如12-4=13-□,12-4=6+□,3+4+5=4×□,使學生對等號表示等值的意義有進一步的認識。

    克服從算術思維到代數思維的障礙,需要適時拓展學生對等號意義的理解。因此打破算式總在等號左邊、結果總在右邊的觀念,逐步建立式與式等值的觀念是非常必要的,需要在教學中進行一些針對性的、序列化的拓展和訓練。

    參考資料:

    [1] 張?zhí)煨?,姜榮富.小學生代數思維萌發(fā)的實驗研究(一)——代數思維的理解和正在變化的觀念[J].小學數學教師,2013(7-8).

    [2] 張?zhí)煨?,姜榮富.小學生代數思維萌發(fā)的實驗研究(二)——理解等號的傳遞性和對稱性[J].小學數學教師,2013(9).

    [3] 張?zhí)煨ⅲ獦s富.小學生代數思維萌發(fā)的實驗研究(三)——構建和相等的式子[J].小學數學教師,2013(11).

    [4] 張 丹.如何理解和發(fā)展代數思維——讀《早期代數思維的認識論、符號學及發(fā)展問題》有感(上)[J].小學教學(數學版),2012 (11).

    [5] 任景業(yè).你并不理解“=”——讀懂學生的建議(一)[J].小學教學(數學版),2013(5).

    (浙江省泰順縣育才小學 ? 325500)

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