思維留痕，于過程中看學(xué)生的“數(shù)學(xué)思考”水平

費嶺峰

【摘要】過程視角測評是在教育質(zhì)量綜合評價改革背景下產(chǎn)生的對學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測的一種新視角。過程視角測評題，因考查學(xué)生在“數(shù)學(xué)思考、問題解決以及情感態(tài)度”等方面的達成情況，使測評既知結(jié)果，又了解過程;既知思維狀況，又能區(qū)分能力差異。實踐中，基于不同的過程目標(biāo)有解答式、說理式、追問式與究思式等幾種形式。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 過程視角 數(shù)學(xué)思考 試題命制

一、從結(jié)果看思維的局限——由一道測試題說起

如下圖，這是一道人教版數(shù)學(xué)四年級上冊配套的期末測試卷中的填空題?？疾榈氖菍W(xué)生對本冊教材第六單元“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”中“商不變規(guī)律”的理解與掌握狀況。我們知道，填空題一般是從“結(jié)果”來評判學(xué)生對知識的掌握狀況，評改時較為容易，卻較難了解學(xué)生在解答問題時的思維過程與認知差異。

檢測后，一位教師針對本題學(xué)生的答題情況做了統(tǒng)計：共68人參與本次檢測，其中正確人數(shù)為31人，正確率45.6%。這看似一道簡單的習(xí)題，居然有37人做錯，表明超過半數(shù)的學(xué)生對于這一知識內(nèi)容的理解還存在問題。當(dāng)時，筆者對此結(jié)果也表示疑惑，于是請這位教師了解了一下其他班的情況，正確率居然更低。這樣的結(jié)果還是頗出乎意料的。筆者后又與出題教師進行了交流，他也有同樣的感覺，比預(yù)想的正確率低了不少。

我們先來看概念內(nèi)涵，“商不變規(guī)律”的核心是“被除數(shù)和除數(shù)同時乘（或除以）一個相同的數(shù)，商不變”。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了“商不變規(guī)律”之后再解決以上習(xí)題，其能力水平應(yīng)該能達到“從左邊除法算式中的被除數(shù)300、除數(shù)11到右邊除法算式中的被除數(shù)600、除數(shù)22，正好都是乘以2得到”的水平，即符合“商不變規(guī)律”中的“被除數(shù)和除數(shù)同時乘一個相同的數(shù)”的前提，所以結(jié)論應(yīng)該是“相等”。

但從測評結(jié)果來看，錯誤率相當(dāng)高，又因為本題為填空題，也就是我們以往說的客觀題，學(xué)生在答題時也只給出了一個或“>”、或“<”、或“=”的結(jié)果，缺少在解答此題時思維的表現(xiàn)過程。這無疑給教師了解學(xué)生對“商不變規(guī)律”的理解水平帶來了困難。

另外，對于填了“=”的學(xué)生的思維狀況，我們也是缺乏了解的。通過訪談，我們了解到，在解答正確的學(xué)生中，同樣有兩種不同的思考過程：一種是不計算，直接以“商不變規(guī)律”對結(jié)果做出判定，這當(dāng)然是在準(zhǔn)確理解“商不變規(guī)律”基礎(chǔ)上的技能運用，在思維層面上達到了“能夠抓住本質(zhì)，準(zhǔn)確運用規(guī)律”的水平。還有一種是算出左右兩邊除法的商，因為都等于“27”，不考慮余數(shù)，判定結(jié)果相等。這種思考方式，與上一種相比，至少在對“商不變規(guī)律”的理解上還是存在著差異的，幾乎是回到了“商不變規(guī)律”知識學(xué)習(xí)前的水平，而且這樣的判別缺乏嚴(yán)謹性，理由是不充分的（當(dāng)然對于四年級學(xué)生要理解到余數(shù)也是影響到算式是否相等的因素，還是有難度的），屬于典型的“知識的應(yīng)用”能力不夠高的。事實上，教師因為對于學(xué)生的思維過程缺少了解，后續(xù)在“商不變規(guī)律”的補救教學(xué)上仍然缺少針對性。這也就是我們經(jīng)常碰到的僅僅通過結(jié)果看思維的局限，也是客觀題測評的局限。

二、過程視角測評題在考查學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”水平中的優(yōu)勢

所謂過程視角，是與結(jié)果視角相對而言的，即從過程角度來看學(xué)生解決問題的表現(xiàn)狀況，可以較全面、準(zhǔn)確地反映對象的情況。學(xué)生在解題時的過程視角一般包含兩個層面：一是顯性層面的解答過程;二是隱性層面的思考過程。兩者有時是一致的，有時不完全一致。小學(xué)數(shù)學(xué)監(jiān)測中設(shè)計過程視角的測評題，意在從過程角度全面、準(zhǔn)確地檢測小學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后的知識技能、基本活動經(jīng)驗或數(shù)學(xué)思想方法的習(xí)得與形成水平，考查學(xué)生在數(shù)學(xué)思考、問題解決以及情感態(tài)度等方面的達成情況，是一種突出過程、側(cè)重于能力水平和素養(yǎng)水平的測評習(xí)題或任務(wù)，在實踐中體現(xiàn)出兩個方面的意義。

（一）過程視角測評題，使測評既知結(jié)果，又了解過程

這也是過程視角測評題的基本特點。因此，在設(shè)計時，需要對學(xué)生提出展示思維過程的要求，同時也需要留給學(xué)生展示思維過程的空間。

比如在學(xué)生學(xué)習(xí)了小數(shù)的乘除運算之后，請學(xué)生計算4.8×3.1與42÷2.8這樣的習(xí)題。作為了解學(xué)生基本算法是否掌握的考查，只要讓學(xué)生自主計算即可。但如果我們將監(jiān)測目標(biāo)定位在“了解學(xué)生是否具有根據(jù)數(shù)據(jù)特點，靈活選擇合理算法的能力”時，則需要提出類似于“不列豎式，你會怎樣計算出它們的結(jié)果呢？請將你的思考過程寫在下面”的答題要求。兩個要求：一個指向于數(shù)據(jù)特征分析基礎(chǔ)上靈活運算的能力測評;另一個需要展示過程，有利于了解學(xué)生對知識的理解與掌握狀況，以及思考過程與思維水平，即我們會了解到“學(xué)生到底是怎樣想的” 這一過程。

（二）過程視角測評題，使評價既能關(guān)注思維狀況，又能關(guān)注能力差異

這也是過程視角測評題相對于結(jié)果視角測評題的優(yōu)勢。我們知道，結(jié)果視角測評題更多以唯一結(jié)果來判定學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)水平，不能了解到被測者間的個性差異，這對于分析被測者的思維狀態(tài)不利。而過程視角測評題，因為有被測者的解答過程，便能從顯性層面的過程表現(xiàn)去分析他們的隱性思維、能力水平，發(fā)現(xiàn)不同對象的思維習(xí)慣，甚至于高階思維水平，還能有利于把握被測者在知識理解與掌握中的缺陷，為后續(xù)學(xué)習(xí)的改進提供支持。

如本文開頭提到的習(xí)題，若設(shè)計成“結(jié)果+說理”式的過程測評題，便能從說理中發(fā)展學(xué)生不同的思考過程，從而了解學(xué)生對“商不變性質(zhì)”從“理解”到“應(yīng)用”間的水平差距。

三、考查學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”水平的過程視角測評題的形式

學(xué)生的“數(shù)學(xué)思考”水平更多的是反映在習(xí)題解答或問題解決的過程方法中，表現(xiàn)為思路是否清晰、方法是否合理巧妙以及結(jié)論是否正確。過程視角測評題正是突出過程的考查，從而了解學(xué)生的“數(shù)學(xué)思考”及素養(yǎng)水平。實踐中一般有以下幾種形式。

（一）解答式

解答式測評題是比較常用的過程視角測評題，一般在考查學(xué)生解題技能時采用。比如針對“兩位數(shù)乘兩位數(shù)” “除數(shù)是兩位數(shù)的除法”等運算技能掌握情況考查時，便可以直接采用計算題，由學(xué)生直接計算完成，然后根據(jù)學(xué)生的計算過程，看學(xué)生相關(guān)運算方法的掌握水平。當(dāng)然，有時可以改變要求，調(diào)整測評目標(biāo)。

比如前文談到的請學(xué)生計算4.8×3.1與42÷2.8時，提出了“不列豎式你會如何算？”這樣的解答要求，便是指向于對學(xué)生“根據(jù)數(shù)據(jù)特點，靈活選擇恰當(dāng)算法”的能力水平的考查，并通過學(xué)生解答的過程看其水平差異。

從測評結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生在有了“不允許列豎式”的要求后，便不知道該如何計算此類習(xí)題了，還有些學(xué)生則直接寫上得數(shù)，當(dāng)然也會有學(xué)生應(yīng)用“乘法分配律”或“商的變化規(guī)律”等知識進行計算。如以下的解答：

4.8×3.1=4.8×（3+0.1）=4.8×3+4.8×0.1=14.4+0.48

=14.88和4.8×3.1=（5-0.2）×3.1=5×3.1-0.2×3.1

=15.5-0.62=14.88

42÷2.8=420÷28=420÷7÷4=60÷4=15

以上解答過程，較之前面“不知道該怎樣算”與“直接寫出得數(shù)”的學(xué)生來說，已經(jīng)表現(xiàn)出了高一層次的數(shù)學(xué)思考水平了。而且有了解答過程的呈現(xiàn)，學(xué)生的思維差異也真切地展示了出來，有利于教師準(zhǔn)確把握學(xué)情，反思運算律教學(xué)的效果，改進此類內(nèi)容的教學(xué)過程。

（二）說理式

說理式測評題是過程視角測評題命制中的典型題型，一般表現(xiàn)為請被測者針對某個問題或知識點采用“畫圖”或“寫文字”的方式來闡述自己的想法、理由。其最大的特點是追“究”深“探”，即在考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握狀況的同時，采用追問或直接設(shè)問的方式，考查學(xué)生對知識“所以然”的理解水平或?qū)W習(xí)方法的遷移水平。

比如，以往考查學(xué)生對“分數(shù)意義”的理解，一般以“表示把單位‘1平均分成（）份，表示這樣的（）”，或者設(shè)計成“把一根2米長的繩子平均剪成5段，每段是這根繩子的（），3段是這根繩子的（）?！被蛘咴賳枴懊慷伍L（）米?！边@樣的形式。我們說，此類習(xí)題因為只有結(jié)果，而無法看出學(xué)生的認知差異。以下我們是從過程視角設(shè)計的考查學(xué)生“分數(shù)意義”理解水平的測評題：

女生人數(shù)是男生人數(shù)的。請用畫圖或?qū)懳淖值姆绞奖硎境龅囊馑肌?/p>

此題考查的是學(xué)生對分數(shù)、假分數(shù)意義的理解水平，教師可以根據(jù)學(xué)生的答題情況，全面了解學(xué)生對分數(shù)概念的理解水平，同時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的認識差異，為后續(xù)進行針對性指導(dǎo)做準(zhǔn)備。

關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)方法遷移水平的考查，則如我們在四年級下冊“運算定律”單元學(xué)習(xí)之后的測評卷中設(shè)計的測評題：

a-（b-c）和a-b+c相等嗎？請用學(xué)過的方法加以說明。

本題的測評意圖就是通過觀察學(xué)生在解釋規(guī)律成立的過程中，看學(xué)生在學(xué)習(xí)了一個單元的“規(guī)律認識與探索”之后，對數(shù)學(xué)規(guī)律探索方法的遷移與應(yīng)用水平。顯然，這樣的測評題既著眼于過程，又著眼于能力。

（三）追問式

追問式測評，顧名思義是在學(xué)生回答出結(jié)果后，加以追問以了解學(xué)生得出某個結(jié)論的想法，以便做出精準(zhǔn)分析。追問式過程視角測評題一般在采用客觀題測評后，追加一個（或一組）問題或要求。比如，在學(xué)生學(xué)習(xí)了公頃與平方千米的知識之后，請學(xué)生完成下面習(xí)題：

下面哪個場所的面積大約是1公頃？（）

A.學(xué)?；@球場? ? ? ? ? ? ? B.我們班教室

C.學(xué)校運動場? ? ? ? ? ? ? D.某地區(qū)的面積

我是這樣想的：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

這原本是一道典型的客觀題，學(xué)生只要選出某個答案即可，但因為跟進了一個要求“我是這樣想的”，其實就是想讓學(xué)生表達自己的想法。實際測試后，答案選擇正確的學(xué)生在表述想法時，有的是從“1公頃”的描述性定義出發(fā)去分析以上四個場所的;有的則是根據(jù)自己積累的“1公頃量感的經(jīng)驗”采用排除法做出判斷的;還有的說不清楚或無法表達。于是，我們通過學(xué)生的想法，就能更準(zhǔn)確地了解學(xué)生在“1公頃”面積建構(gòu)時的不同思考水平。

如同這樣的測評題設(shè)計，在日常的檢測中還會以“為什么？”“你是怎樣想的？”“請說明理由。”等方式呈現(xiàn)，這些要求都屬于追問式的測評。

（四）究思式

新課程背景下，學(xué)生學(xué)業(yè)評價內(nèi)容變得更為開放，測評目標(biāo)也變得更為多元，于是打破傳統(tǒng)測評題的命制思路，創(chuàng)新過程視角測評題命制形式，是一種必然要求。究思式測評題便是一種有新意的測評題設(shè)計嘗試。所謂究思式測評題，即考查目標(biāo)直接指向于數(shù)學(xué)思考的測評題設(shè)計。比如以下兩道考查學(xué)生問題解決能力的習(xí)題：

（1）一般住宅樓層高2.8米。為了保證住戶有充足的陽光，要求樓與樓之間的距離是整幢樓高的1.2倍?，F(xiàn)有兩幢6層高的樓，請根據(jù)以上信息，畫一幅示意圖，并標(biāo)上相應(yīng)的數(shù)據(jù)。

（2）右圖是一個不規(guī)則圖形。要知道這個圖形的面積，一般分幾步？請寫出你的思考過程。（不必計算）

以上兩題，均在考查學(xué)生問題解決的能力，但與以往的問題解答不同的是，這兩題并沒有要求學(xué)生通過解答求得結(jié)果，而是重在關(guān)注學(xué)生“問題解決”中對信息的解讀與問題解決計劃能力的考查，在測評視角上有一定的創(chuàng)新性。

在實際的檢測中，學(xué)生的解答過程也能清晰地反映出不同的思維水平。如第（1）問中，以下三位學(xué)生的圖示體現(xiàn)了三個層次的信息解讀水平。

這三位學(xué)生的答案，顯然第一位的分析能力最強，第二位次之，第三位最弱。第一位學(xué)生在描述信息間的關(guān)系時，無論是數(shù)據(jù)與圖示中的物體間的距離，都是相對比較準(zhǔn)確的;第二位數(shù)據(jù)信息的理解是準(zhǔn)確的，但圖示比例不當(dāng);第三位則有的信息的解讀是錯誤的。

總之，過程視角的測評題是基于新課程理念下的教育質(zhì)量綜合評價探索的產(chǎn)物，是著眼于學(xué)生學(xué)習(xí)素養(yǎng)的，以“思維留痕”的方式便于對學(xué)生的數(shù)學(xué)思考水平做出準(zhǔn)確判斷的重要手段。實踐中除了上文談到了四種形式之外，肯定還有許多的方式有待一線教師做進一步探索。

注：本文系2018年度浙江省教研系統(tǒng)規(guī)劃重點課題“過程視角的小學(xué)數(shù)學(xué)測評題命制與運用研究”（項目編號：Z18018）。