牛頓-萊布尼茨公式由特殊到一般的教學(xué)探索

摘?要：介紹“由特殊到一般”的教學(xué)方法在牛頓-萊布尼茨公式教學(xué)中的具體運(yùn)用。根據(jù)現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，提出通過復(fù)習(xí)引入、分析特例、提出猜想、嚴(yán)格證明等步驟引導(dǎo)學(xué)生自主探索計算定積分的簡便方法—牛頓-萊布尼茨公式。

關(guān)鍵詞：牛頓-萊布尼茨公式;教學(xué)探索;高等數(shù)學(xué)

一、 緒言

高等數(shù)學(xué)是高職院校的一門重要的基礎(chǔ)理論課，其具有邏輯性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)等特點(diǎn)。對于高職學(xué)生而言，普遍感到數(shù)學(xué)概念、公式、推導(dǎo)過程等非常抽象，難以理解，對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有強(qiáng)烈的畏難情緒。因此在教學(xué)過程中，如何把抽象的內(nèi)容具體化，把復(fù)雜的問題簡單化，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂的教學(xué)效果就顯得尤為重要。從特殊到一般，再由一般到特殊，這是認(rèn)識的一個基本規(guī)律，這一規(guī)律也同樣適用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程?？v觀各年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對公式、定理等的學(xué)習(xí)往往都從特殊的例子開始，通過總結(jié)歸納得出一般的猜想，再經(jīng)過嚴(yán)格的證明后，使之成為一般結(jié)論，進(jìn)而用他們來解決其他的數(shù)學(xué)問題。在整個由特殊到一般的思維過程中，學(xué)生不僅僅學(xué)會了一個數(shù)學(xué)公式、會解一道數(shù)學(xué)題，更培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維和歸納推理等能力。

牛頓-萊布尼茨公式是微積分學(xué)中最重要的公式，被稱為微積分基本公式，在教材中處于及其重要的地位。它不僅揭示了不定積分和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時也提供了計算定積分的一種有效方法。文章嘗試遵循由特殊到一般的教學(xué)方法對學(xué)生進(jìn)行建構(gòu)教學(xué)，由教師提出一系列環(huán)環(huán)相扣的問題，在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，讓學(xué)生自主分析、探索，并在探索的過程中歸納總結(jié)出牛頓-萊布尼茨公式。

二、 復(fù)習(xí)導(dǎo)入

二、 分析特例

著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特曾經(jīng)說過“在討論數(shù)學(xué)問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用”。那么我們嘗試從研究特殊的問題出發(fā)，猜想是否存在計算定積分的簡便方法。

也就是說速度函數(shù)在一段時間間隔上的定積分表示成了它的原函數(shù)在該區(qū)間上的增量。

（二）幾何問題

從求變速直線運(yùn)動的路程和求直角梯形面積入手，分析解決這兩個問題的方法有何共同之處;通過幾何和物理問題，分析探索計算定積分的新方法，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。

三、 提出猜想

分析剛才舉到的兩個幾何和物理問題，函數(shù)在一段區(qū)間上的定積分都等于它的一個原函數(shù)在該區(qū)間上的一個增量，那么對于一般的被積函數(shù)，是否也有同樣的如下結(jié)論：

如果這個猜想是成立的，定積分的計算就轉(zhuǎn)化成原函數(shù)的計算，這是之前學(xué)生所擅長的，如何簡便計算定積分的問題就得到了解決。笛卡爾曾經(jīng)說過：要想獲得真理和知識，唯有兩種武器：清晰的直覺和嚴(yán)格的演繹，接下來嘗試就猜想進(jìn)行演繹推理。

四、 嚴(yán)格證明

這個公式將定積分的計算轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的計算，將兩個看似不相干的概念聯(lián)系起來，使得定積分的計算變得簡潔，這就是著名的牛頓-萊布尼茨公式。在自然科學(xué)中，一般我們說某個公式特別重要，就喜歡用人名來命名;而牛頓-萊布尼茨公式就非常重要，它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域特別是微積分學(xué)領(lǐng)域占有非常重要的地位，就是這一公式的建立，標(biāo)志著微積分的真正建立。在十七世紀(jì)，英國科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別從不同角度獨(dú)立提出了這一公式，所以后人以他們的名字共同來命名該公式。

牛頓-萊布尼茲公式的提出在微積分學(xué)發(fā)展史上意義非凡，它又被稱為微積分基本公式，它的重要性體現(xiàn)在以下兩點(diǎn)：（1）建立了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)之間的關(guān)系，架起了積分學(xué)與微分學(xué)的橋梁，自此以后，許多物理、天文等方面的實際問題才真正得以解決，從而推動了整個近代科學(xué)的發(fā)展。（2）該定理表明一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間上的增量，提供了一種計算定積分的簡便有效的方法，通過兩步走，先求原函數(shù)，再代入?yún)^(qū)間端點(diǎn)計算增量。因此，稱牛頓-萊布尼茲公式為微積分基本公式是當(dāng)之無愧的。

六、 應(yīng)用舉例

通過具體實例，來展示這一公式的偉大與奇妙。

這個例題說明，牛頓-萊布尼茨公式大大簡化了定積分的計算手續(xù)，比采用定積分的定義，通過四個步驟進(jìn)行計算的方法要簡單得多。采用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分的關(guān)鍵在于正確計算被積函數(shù)在積分區(qū)間上的原函數(shù)。

七、 歸納反思

（1）通過具體的實際問題，從不同角度分析考慮問題，類推猜想出牛頓-萊布尼茨公式的雛形，并給出嚴(yán)格的證明，最終得到牛頓萊布尼茨公式。（2）牛頓-萊布尼茲公式的深刻揭示了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系，把定積分與不定積分緊密聯(lián)系在一起。（3）運(yùn)用該公式時要注意：求定積分關(guān)鍵在于找到被積函數(shù)的原函數(shù)。最后利用兩步計算法（先求原函數(shù)，再代入?yún)^(qū)間端點(diǎn)計算增量）求出定積分的值。事實上，大部分的定積分都可以通過牛頓-萊布尼茨公式進(jìn)行計算，大家課后需通過多加練習(xí)熟練掌握各種形式的定積分計算問題，進(jìn)而達(dá)到學(xué)以致用的目的。

通過在牛頓-萊布尼茨公式一課教學(xué)中采用由特殊到一般的教學(xué)方法，順應(yīng)了學(xué)生的思維過程，課堂氣氛變得非常活躍，學(xué)生都能夠跟隨教師積極參與到課堂教學(xué)中來。學(xué)生不僅充分理解了牛頓-萊布尼茨公式，更學(xué)會了這個工具背后所體現(xiàn)出的解決問題的數(shù)學(xué)思維方法—由特殊到一般，再由一般到特殊。實踐表明，運(yùn)用由特殊到一般的教學(xué)方法，不僅提高教學(xué)效果，更培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力。

作者簡介：

王芳，浙江省杭州市，武警士官學(xué)校。