挖掘數(shù)學美，培養(yǎng)學生的直覺思維能力

潘水良

[摘? 要] 直覺思維是直接領悟的思維能力，沒有一項創(chuàng)造性思維活動離得開直覺思維，它是一切思維活動的源泉，很值得數(shù)學教師加以培養(yǎng)和發(fā)展.文章以數(shù)學審美為媒介，以合作探究為手段，以思維能力的養(yǎng)成為目標，在數(shù)學美的體現(xiàn)和培養(yǎng)學生的直覺思維方面做些闡釋.

[關鍵詞] 高中數(shù)學;數(shù)學美;直覺意識;直覺思維

直覺思維是思維方式中較為獨特的一種，其主要特征體現(xiàn)在它的迅捷性、果斷性和創(chuàng)造性，它一直扮演著介于邏輯與經(jīng)驗間的一種特殊角色，是一項蒙著神秘面紗的創(chuàng)造性思維活動. 然而，目前在中學數(shù)學教學中，教師更多的是關注邏輯思維能力的培養(yǎng)，而缺少對直覺思維能力的培養(yǎng)，長此以往，對學生思維能力的整體發(fā)展十分不利. 事實上，直覺思維才是引領數(shù)學發(fā)現(xiàn)的關鍵步子，而直覺的形成，需要具有數(shù)學美的鑒賞力，經(jīng)歷情感體驗. 下面，筆者將從數(shù)學美與直覺思維的關系以及用數(shù)學美來設計課堂思維的層面闡述直覺思維養(yǎng)成渠道.

溝通數(shù)學美與直覺意識，建構能力養(yǎng)成渠道

阿達瑪認為，數(shù)學直覺的本身就是“美的意識”;而龐加萊畢生事業(yè)就是追求“簡單與宏遠”;愛因斯坦最為欣賞宇宙的統(tǒng)一美與和諧美……科學家們都以美學來譜寫一篇又一篇的科學理論“篇章”，讓數(shù)學美承載著喚起數(shù)學直覺的重任.

不可否認，美的意識是促進數(shù)學直覺的源泉，審美能力的提升有助于激發(fā)學生對數(shù)學事物間的和諧關系的直覺意識，審美能力的高低與數(shù)學直覺能力有著直接的關系.高中生在進行數(shù)學學習時，基于對數(shù)與形的直接感受，再與自身的已有知識經(jīng)驗相融合形成美的意識，不斷喚起一種數(shù)學直覺. 這就要求教師需轉變教學觀念，充分挖掘數(shù)學之美，通過促發(fā)美的意識這一有效載體，實現(xiàn)增強直覺思維能力的目的[1]■.

基于數(shù)學美，預設能力養(yǎng)成路徑

直覺思維能力應該以審美為載體，通過多種教學策略形成路徑. 我們都知道，能力的培養(yǎng)只有在體現(xiàn)能力的活動中才能實現(xiàn)，新課程改革立意下的數(shù)學教學本質就是要將課堂本位交于學生，讓學生的能力得以自然發(fā)展. 因此，教師可以引導學生基于整體觀察的視角，充分挖掘問題間的本質聯(lián)系，以數(shù)學的對稱美、和諧美、嚴謹美等美感為主軸，作為思維生長的載體，使學生通過多方位和多角度的聯(lián)想以及適時的總結和反思，搭建能力養(yǎng)成路徑.

1. 以“充分聯(lián)想”為源泉，鼓勵直覺思維

在問題的解決中，充分利用聯(lián)想，為學生的思維“推波助瀾”，促進多維立體交叉的思維信息網(wǎng)絡的形成，啟迪靈活多變的直覺思維，最終完成對問題的咀嚼.

例1：已知■<α<β<■，且sin（α+β）=■，cos（α-β）=■，則sin2α的值為_____.

分析：不少學生自然而然地去求解sinα和cosα，繁化了解題過程，導致了錯誤.若整體建構找尋出2α、α+β及α-β三者直接的關系，那么很快就可以將本題轉化為三角函數(shù)的基本運算，從而迅速獲解.

解：因為■<α<β<■，所以■<α+β<π，-■<α-β<0，據(jù)sin（α+β）=■，cos（α-β）=■，可得cos（α+β）=-■，sin（α-β）= -■，sin2α=sin[（α+ β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=■.

2. 以“整體洞察”為線索，促發(fā)直覺思維

相較于邏輯思維，直覺思維具有綜合性的特征，而非邏輯思維所展現(xiàn)出的細節(jié)分析，它更側重于探究內容與方向的整體把握和細致觀察. 這就要求學生在解決問題時，需整體洞察問題的結構特征、數(shù)式特征、圖形特征等，并通過聯(lián)想實現(xiàn)問題的化歸，擺脫思維定式的束縛，充分促發(fā)直覺思維的同時，實現(xiàn)思維的創(chuàng)新.

例2：設F1和F2為雙曲線■-y2=1的兩個焦點，且有雙曲線上的一點P滿足∠F1PF2=90°，試求出△F1PF2的面積.

分析：據(jù)題意，可得△F1PF2的面積S=■PF1·PF2. 又有PF1-PF2=4，①PF■+PF■=20，②

此時直接去探究PF1及PF2的值較為煩瑣，而此處需探求的僅僅是PF1·PF2的值.那么可以由②-①2變形可得PF1·PF2=2，因此S=■PF1·PF2=■×2=1.

3. 以“建立模型”為抓手，凸顯直覺思維

數(shù)學建模是一種基本的數(shù)學思想，還是大數(shù)據(jù)下生活中不可或缺的解決問題的工具之一，彰顯了數(shù)學知識間的聯(lián)系與應用，更是凸顯直覺思維的有效策略. 它所體現(xiàn)出來的是一種數(shù)學應用能力，學生在建立數(shù)學模型處理數(shù)學問題時，不僅凸顯了直覺思維，與此同時還實現(xiàn)了自身的知識結構的內化，提高了創(chuàng)新能力.

例3：點P為球O上的一點，過點P作三棱錐P-ABC，使得PA，PB，PC兩兩垂直，且點A，B，C在球面上，若設PA，PB，PC的長分別是a，b，c，試求出球的表面積.

分析：在考慮本題時，若學生的思維定位于三棱錐的圖形，那么解決起來難度較大. 可以從球的對稱性著手，補形該三棱錐為長、寬、高分別是a，b，c的長方體，該長方體的對角線為球的直徑，則有a2+b2+c2=4R2，所以S=4πR2=π（a2+b2+c2）. 本題的本質是將不規(guī)則圖形通過輔助線進行補形，從而挖掘出其中的隱含條件，簡化問題的解決過程，而在整個問題的解決過程中，數(shù)學的對稱美起到了極大的助推效果，其中直覺思維的參與也體現(xiàn)得淋漓盡致.

4. 以“靈活多變”為載體，拓展直覺思維

思維的發(fā)展往往是從問題開始的.教師在教學過程中可以“一題多解、一題多用、一題多變”為依托，引導學生沿著多個方向展開思考，采用多種方法和途徑，并多角度、多層次、全方位進行思考，從而拓展直覺思維的靈動性，達到培養(yǎng)思維敏捷性、發(fā)散性和創(chuàng)新性的目的[2]■.

例4：證明：A（1，5），B（0，2），C（2，8）三點共線.

證法1：首先，求出過其中兩點的直線方程，再證第三點在該直線上，即可得證. 具體證明過程如下：據(jù)A（1，5），B（0，2），可得直線AB的方程為3x-y+2=0①，將C（2，8）代入方程①，成立，由此可證點C（2，8）在直線AB上，由此可得A，B，C三點共線.

證法2：通過證明過同一點的兩條直線的斜率相等，得出這兩條直線相重合，從而得證. （證明過程略）

證法3：據(jù)三點可確定三條線段，證明其中的兩條線段長之和與第三條線段相等，因此這三條線段無法構成三角形，從而得證. （證明過程略）

證法4：借助證明向量■與■共線，亦可得證. （證明過程略）

例5：已知a，b，c，d，e5個不同元素，每次排列需取全，且a和e必排在首位或末尾，試寫出所有排法.

變式1：已知a，b，c，d，e5個不同元素，每次排列需取全，且a和e均不可排在首位或末尾，試寫出所有排法.

變式2：已知a，b，c，d，e5個不同元素，每次排列需取全，且a和e不可相鄰，試寫出所有排法.

變式3：已知a，b，c，d，e5個不同元素，每次排列需取全，且a和e排在一起，試寫出所有排法.

變式4：已知a，b，c，d，e5個不同元素，每次排列需取全，且a必在e的左側（可相鄰，也可不相鄰），試寫出所有排法.

5. 以“充分反思”為依托，領悟直覺思維

基于思維培養(yǎng)的數(shù)學教學，不僅需要以知識經(jīng)驗為基礎進行解題活動，更需注重解題后的反思，讓學生通過多角度和多方位的反思活動來修正錯誤，領悟錯誤的本質，從而達到領悟直覺思維的目的.

例6：一數(shù)學教師現(xiàn)有5張不同的試卷分發(fā)給4名學生，且每人至少領到1張，試求出有多少種不同的分配方式.

分析：因為直覺的引領，學生得出思路：首先，從5張試卷中取出4張，分別發(fā)給4名學生，然后將剩余的1張分別發(fā)給4名學生中的任意一個，因此得出A■A■=480（種），這是學生容易出現(xiàn)的錯誤.因此，教師可以引導學生簡化問題，探究“3張試卷分發(fā)給2名學生”的情形，運用列舉法不難得出得出結果“6種分法”，而從以上思路進行探究結果為“12種分法”，這樣一來，學生便體會到原解法是存在問題的. 在親歷思考、討論和反思后，學生找尋出錯誤根源在于原解法中存在著一定程度上的重復. 此時再從元素間的相互對應關系著手，答案就顯而易見了. 由此不難看出，通過理清錯誤根源，可以對數(shù)學的計數(shù)原理有更深層次的認識，可以提高直覺思維的批判性，可以讓直覺思維的培養(yǎng)得到有效落實[3]■.

總之，作為數(shù)學教師應追求高品質的培養(yǎng)學生直覺思維的過程，讓直覺思維從浮于表象的提升真正走向實質，讓學生在發(fā)現(xiàn)數(shù)學美、體會數(shù)學美、運用數(shù)學美的同時，得到思維的訓練和發(fā)展.讓數(shù)學課堂真正做到將學生能力的培養(yǎng)落實到數(shù)學活動的各個環(huán)節(jié)，讓數(shù)學學科的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)得以落實.

參考文獻：

[1]? 李樹臣. 形成和發(fā)展數(shù)學能力的兩個根本途徑[J]. 中學數(shù)學教學參考，2002（09）.

[2]? 錢從新. 運用推廣與引申的方法培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力[J]. 數(shù)學教育學報，2003，12（1）.

[3]? 趙思林，朱德全. 試論數(shù)學直覺思維的培養(yǎng)策略[J]. 數(shù)學教育學報，2010，19（2）.