非對稱結(jié)構(gòu)圓錐曲線問題的求解策略
——以2020年高考全國Ι卷第20題為例

涂序星

(廣東省佛山市樂從中學，528315)

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點.

①

解題至此,我們發(fā)現(xiàn)①式是非對稱結(jié)構(gòu),無法直接用韋達定理代入解決,高考時很多學生止步于此.筆者經(jīng)過一番探究運算,總結(jié)出解決此類非對稱結(jié)構(gòu)圓錐曲線問題的幾種思路,供讀者參考.

思路1平方法

整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0.

思路2用橢圓第三定義

②

思路3積轉(zhuǎn)為和

直線CD的斜率不可能為0,可設(shè)直線CD的方程為x=my+t,C(x1,y1),D(x2,y2).

③

思路4設(shè)線解點

評注思路4為了回避出現(xiàn)非對稱結(jié)構(gòu),不直接設(shè)直線CD的方程,而是先通過設(shè)直線AP方程求出點C的坐標,同理得出點D的坐標,從而得到直線CD的方程；再整理得出直線CD過定點.思路清晰順暢,學生容易接受,但計算量偏大.

思路5平移坐標系+齊次化變換

x′2+9y′2-6x′=0.

縱觀以上解題思路,化歸與轉(zhuǎn)化這一重要思想的應用體現(xiàn)得淋漓盡致,大道至簡.非對稱結(jié)構(gòu)圓錐曲線問題大部分有高等幾何命題背景——極點極線知識,深受命題專家親睞,在高考和各地模擬卷多次出現(xiàn),如2010年江蘇卷、2011年四川卷、2001年廣東卷.