揭秘球在點(diǎn)光源下的投影

王常慶

(新疆阿勒泰地區(qū)第一高級(jí)中學(xué)，836500)

在高中階段我們學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，對(duì)“圓錐被不同的平面切割而獲得不同的圓錐曲線”的理解往往比較抽象,教材又沒(méi)有給出系統(tǒng)的證明,對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有一定的困擾.課堂教學(xué)中是否有更直觀、更容易操作的模型來(lái)刻畫圓錐曲線的來(lái)源及其不同形式呢?

在實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn),放置于桌面上的球,在手電筒的照射下,其投影會(huì)隨手電筒的位置變換呈現(xiàn)不同的形狀,有圓形,有橢圓形,也有非封閉曲線.這些投影會(huì)是真正的圓錐曲線嗎,如何證明?對(duì)光源的位置有何要求?下面我們就來(lái)揭開它神秘的面紗.

如圖1,設(shè)S為點(diǎn)光源,在S的照射下,球O在平面α上的投影的輪廓線為曲線L.從S發(fā)出的所有與球O相切的光線恰好形成一圓錐的側(cè)面,球O剛好內(nèi)切于該圓錐.球O與光線的所有切點(diǎn)剛好形成一個(gè)封閉的圓,記作⊙O1[1].

易知,當(dāng)S在球O的正上方時(shí),曲線L是一個(gè)圓.下面重點(diǎn)探究S不在球O的正上方時(shí)的情形.

當(dāng)點(diǎn)光源S不在球O的正上方時(shí),⊙O1所在平面β必與平面α相交,設(shè)α∩β=l,球O與平面α相切于點(diǎn)F,當(dāng)球O大小及點(diǎn)S位置固定時(shí),l為定直線,F為定點(diǎn).SO1⊥β,OF⊥α.又設(shè)SO交α于點(diǎn)Q,則l⊥面O1QF(S，O1，O，Q，F(xiàn)共面).在投影輪廓線L上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)定P作PH⊥β于點(diǎn)H,此時(shí)PH∥SO;又作PK⊥l于點(diǎn)K,連結(jié)PS交⊙O1于點(diǎn)A.連結(jié)HK，HA,則?PHK，?PHA均為直角三角形，且∠KPH=∠SQF，∠SPH=∠PSQ,其中∠SQF，∠PSQ分別表示平面α與圓錐軸線所成的角和圓錐的半頂角,分別記作θ1和θ2(均為銳角)即∠KPH=∠SQF=θ1,∠SPH=∠PSQ=θ2.

因?yàn)镻F，PA均為球O的切線,所以

|PF|=|PA|.

①

又在Rt?PHK中，有|PH|=|PK|·cos∠KPH；在Rt?PHA中,|PH|=|PA|·cos∠APH.故

②

另設(shè)⊙O1上距平面α最遠(yuǎn)點(diǎn)為M,最近點(diǎn)為N(圖1),則MN?面OQF,且∠MSO=θ2,∠SQF=θ1.所以,當(dāng)θ1=θ2時(shí),曲線L表示拋物線,SM∥QF,此時(shí),點(diǎn)光源S距平面α高度恰等于球O直徑;同理,當(dāng)θ1>θ2,曲線L表示橢圓,點(diǎn)光源S距平面α高度大于球O直徑;當(dāng)θ1<θ2,曲線L表示雙曲線(一支),點(diǎn)光源S距平面α高度小于球O直徑.