基于核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的情境創(chuàng)設(shè)

楊新鵬 董蓉艷

[摘? 要] 學(xué)生習(xí)得的知識與學(xué)科知識的對話、互動過程，就是學(xué)生核心素養(yǎng)的形成過程.文章以北師大版“拋物線的定義”這一內(nèi)容為例，從生活情境、操作情境、歷史情境、數(shù)學(xué)情境等不同角度給出6種引入方式，以供同行參考.

[關(guān)鍵詞] 情境;核心素養(yǎng);拋物線定義

2018年11月16日，陜西師大附屬中學(xué)成功舉辦了“全國部分大學(xué)附屬中學(xué)教學(xué)協(xié)作體第二十七屆年會”，此次年會的主題是“聚焦核心素養(yǎng)，優(yōu)化課堂教學(xué)”.共有來自8所大學(xué)附屬中學(xué)的32位教師進(jìn)行了課堂展示，作為此次會議的參會成員，筆者有幸觀摩了6位老師關(guān)于北師大版“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程第1課時”的展示課.此次展示課的一大亮點(diǎn)在于老師們對“拋物線的定義”一課的引入，繽彩紛呈，各具特色，都從不同角度發(fā)展了學(xué)生的核心素養(yǎng).現(xiàn)將不同的引入方式進(jìn)行整理分析，與同行交流分享.

基于生活情境

拋物線的模型在生活中隨處可見，所以通過實物模型引入拋物線是一種簡單、直接的方式，此次展示課中，6位老師中有2位采用了通過創(chuàng)設(shè)生活情境引入拋物線，以下是他們使用的素材和引入方式（見表1）.

分析：從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā)，開門見山，創(chuàng)設(shè)與生活密切相關(guān)的情境，把生活經(jīng)驗數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)問題生活化，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活的理念，也有利于吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的能力.

基于操作情境

所謂操作情境，就是指根據(jù)學(xué)生所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識或所要解決的數(shù)學(xué)問題的特點(diǎn)設(shè)計需要學(xué)生自己主動參與的操作性活動.

情境創(chuàng)設(shè)

師：如圖1，選擇一張畫有等距平行格線的紙張，作一條垂直格線的直線l，直線l與格線相交于9個空心點(diǎn)，在紙張中心位置取一定點(diǎn)F，依次連接空心點(diǎn)與定點(diǎn)F，再分別作連線的垂直平分線，依次交平行格線得到9個交點(diǎn). 再用平滑的曲線連接每個交點(diǎn)，并思考由對折形成的交點(diǎn)滿足什么樣的幾何條件？

學(xué)生：動手操作，用平滑的曲線依次連接每個交點(diǎn)，得到一條拋物線.

師：得到的每個交點(diǎn)與定點(diǎn)F和定直線l有何關(guān)系？

學(xué)生：每個交點(diǎn)到定點(diǎn)F和到定直線l的距離相等.

師：同學(xué)們可以對拋物線下一個定義嗎？

分析：學(xué)生對拋物線定義的提煉及理解是本節(jié)課的一個重點(diǎn)，設(shè)計一個折紙試驗，能夠讓學(xué)生在動手操作的過程中，經(jīng)歷拋物線的形成過程，從而對定義有更深刻的理解.通過試驗來歸納、抽象出拋物線的定義，有助于發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

生活情境與操作情境相結(jié)合

情境創(chuàng)設(shè)

問題1：某村莊有兩處水源：一條河和一口井，請你畫一條合理的取水分界線，供村民取水時參考.

問題2：實際問題中涉及哪些實物？又該把它們抽象成什么數(shù)學(xué)對象呢？

學(xué)生：河、井，河可以抽象成一條直線，井可以抽象成一個定點(diǎn)，村民的家抽象成平面內(nèi)的一些點(diǎn).

問題3：分界線上的點(diǎn)滿足怎樣的幾何條件呢？

學(xué)生：分界線上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離等于到定直線的距離.

問題4：請同學(xué)描出滿足要求的幾個點(diǎn)，并將點(diǎn)連接成線，了解曲線的大致形狀.

學(xué)生：通過直觀感覺描出3個點(diǎn)，大致看出3個點(diǎn)的連線接近于拋物線形狀.

師：通過動畫演示增加點(diǎn)的個數(shù)，隨著點(diǎn)數(shù)的增加，取水分界線越來越接近于一條開口向上的拋物線，從而引導(dǎo)學(xué)生歸納出拋物線的定義和推導(dǎo)出開口向上的拋物線的方程.

分析：畫出取水分界線，為學(xué)生提供一個能夠探究問題的情景，而不是提供現(xiàn)成的知識.根據(jù)實際問題的特點(diǎn)，將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).通過模擬實際問題的背景，學(xué)生對形成的幾何圖形有了直觀的感知，并歸納得出分界線上點(diǎn)的幾何性質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力和歸納能力.

基于歷史情境

歷史情境是以數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展為出發(fā)點(diǎn)，教師通過對歷史的解讀和理解，選擇具有科學(xué)性的、針對性的、趣味性的數(shù)學(xué)史知識進(jìn)行引入，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)過程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的思想與方法，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的再發(fā)現(xiàn)過程.

情境創(chuàng)設(shè)

希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在其著作《圓錐曲線》中用一個與圓錐的一條母線平行的平面去截該圓錐，他把該平面與該圓錐截得的交線命名為拋物線，那么這條拋物線有什么特點(diǎn)？

師：如圖4所示，一個圓錐里面放置一個球體，一個與母線CE平行且與球體相切的平面MAPG去截圓錐，截出的交線是一條拋物線.BC與球O相切，將BC平移可以得到DO，DO平移得到PA，易證OD⊥AM，所以PA⊥AM.又PQ與PF都與球相切，所以PQ=PF，而PQ=BC，所以PF=BC=PA，所以點(diǎn)P到定直線AM與到定點(diǎn)F的距離相等，點(diǎn)P為截面與上底面圓環(huán)的交點(diǎn)，這樣的交點(diǎn)都在拋物線上，它們都滿足到定直線AM與到定點(diǎn)F的距離相等.

分析：基于歷史的情境創(chuàng)設(shè)方式，揭示了拋物線概念的形成過程，不僅增強(qiáng)課堂的趣味性和文化性，而且使學(xué)生對概念有更加深入的理解，提高學(xué)生對知識的遷移能力，發(fā)展學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).需要說明的是，整個引入對歷史事實的解釋和證明難度較大，學(xué)生難以在較短的時間內(nèi)接受.所以只需要進(jìn)行簡單的史實介紹，讓學(xué)生了解就行.

基于數(shù)學(xué)情境

從數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程來看，數(shù)學(xué)的初次抽象建立在以現(xiàn)實生活情境為素材的原型之上;數(shù)學(xué)一經(jīng)構(gòu)造就具有“形式客觀性”和“相對獨(dú)立性”，從而又可以成為進(jìn)一步抽象的“具體原型”.因此，數(shù)學(xué)情境也可以源于數(shù)學(xué)自身.

情境創(chuàng)設(shè)1

1. 給出兩個數(shù)學(xué)問題：

（1）已知動點(diǎn)P到定點(diǎn)F（0，1）的距離與到直線y=-1的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是什么？

學(xué)生：通過計算得到點(diǎn)P的軌跡方程為y=■x2，為開口向上的拋物線.

（2）已知動點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是什么？

學(xué)生：通過計算得到點(diǎn)P的軌跡方程為y2=4x，猜測為開口向右的拋物線.

2. 利用圖形計算器畫出上述兩個問題中動點(diǎn)的軌跡，觀察第二個圖像是不是拋物線？兩個圖像有什么關(guān)系？

學(xué)生：運(yùn)用圖形計算器，發(fā)現(xiàn)第二個圖像仍為拋物線，并且兩個圖像關(guān)于y=x對稱.

3. 請問這兩個問題中點(diǎn)P的條件有什么共性？

學(xué)生：點(diǎn)P到定點(diǎn)距離等于到定直線的距離.

師：你能給拋物線下一個定義嗎？（給出拋物線的定義）

情境創(chuàng)設(shè)2

師： 在拋物線y=■x2上任取幾個點(diǎn)，計算這幾個點(diǎn)到定點(diǎn)（0，1）和到定直線y=-1的距離，觀察結(jié)果，得到什么結(jié)論？

學(xué)生：通過計算發(fā)現(xiàn)，拋物線y=■x2上任意選取的點(diǎn)到定點(diǎn)（0，1）和到定直線y=-1的距離相等.可設(shè)拋物線y=■x2上的點(diǎn)為a，■a2，易得a，■a2到（0，1）的距離為■= ■=■a2+1，a，■a2到y(tǒng)=-1的距離為■a2+1=■a2+1，所以拋物線y=■x2上的每個點(diǎn)到定點(diǎn)（0，1）和到定直線y=-1的距離都相等.

師：看來，平面內(nèi)給定一條拋物線，存在一個定點(diǎn)和一條定直線，使得拋物線上的點(diǎn)到這個定點(diǎn)和這條定直線的距離相等.那么反之，平面內(nèi)到一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線嗎？（引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程）

分析：以上兩種方式，都是以數(shù)學(xué)問題為載體，從二次函數(shù)圖像是拋物線這個認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，引發(fā)學(xué)生對拋物線進(jìn)行更深層次的思考. 第一種方式中，學(xué)生可在實踐操作中，體會拋物線幾何本質(zhì)發(fā)揮的作用，在此基礎(chǔ)上，提煉概念，補(bǔ)充概念，運(yùn)用概念.第二種方式探究拋物線上的幾個特殊點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線距離的關(guān)系，進(jìn)而探究拋物線上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從特殊到一般，反過來，研究滿足到定點(diǎn)和定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是否是拋物線，體現(xiàn)了曲線與方程的純粹性和完備性，兩種方式都不同程度地發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力。