例談解決函數(shù)壓軸題的化歸與轉(zhuǎn)化維度

江寶龍

(內(nèi)蒙古烏蘭浩特一中，137400)

本文例說如何運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化的方法多維度解決函數(shù)壓軸題.茲將諸維度介紹如下.

一、 結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化

對(duì)于函數(shù)壓軸小題,題設(shè)中往往出現(xiàn)一些難以突破的結(jié)構(gòu),要求學(xué)生能根據(jù)已有解題經(jīng)驗(yàn)對(duì)題設(shè)中的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行識(shí)別和深加工,將結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成已知問題,突破結(jié)構(gòu)特征的難點(diǎn),實(shí)現(xiàn)將未知問題轉(zhuǎn)化已知問題的目的,進(jìn)而問題得以解決．

例1若lnx1-x1-y1+2=0,x2+2y2-4-2ln 2=0,則(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值為______,此時(shí)x2=______.

解設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則點(diǎn)A在曲線y=lnx-x+2上,點(diǎn)B在直線l:x+2y-4-2lnx=0上,問題等價(jià)于求A,B兩點(diǎn)間距離的平方的最小值及相應(yīng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo).

由切點(diǎn)到直線l的距離

變式已知變量x1,x2∈(0,m),且x1

[

: e]

二、設(shè)問方式轉(zhuǎn)化

1.方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、圖象的交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化

函數(shù)的零點(diǎn)問題一直是高考的熱點(diǎn)問題,其解決問題的核心為:函數(shù)y=f(x)-g(x)有零點(diǎn)?方程f(x)=g(x)有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象有交點(diǎn).

例2已知函數(shù)

若函數(shù)y=f(f(x)-a)-1有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

解由f(f(x)-a)-1=0,得f(f(x)-a)=1,又易知方程f(x)=1的根為x=-2或x=0,問題等價(jià)于f(x)-a=-2和f(x)-a=0共有三個(gè)根,即方程f(x)=a和f(x)=a-2共有三個(gè)根.

解得1

2.量詞“任意”和“存在”相關(guān)問題的轉(zhuǎn)化

有關(guān)量詞“任意性”、“存在性”的問題也是高考命題的熱點(diǎn)問題,把函數(shù)問題、導(dǎo)數(shù)問題和不等式恒成立問題交匯命制壓軸題已成為熱點(diǎn)命題方向.其中確定參數(shù)取值范圍問題,常用分離參數(shù)、 數(shù)形結(jié)合、參數(shù)討論等方法,借助函數(shù)的最值與值域解決問題.

例3設(shè)函數(shù)f(x)=ex(x-1),g(x)=mx-m(m>0),若對(duì)任意的x1∈[-2,2],總存在x2∈[-2,2],使得f(x1)=g(x2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )

分析本題求解的關(guān)鍵是弄清題設(shè)中“任意性”與“存在性”的關(guān)系,明確在區(qū)間[-2,2]上,f(x)的值域是g(x)的值域的子集.

[參考答案:[1,+∞)]

三、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

華羅庚先生曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休．"數(shù)形結(jié)合是處理函數(shù)問題的常用思想方法,通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形",可以使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的.

例4設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0,使得f(x0)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

解設(shè)g(x)=ex(2x-1),由題意知y=g(x)位于直線y=ax-a下方的圖象(如圖1)中只有一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù).

四、抽象到具體的轉(zhuǎn)化

函數(shù)問題具有抽象性和具體性的雙重特點(diǎn).對(duì)抽象函數(shù)問題,把握其結(jié)構(gòu)特征,透過結(jié)構(gòu)看本質(zhì),能使抽象問題具體化,通過對(duì)具體問題的研究,實(shí)現(xiàn)問題的解決.

(A)(-∞,1) (B)(1,+∞)

(C)(-∞,2) (D)(2,+∞)

(C)[0,+∞) (D)(-∞,0]

[參考答案:選B]