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    非對稱結(jié)構(gòu)圓錐曲線問題的求解策略
    ——以2020年高考全國Ι卷第20題為例

    2020-09-27 03:16:56涂序星
    高中數(shù)學教與學 2020年17期
    關(guān)鍵詞:大道至簡非對稱定點

    涂序星

    (廣東省佛山市樂從中學,528315)

    (1)求E的方程;

    (2)證明:直線CD過定點.

    解題至此,我們發(fā)現(xiàn)①式是非對稱結(jié)構(gòu),無法直接用韋達定理代入解決,高考時很多學生止步于此.筆者經(jīng)過一番探究運算,總結(jié)出解決此類非對稱結(jié)構(gòu)圓錐曲線問題的幾種思路,供讀者參考.

    思路1平方法

    整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0.

    思路2用橢圓第三定義

    思路3積轉(zhuǎn)為和

    直線CD的斜率不可能為0,可設(shè)直線CD的方程為x=my+t,C(x1,y1),D(x2,y2).

    思路4設(shè)線解點

    評注思路4為了回避出現(xiàn)非對稱結(jié)構(gòu),不直接設(shè)直線CD的方程,而是先通過設(shè)直線AP方程求出點C的坐標,同理得出點D的坐標,從而得到直線CD的方程;再整理得出直線CD過定點.思路清晰順暢,學生容易接受,但計算量偏大.

    思路5平移坐標系+齊次化變換

    x′2+9y′2-6x′=0.

    縱觀以上解題思路,化歸與轉(zhuǎn)化這一重要思想的應用體現(xiàn)得淋漓盡致,大道至簡.非對稱結(jié)構(gòu)圓錐曲線問題大部分有高等幾何命題背景——極點極線知識,深受命題專家親睞,在高考和各地模擬卷多次出現(xiàn),如2010年江蘇卷、2011年四川卷、2001年廣東卷.

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