田載今
平行四邊形被定義為兩組對(duì)邊分別平行的四邊形.由這個(gè)定義出發(fā),可以證明平行四邊形被其一條對(duì)角線(xiàn)分為一對(duì)全等三角形,從而得出平行四邊形的“對(duì)邊相等”“對(duì)角相等”.由此又可以繼續(xù)證明平行四邊形被其兩條對(duì)角線(xiàn)分為兩對(duì)全等三角形,從而得出平行四邊形“對(duì)角線(xiàn)互相平分”,回顧這樣的研究過(guò)程可以發(fā)現(xiàn).雖然三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形,但是它與平行四邊形有密切的聯(lián)系.認(rèn)識(shí)平行四邊形時(shí),借助三角形來(lái)思考是非常有效的方法,符合“化繁為簡(jiǎn),由簡(jiǎn)求繁”的認(rèn)識(shí)事物的原則.
人民教育出版社
一 借助三角形研究平行四邊形德性質(zhì)
平行四邊形除了具有“對(duì)邊相等”“對(duì)角相等”“對(duì)角線(xiàn)互相平分”這些基本性質(zhì),還有一些其他性質(zhì),它們的發(fā)現(xiàn)與證明往往也會(huì)借助三角形.
同學(xué)們都知道,平行四邊形“對(duì)邊相等”“對(duì)角線(xiàn)互相平分”.但平行四邊形的邊與對(duì)角線(xiàn)在長(zhǎng)度上有什么關(guān)系嗎?
“由特殊到一般”是研究問(wèn)題常用的方式.我們不妨從菱形這種特殊的平行四邊形入手來(lái)思考,
如圖1. 在菱形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分.根據(jù)勾股定理,在Rt△AOB中,AB2=AO2+BO2=(AC/2)2+(BD/2)2=AC2+BD2/4,于是4AB2=AC2+BD2.又由菱形各邊相等,得4AB2=AB2+BC2+CD2+DA2,于是AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.這就是說(shuō),菱形兩條對(duì)角線(xiàn)的平方和等于四條邊的平方和.
對(duì)于矩形,也可證明它有上述性質(zhì),矩形和菱形都有上述性質(zhì),那么一般平行四邊形很可能也有此性質(zhì).上面的思考中借助了直角三角形,對(duì)一般平行四邊形不妨也照此思考.
如圖2,作□ABCD的高線(xiàn)DE和CF.根據(jù)勾股定理,在Rt△AFC中.AC2=AF2+CF2=(AB+BF)2+BC2-BF2=AB2+BC2+2AB·BF;在Rt△BED中,BD2=BE2+DE2=(AB-AE)2+DA2-AE2=AB2+DA2-2AB·AE.由DE⊥AB,CF⊥AB,AB//DC,得DE=CF(平行線(xiàn)間的距離相等).又AD=BC(平行四邊形對(duì)邊相等),故有Rt△AED≌Rt△BFC,AE=BF.又AB=DC(平行四邊形對(duì)邊相等),于是AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.這就是說(shuō),平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的平方和等于四條邊的平方和.
在上面的探究中,勾股定理和全等三角形發(fā)揮了重要作用.
事物之間的聯(lián)系是雙向的.一方面,利用三角形可以研究平行四邊形的性質(zhì);另一方面,利用平行四邊形的性質(zhì)也可以解決三角形的問(wèn)題,請(qǐng)看下例.
例1 如圖3,點(diǎn)P在□ABCD內(nèi),△APD和△APB的面積分別為4和8.求△APC的面積.
分析:△APC的面積等于□ABCD的面積之半減△APD和△DPC的面積,如果能利用平行四邊形的性質(zhì),理清圖中各三角形面積之間的數(shù)量關(guān)系,便可使問(wèn)題得解.
解:記△APD,△APB,△BPC和△DPC的面積分別為S1,S2,S3,S4,其中S1=4,S2=8.如圖4,過(guò)點(diǎn)P作□ABCD的高EF,則S2+S4=1/2PE·AB+1/2PF·DC.電AB=DC,得S2+S4=1/2(PE+PF)·AB=1/2EF·AB,此即□ABCD面積之半.于是S1+S3=S2+S4,進(jìn)而得S3-S4=S2-S1=8-4=4,故53=S4+4.記△APC的面積為s.由對(duì)角線(xiàn)將平行四邊形分為兩個(gè)全等三角形,得S1+S4+.S為平行四邊形面積之半,即S1+S4+S=S1+S3,進(jìn)而得S4+S=S3=S4+4,所以S=4.
借助三角形來(lái)判定平行四邊形
判定一個(gè)四邊形是平行四邊形,可以依據(jù)平行四邊形的定義(對(duì)邊平行),還可以看其是否滿(mǎn)足“對(duì)邊相等”“對(duì)角相等”“兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分”“一組對(duì)邊平行且相等”這些判定條件中的任何一個(gè).這些判定條件的推導(dǎo)過(guò)程大都利用了全等三角形(見(jiàn)教科書(shū)).
在更復(fù)雜的平行四邊形判定問(wèn)題中,為了使用定義或判定條件,往往也要借助三角形創(chuàng)造條件.
例2 如圖5,點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在等邊△ABC的邊AB和BC上,BD=CE.以AE為一邊作等邊△AEF.四邊形CDFE是平行四邊形嗎?如果是,給出證明;如果不是,說(shuō)明其中的理由.
分析:要判斷四邊形CDFE是否為平行四邊形,須看它是否滿(mǎn)足平行四邊形的定義或判定條件.問(wèn)題中已知兩個(gè)等邊三角形,利用等邊三角形各邊相等和各內(nèi)角都等于60°,可以證明圖中有全等三角形,進(jìn)而可以通過(guò)對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角的相等進(jìn)行判斷.
解:四邊形CDFE是平行四邊形,理由如下:
連接BF.如圖6.由AB=AC,AF=AE,∠FAB=60°-∠BAE=∠EAC.得△AFB≌△AEC.BF=CE.≌FBA=≌ECA =60°.又BD=CE=BF,故△DFB是等邊三角形.FD=BD=EC,∠FDB=600=厶DBC,F(xiàn)D//EC.根據(jù)FD∥=EC,可知四邊形CDFE是平行四邊形.
從上面的證明可以看出,有些判定平行四邊形的問(wèn)題,不是簡(jiǎn)單地使用定義或判定條件就能解決的,而往往要構(gòu)造出有利于分析和解決問(wèn)題的三角形.
相對(duì)于一般三角形而言,直角三角形和等腰三角形是特殊的三角形,等腰直角三角形是更特殊的三三角形.相對(duì)于一般平行四邊形而言,矩形和菱形是特殊的平行四邊形,正方形是更特殊的平行四邊形.特殊的三角形與特殊的平行四邊形之間有密切的聯(lián)系,矩形可以看作兩個(gè)全等的直角三角形將斜邊重合而成;菱形可以看作兩個(gè)全等的等腰三角形將底邊重合而成,或看作四個(gè)全等的直角三角形將直角邊重合而成:正方形可以看作兩個(gè)全等的等腰直角三角形將斜邊重合而成,或四個(gè)全等的等腰直角三角形將直角邊重合而成.因此,研究特殊平行四邊形時(shí),特殊三角形就成為了常用的工具.
例3 試用一張長(zhǎng)為2、寬為1的矩形紙條,折出一個(gè)面積為1/2的正方形.說(shuō)明你的做法,并證明其正確.
分析:面積為1/2的正方形的邊長(zhǎng)為√2/2,對(duì)角線(xiàn)為1.它可由兩個(gè)斜邊為1的等腰直角三角形,將斜邊重合而拼成.以此為思考的切入點(diǎn),可得如下做法(做法說(shuō)明和證明略).
可以看出,等腰直角三角形在上例的解答中發(fā)揮了不可或缺的作用.利用對(duì)角線(xiàn)把平行四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的三角形,也為面積的轉(zhuǎn)換提供了方便.請(qǐng)看下例.
例4 如圖8,四邊形EFGH的面積為5.它的頂點(diǎn)分別在正方形ABCD的四條邊上,EG=3,F(xiàn)H=4.求正方形ABCD的面積.
分析:如果能把已知條件與正方形的邊長(zhǎng)聯(lián)系起來(lái),則能使問(wèn)題得解.
解:如圖9,分別以點(diǎn)E,F(xiàn),G,H為一個(gè)端點(diǎn),作與正方形的邊平行的線(xiàn)段,這些線(xiàn)段的另一端點(diǎn)落在正方形的邊上,根據(jù)矩形定義可知,這些線(xiàn)段相交構(gòu)成大小不等的多個(gè)矩形,并使圖中又出現(xiàn)了一些三角形,四邊形EFCH由Rt△EFJ,Rt△FGK,Rt△GHL,Rt△HEI和矩形IJKL組成,這四個(gè)直角三角形和矩形IJKL的面積之和為5.矩形IJKL的面積為IJ·JK.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x,由勾股定理得IJ·JK=√42-x2·√32-x2.注意到矩形AEIH,BFJE,CGKF,DHLG各自都被對(duì)角線(xiàn)分為兩個(gè)全等的直角三角形,這四個(gè)矩形面積之和等于Rt△HEI,Rt△EFJ,Rt△FGK,Rt△GHL面積之和的2倍,由此可知,5x2等于矩形AEIH,BFJE,CGKF,DHLG面積之和加上2乘矩形IJKL的面積,此即正方形ABCD的面積加矩形IJKL的面積.列式表示即5x2=X2+√42-x2·√32-x2,于是移項(xiàng)整理得10-X2=√(16-x2)(9-x2).兩邊平方,得100-20x2+x4=144-25x2+x4,解得正方形的面積x2=44/5.
在此例中,添加輔助線(xiàn)后出現(xiàn)的矩形和三角形,為發(fā)現(xiàn)面積中的數(shù)量關(guān)系創(chuàng)造了條件,
綜上所述,三角形這個(gè)基礎(chǔ)圖形雖然簡(jiǎn)單,但它對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他復(fù)雜的圖形非常有用.同學(xué)們應(yīng)注意利用三角形來(lái)研究圖形問(wèn)題.
中學(xué)生數(shù)理化·八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版2020年4期