妙用斜邊中線定理

譚煒東

由平行四邊形的性質(zhì)“平行四邊形的對

角線互相平分”和矩形的性質(zhì)“矩形的對角線相等”，我們可以得到這樣一個定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，這個定理揭示了直角三角形斜邊上的中線與斜邊之間的數(shù)量關(guān)系.同時由它可知，斜邊上的中線把直角三角形分成了兩個等腰三角形.利用這個定理解證一些幾何題時，往往可以化難為易、化繁為簡，收事半功倍之效.

一證明兩線垂直

例1 如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°.點M，N分別是對角線AC，BD的中點.求證：MN⊥AC.

分析：由∠BAD=∠BCD=90°，點N是BD的中點，聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線.連接AN，CN，如圖2所示，則有AN=CN=1/2BD，于是△ACN是等腰三角形.由點M是AC的中點，聯(lián)想到等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，立即可得MN⊥AC.

二判斷四邊形的形狀

例2如圖3，在□ABCD中，過點A，C分別作對角線BD的垂線AE，CF，垂足分別為E，F(xiàn)點M，N分別為AB，CD的中點，連接ME，MF，NE，NF.試判斷四邊形EMFN的形狀，并說明理由.

分析：由點M，N分別為AB，CD的中點，AE，CF都垂直于BD，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可以得到ME=1/2AB=MB，NF=

21/2CD=ND，故∠1=∠4，∠2=∠3.由四邊形ABCD是平形四邊形，得AB//CD，AB=CD，所以∠2=∠4，ME=NF.于是∠1=∠3，ME∥NF.故四邊形EMFN是平行四邊形，

三證明線段相等

例3如圖4，點E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點.DF與CE相交于點P，連接AP.求證：AP=AD.

分析：要證AP=AD，如果想利用∠ADP=∠APD，結(jié)合已知條件，這種思路幾乎行不通.注意到點E為邊AB的中點，AD//BC，我們自然想到延長CE交AD的反向延長線于點Q，如圖5所示，易證△AEQ≌△BEC，故AQ=BC=AD，即AP為△DPQ的DQ邊上的中線.結(jié)合待證結(jié)論“AP=AD”，只需證明∠DPQ為直角即可，即證∠2+∠3=90°.易證△BEC≌△CFD，所以∠1=∠3.于是，只需證∠2+∠1=90°.這顯然成立，從而結(jié)論得證.

需要說明的是，數(shù)學上的很多定理都是有一定的前提條件的，直角三角形斜邊中線定理也是如此，運用這個定理的前提條件是這個三角形是直角三角形，結(jié)論則是斜邊上的中線等于斜邊的一半，而不是直角邊上的中線等于直角邊的一半！

牛刀小試

如圖6.△ABE和△CDE有一個公共頂點E.若∠AEB為直角，AB=CD，且AB，CD互相平分于點O，求證：∠CED為直角.

（答案在本期找）