當(dāng)角平分線邂逅平行四邊形

王鋒

當(dāng)角平分線邂逅平行四邊形時，由角之間的等量代換，等腰三角形便應(yīng)運(yùn)而生了.而等腰三角形豐富獨(dú)特的性質(zhì)可迸發(fā)巨大的能量，為我們解決問題提供方便.

在幾何問題中，若有角平分線和平行于角的一邊的直線，則圖形中必然存在等腰三角形，如圖1，BE平分□ABCD的內(nèi)角∠ABC，則△ABE為等腰三角形（因∠1=∠2=∠3）.

例1 （2016年·丹東）如圖2，在□ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F;CE平分∠BCD，交AD于點(diǎn)E.若AB=6，EF=2，則BC的長為（

）.

A.8

B.10

C.12

D.14

分析：由“角平分線+平行線”產(chǎn)生的兩個等腰三角形，得出AF=A B=6，DE=DC=6，便可求出AD=6+（6-2）=10.則BC=10，選B.

例2 （2017年·成都）如圖3，在□ABCD中，按以下步驟作圖：①以A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB，AD于點(diǎn)M，N;②分別以M，N為圓心，以大于1/2MN的長為半徑作弧.兩弧相交于點(diǎn)P;③作射線AP，交邊CD于點(diǎn)Q.若DQ=2QC，BC=3，則口ABCD的周長為_____.

分析：解決本題的關(guān)鍵是了解基本作圖的原理，發(fā)現(xiàn)作圖的結(jié)果是AQ平分∠BAD，從而發(fā)現(xiàn)等腰△DAQ.于是DQ=AD=BC=3.又DQ=2QC，所以QC=1.5，CD=4.5.故口ABCD的周長為2（CD+BC）=2x（4.5+3）=15.

例3 （2016年·泰安）如圖4，在□ABCD中，AB=6，BC=8. ∠BCD的平分線交AD于E，交BA的延長線于F.則AE+AF的值等于（

）.

A.2

B.3

C.4

D.6

分析：易知△BFC和△DCE都是等腰三角形，于是AF=8-6=2 ，AE=8-6=2.

∴AE+AF=4，選C.

例4 （2017年·自貢）如圖5.在□ABCD中，∠BCD的平分線與BA的延長線相交于點(diǎn)E，BH⊥CE于點(diǎn)H.求證：CH=EH.

分析：由平行線和角平分線可構(gòu)建出等腰三角形，證得BE=BC.在等腰△EBC中由BH⊥CE便可獲得結(jié)論.