多面體的外接球問題探究

金小保

多面體的外接球的定義是：若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球叫做這個(gè)多面體的外接球。另外，球的任何一個(gè)截面圓的圓心和球心的連線垂直于這個(gè)截面。

多面體的外接球是歷年高考?？嫉念}型之一，縱觀這幾年的高考題，幾乎每年都涉及與球有關(guān)的問題，是高考熱點(diǎn)之一，而且以小題考查為主。由于多面體的外接球是空間幾何體的組合問題，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的空間想象能力和計(jì)算能力，才能順利得以解決。但從這么多年的實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)這類問題掌握的比較薄弱，認(rèn)識(shí)比較模糊，空間概念不強(qiáng)，不能準(zhǔn)確地找到多面體外接球的球心，拿到這類問題不知怎么解決，當(dāng)然這類問題確實(shí)有點(diǎn)難度，但是只要掌握了一些基本方法，想必解決起來就不那么困難了。下面把我這么多年在教學(xué)實(shí)踐中關(guān)于這類問題的解決方案做一些總結(jié)和探討，方便教師和學(xué)生更好的把握多面體外接球的各類問題解決方案。

1.正方體、長(zhǎng)方體的外接球

設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為其體對(duì)角線長(zhǎng)為.由于長(zhǎng)方體的中心即體對(duì)角線的中點(diǎn)即為外接球的球心，故球的半徑特別的，當(dāng)a=b=c時(shí)，即為正方體。

2.正四面體的外接球（正方體模型）

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，四面體A-B1CD1即為正四面體，它的外接球即為這個(gè)正方體的外接球，所以只要補(bǔ)形成一個(gè)正方體即可，這個(gè)正方體外接球的球心就是這個(gè)正四面體外接球的球心。

3.三組對(duì)棱分別相等的三棱錐（長(zhǎng)方體模型）

對(duì)于這種情況，只要補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體即可，此三棱錐的各棱分別是長(zhǎng)方體的面對(duì)角線。

例1.在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為__________.

解析：如圖，在長(zhǎng)方體AEBF-A1CB1D中，三棱錐符合題意，此長(zhǎng)方體的外接球就是這個(gè)三棱錐的外接球，設(shè)AE=a，AF=b ??AA1 =c，則，∴，

∴2R= ，∴，故三棱錐外接球的表面積為。

4.三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐（長(zhǎng)方體模型）

例2.在正三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，且，若側(cè)棱，則正三棱錐外接球的表面積是 ???????。

解析：三棱錐為正棱錐，

對(duì)棱互相垂直，

，N分別是棱SC，BC的中點(diǎn)，

，

又而，AM、平面SAC，

平面SAC，即平面SAC，

，將此三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球，

，，

三棱錐外接球的表面積為.

5.直棱柱的外接球

直棱柱的外接球的球心在其上下兩個(gè)底面多邊形外心連線的中點(diǎn)。以直三棱錐為例，設(shè)高為，如圖2，D、D1分別是的外心，O是DD1的中點(diǎn)，因?yàn)镈A=DB=DC=D1A1=D1B1=D1C1=r（r為的外接圓半徑），所以O(shè)A1D1、OB1D1、OC1D1都全等，所以O(shè)A=OB=OC=OA1=OB1=OC1=R（R為外接球的半徑），于是借助直角三角形的勾股定理，可求。

6.一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐的外接球

如下圖，只要補(bǔ)形成相應(yīng)的直棱柱即可，此棱錐的外接球就是補(bǔ)形后的直棱柱的外接球。

例4. 正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，將它沿高AD折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為，則四面體ABCD外接球的表面積為

A. B. C. D.

解析：根據(jù)題意可知四面體ABCD的三條側(cè)棱、，

底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，

求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，

三棱柱中，底面，，，，

的外接圓的半徑為，

由題意可得：球心到底面的距離為，

球的半徑為

外接球的表面積為：，

7..一般多面體的外接球

對(duì)于一般的多面體的外接球，可以利用“球的任何一個(gè)截面圓的圓心和球心的連線垂直于這個(gè)截面”這個(gè)性質(zhì)來找球心的位置。

通過以上這些模型，我們就能很輕松的求解出關(guān)于多面體外接球的相關(guān)問題，當(dāng)然與求相關(guān)的立體幾何問題有很多，這里主要介紹了常見的幾種類型，只要平時(shí)在學(xué)習(xí)過程多注意總結(jié)，多面體和球自身的幾何性質(zhì)，想必解決這類問題就不成問題了。