淺談高中生物教學(xué)中數(shù)學(xué)模型

邱圖謀

數(shù)學(xué)模型方法是生物學(xué)研究的常用方法，其在邏輯的嚴(yán)密性和量化分析的準(zhǔn)確性上具有其他研究方法不可比擬的優(yōu)勢。本文主要對高中生物教材中的數(shù)學(xué)模型的案例進(jìn)行研究和挖掘，對數(shù)學(xué)模型在高中生物教學(xué)中應(yīng)用的性進(jìn)行探討，進(jìn)而探索數(shù)學(xué)模型在高中生物教學(xué)中的運用，以期豐富高中生物教學(xué)內(nèi)容，改進(jìn)教學(xué)方式，提升學(xué)生科學(xué)思維能力。

1 孟德爾遺傳定律中的數(shù)學(xué)模型

遺傳規(guī)律的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)模型成功應(yīng)用的典范。在孟德爾之前的很長一段時間內(nèi)，遺傳學(xué)研究都是停留在遺傳現(xiàn)象的描述，缺乏數(shù)學(xué)工具的支持，遺傳理論裹足不前。孟德爾正是用組合數(shù)學(xué)的思想對豌豆雜交實驗統(tǒng)計結(jié)果的分析，發(fā)現(xiàn)了分離定律和自由組合定律，從此開啟了遺傳學(xué)的新篇章。在單因子雜交實驗中，孟德爾分別用七對相對性狀的豌豆進(jìn)行雜交，發(fā)現(xiàn)F1 代全為顯性性狀，F(xiàn)2代顯性性狀與隱性性狀的分離比均為3：1，孟德爾繼續(xù)對F2 進(jìn)行自交，發(fā)現(xiàn)F2代中顯性性狀的個體有2/3是雜合子（原文用雜種性狀），即3：1可以拆成1：2：1。孟德爾對其中的兩對性狀進(jìn)行了6代實驗，發(fā)現(xiàn)都符合這樣的規(guī)律，他應(yīng)用歸納法推斷連續(xù)自交n代，第n代中AA：Aa：aa=2n-1 ：2 ：2n-1。在雙因子雜交實驗中，孟德爾發(fā)現(xiàn)F2代分離比為9：3：3：1，實際上就是兩對獨立遺傳性狀的自由組合，可以用（3：1）2表示，三因子雜交實驗結(jié)果則可用（3：1）3表示。孟德爾總結(jié)：以n表示相對性狀的數(shù)目，表現(xiàn)型（原文用保持穩(wěn)定的組合數(shù)）為2n，基因型（原文用組合系列的項數(shù)）為3 n，分離比之和為4 n。孟德爾從觀察到的現(xiàn)象中抽提出數(shù)學(xué)特征，利用組合數(shù)學(xué)的原理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出各對性狀的遺傳是相互獨立互不干擾的。孟德爾進(jìn)一步推斷性狀的組合是生殖細(xì)胞的組合導(dǎo)致的。只考慮一對相對性狀的情況下，雜合子產(chǎn)生的花粉細(xì)胞和卵細(xì)胞都有A和a兩種，且數(shù)量相等。不同的花粉細(xì)胞有同等機(jī)會與不同的卵細(xì)胞相結(jié)合，可得A_：aa=1：2：1，這實際上對一對相對性狀的分離現(xiàn)象做出了解釋。利用組合數(shù)學(xué)的思想，孟德爾接著對多對相對性狀的自由組合現(xiàn)象做出解釋。值得一提的是，與孟德爾同時代的達(dá)爾文在報春花的研究中也得出了3：1的比例。但是達(dá)爾文沒有受過足夠的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，對數(shù)字缺乏敏感性，沒有繼續(xù)深入研究，也就與遺傳學(xué)的重大發(fā)現(xiàn)失之交臂。孟德爾之后，遺傳學(xué)的另一位奠基人摩爾根在孟德爾的研究方法基礎(chǔ)上拓展創(chuàng)新，發(fā)現(xiàn)了遺傳學(xué)的第三定律即連鎖互換定律。

2 紅綠色盲患病率的數(shù)學(xué)模型

紅綠色盲是伴X染色體遺傳病，現(xiàn)行人教材將紅綠色盲當(dāng)做單基因遺傳病進(jìn)行處理。視錐細(xì)胞分別隨機(jī)表達(dá)某種單一的視蛋白來感受紅綠藍(lán)三種顏色。編碼綠色視蛋白的OPN1MW基因和編碼紅色視蛋白的OPN1LW基因首尾相連排列在X染色體的長臂上（Xq28）。綠色視蛋白基因被認(rèn)為是紅色視蛋白基因復(fù)制而來，兩者具有高度的同源性。紅色視蛋白基因后面緊跟著一個或多個綠色視蛋白基因，但是只有排在最前面的兩個基因可以表達(dá)。高度同源的重復(fù)序列造成初級卵母細(xì)胞減數(shù)分裂時使頻繁發(fā)生不均等交叉互換和基因轉(zhuǎn)換，使紅色視蛋白基因或綠色視蛋白基因易于失活。教版教材在《調(diào)查人群中的遺傳病》的討論題中提出：“我國紅綠色盲中男性發(fā)病率為7%，女性發(fā)病率為0.5%。”，對調(diào)查數(shù)據(jù)可以分析如下：設(shè)紅綠色盲基因為，則男性群體中色盲基因頻率為p=7%，根據(jù)遺傳平衡定律易得出女性群體中色盲患者的基因型頻率=0.49%。筆者查閱資料，發(fā)現(xiàn)在歐洲男性紅色盲占2%，綠色盲占6%，兩者統(tǒng)稱為紅綠色盲，合占8%，而全色盲個體較為罕見。但是實際調(diào)查發(fā)現(xiàn)歐洲女性群體色盲患病率只有0.4%，比預(yù)期少了約，原因何在？這是由于我們構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型過于簡化。若將紅綠色盲作為兩對等位基因控制的疾病進(jìn)行處理，得出來的結(jié)果更接近真實情況。由于同時為紅色盲和綠色盲的個體非常少，我們可以簡單認(rèn)為紅色視蛋白基因和綠色視蛋白基因不會同時突變，則紅色盲基因r可表示為，基因頻率=2%，綠色盲基因g可表示為 基因頻率=6%，則女性中紅色盲患者基因型頻率=0.04%，綠色盲患者基因型頻率=0.36%，這樣就可解釋為什么女性群體色盲患病率只有0.4%。

3 種群增長的數(shù)學(xué)模型

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解釋種群的數(shù)量變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)模型培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維的一次重要實踐，也是高考重要考點，筆者嘗試對種群增長模型的演變過程做個簡單梳理。1789年，馬爾薩斯提出的馬爾薩斯人口模型。他假設(shè)：人口增長過程中指數(shù)增長率（exponential growth，單位時間內(nèi)人口的凈增長數(shù)與人口總數(shù)之比）是常數(shù)r，r=出生率-死亡率，建立微分方程：

著名統(tǒng)計學(xué)家C.R.Rao曾說：“在抽象的意義下，一切科學(xué)都是數(shù)學(xué)”。生命現(xiàn)象的背后往往隱藏著深刻的數(shù)學(xué)原理，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是發(fā)現(xiàn)生命活動本質(zhì)規(guī)律的重要工具，是解決生物學(xué)實際問題的重要手段。在日常教學(xué)中充分利用課程資源，開展數(shù)學(xué)模型教學(xué)，能夠增進(jìn)學(xué)生對生物學(xué)規(guī)律的理解，能夠培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維，提高學(xué)生解決實際的生物學(xué)問題的能力，是踐行新課程標(biāo)準(zhǔn)的必經(jīng)途徑。因而，教師應(yīng)該注重數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)與挖掘，在日常教學(xué)過程中滲透建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的思想與方法。

（作者單位：福州一中貴安學(xué)校）