試析分類討論在“圓”教學(xué)中的運用

胡定祥

摘;要：初中數(shù)學(xué)思想中的分類討論思想，就是將研究的數(shù)學(xué)對象分成若干類，并對各類情況進行討論，達到解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。分類討論時，要做到不重不漏，并保證解答的完整性。本文對"圓"中分類討論思想，結(jié)合例題加以分析。

關(guān)鍵詞： 分類討論;位置關(guān)系; 數(shù)學(xué)對象;教學(xué)運用

圓是非常美的幾何圖形，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，還具有旋轉(zhuǎn)不變性，這給學(xué)生帶來了許多思考，從而提高學(xué)生的思維能力。

新課標(biāo)指出：“通過義務(wù) 教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識（包括數(shù)學(xué)事實、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中有效地滲透，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法，已逐漸成為數(shù)學(xué)課改的熱點。數(shù)學(xué)思想，是指人們對數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的理性認識。初中階段常見的數(shù)學(xué)思想包括：函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等。其中分類討論思想是初中數(shù)學(xué)中最常見、最重要的一種數(shù)學(xué)思想。

一、分類討論思想的概念

分類討論思想是一種最基本的解決問題的思維策略，就是把要研究的數(shù)學(xué)對象按照一定標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的類別，然后逐類進行研究，求解的一種數(shù)學(xué)解題思想。

二、引起分類討論的主要原因：

分類討論是比較數(shù)學(xué)對象的共同性和差異性，根據(jù)數(shù)量關(guān)系或空間形式的某一標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)對象分為不同種類，然后分別對它們進行討論，得出結(jié)論的數(shù)學(xué)思想方法。產(chǎn)生的原因有：

（1）概念本身是分類定義的（如絕對值概念）;

（2）公式、定理、性質(zhì)和法則有范圍或條件限制;

（3）題設(shè)的數(shù)量大小或關(guān)系確定，而圖形的位置或形狀不確定;

（4）題目的條件或結(jié)論不唯一;等。

三、解答分類討論型問題的步驟

解決分類討論型問題，需要具備扎實的基礎(chǔ)知識，和靈活的思維方式，對問題進行全面衡量、統(tǒng)籌兼顧，切忌以偏概全。

一般步驟為：

（1）確定分類對象;

（2）對問題中的某些條件進行分類;

（3）逐類進行討論;

（4）對各類討論結(jié)果進行歸納，并加以整合，得出結(jié)論。

四、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用舉例

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透著分類討論思想。應(yīng)用分類討論思想解題對學(xué)生的能力要求較高，在課堂教學(xué)中滲透、提煉，還要加強訓(xùn)練。

1.點與圓的位置關(guān)系不唯一性

例1.若⊙O所在平面內(nèi)一點P到⊙O上的點的最大距離為a，最小距離為b（a>b），則此圓的半徑為（?? ）。

分析：點P可能在圓內(nèi)，也可能在圓外;如圖1、如圖2

易知，選（C）。

例2. 過不在⊙O上的一點A，作⊙O的割線，交⊙O于B、C，且AB·AC=64，OA=10，則⊙O的半徑R為___________。

分析：點A與⊙O的位置關(guān)系有兩種：

（1）點A在⊙O內(nèi)，如圖1，延長AO交⊙O于F，由相交弦定理易得：

（2）點A在⊙O外，如圖2，由割線定理易得：

故⊙O的半徑R為或6。

2.由圓心與弦的位置關(guān)系引發(fā)多解

例3.已知中，弦，

且AB=6cm，CD=8cm，半徑為。求之間的距離。

分析：在半徑為的圓中，平行弦的位置關(guān)系有如圖5和圖6兩種情形：

易得：弦AB、AC之間的距離為7cm或1cm

3.圓心與角的位置

例4. 在半徑為1的⊙O中，弦AB、AC的長分別為和，則∠BAC的度數(shù)是____________。

分析：圓心O與∠BAC的位置關(guān)系有兩種;

當(dāng)圓心在∠BAC內(nèi)部時，如圖7，

易得 ∠BAC=75°

當(dāng)圓心O在∠BAC的外部時，由軸對稱性可知：∠BAC=15°

所以∠BAC為75°或15

例5. 半徑為1的圓中有一條弦，如果它的長為，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)等于___________。

分析：弦所對的圓周角有兩種情況：

（1）當(dāng)弦所對的圓周角的頂點在優(yōu)弧上時，其圓周角為60°;

（2）當(dāng)弦所對的圓周角的頂點在劣弧上時，其圓周角為120°。

故應(yīng)填60°或120°。

4.點在直徑上的位置不唯一性

例6.已知⊙O的直徑AB=10cm，弦CD⊥AB于點M。若OM：OA=3：5，則弦AC的長為多少？

分析：垂足M可能在半徑OA上，也可能在半徑OB上。

M在半徑OA上。如圖8。?易知：AC=2（cm）

M在半徑OB上。如圖9.?易知：AC=4（cm）

所以，弦AC的長為2cm或者4cm。

5.點在弧上的位置

例7. 如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，P是經(jīng)過O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圓上的一個動點（P與O、B不重合），則∠OAB=_________度，∠OPB=_________度

分析：依題意可知△AOB是等腰直角三角形，所以∠OAB=45°

（1）當(dāng)動點P在上時，∠OPB=∠OAB=45°

（2）當(dāng)動點P在上時，∠OPB=180°-45°=135°

所以，∠OPB為45°或135°

綜上所述，分類討論在初中數(shù)學(xué)的運用中占有很重要的地位。這就要求我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時要不斷積累數(shù)學(xué)知識，形成知識網(wǎng)絡(luò)，領(lǐng)悟其中蘊含在數(shù)學(xué)中的思想方法，才能提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。