康宗仁
[摘? 要] 縱觀歷年高考數(shù)學(xué)試題,不難發(fā)現(xiàn)一些看似簡(jiǎn)單的試題背后,都存在著一些不易察覺(jué)的“陷阱”,倘若學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)掌握得不夠牢固,或是審題不嚴(yán)謹(jǐn),又或是思維定式,就會(huì)落入命題者的“陷阱”之中,造成或多或少的失分. 文章筆者主要對(duì)高考中經(jīng)常出現(xiàn)的“陷阱”加以分類和剖析,以期幫助學(xué)生繞過(guò)“陷阱”順利解題.
[關(guān)鍵詞] 試題;命題者;陷阱;剖析
一些學(xué)生在一些大型考試中常常有這樣的體驗(yàn):考試時(shí)感覺(jué)試卷難度不大,沾沾自喜,但一旦分?jǐn)?shù)出來(lái)卻是大跌眼鏡. 什么原因造成了這樣的局面呢?事實(shí)上,隨著新課程改革的不斷深入,高考試題中出現(xiàn)了不少“陷阱題”,它們既展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,又考查了學(xué)生的審題能力和思維能力,學(xué)生稍有不慎就會(huì)落入命題者的“陷阱”中,造成失分的局面. 盡管試題中的“陷阱”在具體考試中的表現(xiàn)形式“千姿百態(tài)”,但若認(rèn)真分析則會(huì)發(fā)現(xiàn)其不外乎以下幾種形式. 下面筆者將通過(guò)典型例題對(duì)高考中常出現(xiàn)的“陷阱”加以分類和剖析,以期幫助學(xué)生繞過(guò)“陷阱”順利解題.
知識(shí)類“陷阱”
從認(rèn)知角度著手,知識(shí)類“陷阱”不容忽視,命題者設(shè)置此類“陷阱”的主要目的在于考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況,誘發(fā)和暴露學(xué)生認(rèn)知中的一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)和片面觀點(diǎn),從而逐步轉(zhuǎn)化為正確的、完善的、科學(xué)的概念和方法. 由于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容豐富,其設(shè)置形式也多樣,比較常見(jiàn)的是:針對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)模糊不清設(shè)置“陷阱”,針對(duì)忽視隱含條件設(shè)置“陷阱”,針對(duì)一些數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用設(shè)置“陷阱”等.
1. 基礎(chǔ)知識(shí)模糊不清
概念是解題的基石,也是思維的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)中的一些概念、定理、公式和法則等都具有抽象性,不少學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往會(huì)忽略其中的隱含條件、關(guān)鍵詞語(yǔ)、限制條件等,從而導(dǎo)致理解性的偏差. 命題者往往會(huì)有意識(shí)地針對(duì)學(xué)生的理解性偏差設(shè)置“陷阱”,誘導(dǎo)學(xué)生犯錯(cuò). 因此,只有真正理解和掌握基礎(chǔ)知識(shí),理清其內(nèi)涵和外延,才能不落入“陷阱”之中.
例1:設(shè){an}為首項(xiàng)是1的正項(xiàng)數(shù)列,且(n+1)a■-na■+an+1an=0(n∈N),試寫出{an}的通項(xiàng)公式.
錯(cuò)解:由(n+1)a■-na■+an+1an=0,可得(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0. 而{an}為正項(xiàng)數(shù)列,則an+1+an>0,從而(n+1)an+1-nan=0,所以■=■. 所以{an}是首項(xiàng)為1、公比為■的等比數(shù)列,所以an=■■.
剖析:學(xué)生在對(duì)概念或公式理解不清時(shí),往往會(huì)作出想當(dāng)然的判斷,錯(cuò)誤隨之產(chǎn)生. 以上錯(cuò)解主要源于從■=■推導(dǎo)得出{an}為等比數(shù)列. 本質(zhì)上,由■=q可以得出{an}為等比數(shù)列,但這里的q必定是一個(gè)非零常數(shù),此處的顯然不是,所以上述解析錯(cuò)誤.
2. 忽視隱含條件
通常我們將一些數(shù)學(xué)命題的題設(shè)、已知條件或欲求結(jié)論中可能含有的一些信息,或是解題中所得結(jié)論中隱含的一些關(guān)系稱為“隱含條件”. 解題的過(guò)程中,一些學(xué)生無(wú)法透過(guò)試題的表象看到題目本質(zhì),易忽視試題中的一些隱含條件,掉入“陷阱”,導(dǎo)致解題出錯(cuò). 因此,在解題的過(guò)程中,需深入挖掘隱含條件,捕捉解題的“蛛絲馬跡”,完善正確的解題路徑.
例2:已知3sin2α+2sin2β=2sinα,試求出S=sin2α+sin2β的最大值和最小值.
錯(cuò)解:據(jù)3sin2α+2sin2β=2sinα,可得sin2β=■. 代入S=sin2α+sin2β,可得S=sin2α+sin2β=-■sin2α+sinα=-■·(sinα-1)2+■. 所以,當(dāng)sinα=1時(shí),S取到最大值■;當(dāng)sinα=-1時(shí),S取到最小值 -■.
剖析:在解決本題時(shí),不少學(xué)生易忽視隱含條件sinα的范圍. 據(jù)2sin2β=2sinα-3sin2α≥0,可得0≤sinα≤■,由此無(wú)法取到sinα=±1. 而當(dāng)sinα=■時(shí),S有最大值■;當(dāng)sinα=0時(shí),S有最小值0.
思維類“陷阱”
從思維角度來(lái)看,思維類“陷阱”不容小覷,命題者設(shè)計(jì)此類“陷阱”主要是考查學(xué)生的思維能力,充分暴露學(xué)生思維中的薄弱點(diǎn),使其逐步養(yǎng)成全面、嚴(yán)謹(jǐn)、有序、靈活變通的思維習(xí)慣. 此類“陷阱”的設(shè)置形式主要有以下幾種:
1. 片面性思考
不少學(xué)生在解題時(shí)習(xí)慣性地從已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā),根據(jù)題目的某些局部特征,不深思熟慮就草草下筆,由于負(fù)遷移而落入命題者的“陷阱”. 因此,只有全面準(zhǔn)確地分析試題,并透徹把握解題思路,才能從“陷阱”中解脫出來(lái),正確解題.
例3:已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且公差d≠0,其中a■,a■,a■,...,a■恰好為等比數(shù)列,若k1=1,k2=5,k3=17,試求出k1+k2+k3+…+kn的值.
錯(cuò)解:據(jù)題意不難得出a1,a5,a17恰好為該等比數(shù)列的前三項(xiàng),則有a■=a1·a17,所以有(a1+4d)2=a1(a1+16d)(d≠0),解得a1=2d. 所以該數(shù)列的前三項(xiàng)為2d,6d,18d,公比為3,所以a■=2d·3k-1. 又因?yàn)閍■=a1+(kn-1)d=(kn+1)d,所以2d·3k-1=(kn+1)d,所以3k-1=■(kn+1).
剖析:片面性思考是學(xué)生常犯的錯(cuò)誤,稍有不慎就掉入了“陷阱”之中. 上述解答中a■是等差數(shù)列的第kn項(xiàng),且為等比數(shù)列a■,a■,a■,...,a■中的第n項(xiàng),得出a■=2d·3k-1是錯(cuò)誤的,出錯(cuò)根源在于沒(méi)有完整分析題目中所給出的條件.
2. 思維定式
思維定式實(shí)際上就是一種慣性思維,其影響具有雙重性,積極的思維定式可以讓人專注,當(dāng)與實(shí)際情境吻合時(shí),可以幫助學(xué)生快速解題;而消極的思維定式卻影響人的全面思維,嚴(yán)重束縛創(chuàng)造性思維的發(fā)展. 從學(xué)生的固定思維模式去設(shè)置“陷阱”是命題者最擅長(zhǎng)的技能,使得學(xué)生“想當(dāng)然”地解題,造成錯(cuò)誤. 因此,只有深入試題內(nèi)部,仔細(xì)觀察試題的本質(zhì),才能防止掉入“陷阱”之中.
例4:設(shè)Sn,Tn分別為等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和,若對(duì)于一切n∈N*,都有■=■,試求出■的值.
錯(cuò)解:據(jù)題意,可設(shè)Sn=k(7n+1),Tn=k(4n+27)(k為常數(shù)),所以an=Sn-Sn-1=7k,bn=Tn-Tn-1=4k,所以■=■.
剖析:本題中,學(xué)生顯然是受到思維定式的束縛,一看到■=■,直接聯(lián)想到Sn=k(7n+1),Tn=k(4n+27). 事實(shí)上,這正是本題的“陷阱”. 本題可設(shè)Sn=kn(7n+1),Tn=kn(4n+27)(k為常數(shù)),或是利用等差中項(xiàng)求解.
心理類“陷阱”
從認(rèn)識(shí)論角度來(lái)看,心理類“陷阱”也是隨處可見(jiàn)的. 數(shù)學(xué)解題除去扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力,良好的心理素質(zhì)也是不可或缺的. 命題者設(shè)置此類“陷阱”主要是為了考查學(xué)生的心理素質(zhì),杜絕因心理障礙而產(chǎn)生的各種錯(cuò)誤. 此類“陷阱”的設(shè)置主要有以下幾種:
1. 審題不清
一些學(xué)生在解題的過(guò)程中缺乏十足的信心、堅(jiān)強(qiáng)的意志和鉆研的精神,往往會(huì)急于求成、盲目下筆. 數(shù)學(xué)解題除去扎實(shí)的基本知識(shí)和較強(qiáng)的思維能力,還需要良好的心理素質(zhì),否則即便是再深厚的知識(shí)技能,也有可能因?yàn)閷忣}不清而落入“陷阱”,產(chǎn)生錯(cuò)誤. 因此,教師需積極鼓勵(lì)和正確引導(dǎo),幫助學(xué)生養(yǎng)成仔細(xì)審題的習(xí)慣.
例5:已知x≥4,試求出f(x)=■的最小值.
錯(cuò)解:f(x)=■+■. 因?yàn)閤≥4,所以x-2≥2,所以有f(x)=■+■≥2■=1.
剖析:以上解析中,在審題解答的過(guò)程中存在著這樣的問(wèn)題:當(dāng)且僅當(dāng)■=■時(shí),即x=3時(shí),f(x)能取到最小值1. 然而x=3并不在x≥4這個(gè)范圍之內(nèi),則f(x)無(wú)法取到最小值1. 此處應(yīng)令t=x-2(t≥2),可得g(t)=■t+■在[2,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)t=2時(shí),即x=4時(shí),f(x)取到最小值■.
2. 應(yīng)用能力薄弱
在學(xué)習(xí)中,一些學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí),學(xué)習(xí)體驗(yàn)不深,只會(huì)機(jī)械運(yùn)用知識(shí),題目稍加變化就思維卡殼,從而極易落入命題者溫柔的“陷阱”之中. 針對(duì)這一現(xiàn)象,我們需關(guān)注到學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn),培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)的應(yīng)用能力.
例6:小紅將一枚均勻硬幣拋擲100次,出現(xiàn)50次正面朝上的可能性較大嗎?
錯(cuò)解:據(jù)每次出現(xiàn)正面或反面的概率都是■,可以判斷拋擲100次出現(xiàn)50次正面朝上的概率也接近■,由此判斷發(fā)生這一事件的可能性較大.
剖析:將一枚均勻硬幣拋擲100次,即重復(fù)完成100次實(shí)驗(yàn),每次都有可能出現(xiàn)正面、反面兩種結(jié)果,出現(xiàn)正面的概率為■. 據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中,事件A發(fā)生k次的概率公式,可得P100(50)=C■■■≈0.08,可見(jiàn)發(fā)生這一事件的可能性很小.
總之,陷阱題的出現(xiàn),不僅是為了培養(yǎng)學(xué)生的審題能力,更是幫助學(xué)生找尋到知識(shí)漏洞和思維漏洞. 只要學(xué)生深度領(lǐng)悟基本概念的內(nèi)涵和外延,良好地駕馭知識(shí),周密地思維,沉著應(yīng)對(duì)試題,就能揭開(kāi)“陷阱”的面紗,在高考中交一份完美的答卷.