相關于遺傳撓理論的Rickart模

李煜彥，王奇臨

(隴南師范高等專科學校 數(shù)信學院,甘肅 隴南 742500)

近年來,Rickart環(huán)和模受到了許多學者的關注[1-3].而Rickart環(huán)和模與Baer環(huán)和模[4-6]有著非常緊密的聯(lián)系.Ebrahimi等[7]利用第二奇異子模引入了t-Rickart模的概念,研究了t-Rickart模的性質及等價刻畫,討論了t-Rickart模,t-Baer模和t-extending模之間的緊密關系.Asgari等[8]引入了對偶t-Rickart模,研究了對偶t-Rickart模的性質和等價刻畫.Ungor等[9]從奇異子模和對偶Goldie撓理論的角度研究了Rickart模.Abdelwhab等[10]研究了其自同態(tài)環(huán)是Rickart環(huán)的模,并稱其為R-endoRickart模.?eken等[11]從遺傳撓理論的角度引入τ-本質子模和τ-extending模的概念,研究了τ-extending模的直和分解.李慶等[12-13]先后研究了交換環(huán)的w-弱finitistic維數(shù)以及UP整環(huán)上的u-有限表現(xiàn)型模.

受上述啟發(fā),本文從遺傳撓理論的角度研究了Rickart模,提出了τ-Rickart模的概念,它是t-Rickart模的推廣.文中研究了τ-Rickart模的性質,討論了τ-Rickart模與Rickart模以及τ-Baer之間的關系,給出了τ-Rickart的等價刻畫.

本文中的撓理論均指遺傳撓理論,環(huán)都是有單位元的結合環(huán),模指酉右R-模.用τ(M)表示M的所有τ-撓子模的和.稱撓理論是穩(wěn)定的,如果撓類T關于內射包封閉,等價地說,τ(M)是M的閉子模.設S=End(MR),I≤SS用rM(I)={m∈M|Im=0}表示I在M中的右零化子,τM(I)={m∈M|Im∈τ(M)}表示I在M中的τ-零化子.

1 定義及引理

定義1[11]設N≤M,稱N是M的τ-本質子模,如果對M的任意子模K,若N∩K?τ(M),則K?τ(M),記為N?τM.此時也稱M是N的τ-本質擴張.如果N沒有真的τ-本質擴張,則稱N是M的τ-閉子模.

引理1 設N≤M,考慮以下條件:

i)N?τM;

iii)N+τ(M)≤eM.

則i) ?ii) ?iii).

特別地,若τ是穩(wěn)定的撓理論,則ii)?iii).

證明i)?ii)由文獻[14]得證.

ii)?iii) 由文獻[15]得證.

對任意f∈End(M),令τM(f)={m∈M|fM∈τ(M)}.

下面給出τ-Baer模和τ-Rickart模的定義.

定義2 稱M是τ-Baer模,如果對End(M)的任意左理想I,τM(I)是M的直和因子.

定義3 稱M是τ-Rickart模,如果對任意f∈End(M),τM(f)是M的直和因子.

顯然,τ-Baer模是τ-Rickart模.

由定義3及文獻[7]和文獻[11]的內容,易得如下結論.

引理2 以下結論成立:

i) 所有半單模和τ-撓模都是τ-Rickart模;

ii)τ-Rickart模是t-Rickart模;

iii) 若M是τ-撓自由的,則M是τ-Rickart模當且僅當M是Rickart模;

iv) 若M是τ-撓自由且非奇異的,則M是t-Rickart模當且僅當M是τ-Rickart模當且僅當M是Rickart模.

證明i) 若M是半單模,則M的任意子模都是M的直和因子,故M是τ-Rickart模.若M是τ-撓模,則τ(M)=M.于是對任意f∈End(M),τM(f)=M.從而τM(f)是M的直和因子.因此M是τ-Rickart模.

ii) 由于M的Goldie撓子模τG(M)恰是M的第二奇異子模Z2(M),故τ-Rickart模是t-Rickart模.

iii) 若M是τ-撓自由的,則τ(M)=0.于是對任意f∈End(M),τM(f)=rM(f).因此τM(f)是M的直和因子當且僅當rM(f)是M的直和因子.從而M是τ-Rickart模當且僅當M是Rickart模.

iv) 若M是τ-撓自由且非奇異的,則Z2(M)=τ(M)=0.與iii)的證明類似,M是t-Rickart模當且僅當M是τ-Rickart模當且僅當M是Rickart模.

2 主要結論

下面給出τ-Baer模的等價刻畫.

定理1 以下條件等價:

i)M是τ-Baer模;

ii)M=τ(M)⊕M′,其中M′是(撓自由)Baer模.

ii)?i) 設M=τ(M)⊕M′,其中M′是(撓自由)Baer模.令S′=End(M′),I≤End(M)End(M),A′={πM′φ|M′|φ∈I},J=S′A′,則τM(I)=τ(M)⊕rM′(J).由于M′是Baer模,故rM′(J)是M′的直和因子,從而τM(I)是M的直和因子.因此M是τ-Baer模.

由文獻[1]和文獻[7]知,Rickart模和t-Rickart模關于直和因子是封閉的.類似地,關于τ-Rickart模,有：

性質1τ-Rickart模的直和因子仍是τ-Rickart模.

證明設M是τ-Rickart模,N是M的直和因子,f∈End(N).設L≤M,M=N⊕L.則f⊕1End(L)∈End(M),故τM(f⊕1End(L))是M的直和因子.由于τM(f⊕1End(L))=τN(f)⊕τ(L),故由模律可知τN(f)是N的直和因子.從而N是τ-Rickart模.

下面給出τ-Rickart模的等價刻畫.

定理2 下列條件等價:

i)M是τ-Rickart模;

ii)M=τ(M)⊕M′,其中M′是(撓自由)Rickart模;

iii) 對任意f∈End(M),f-1(τ(M))是M的直和因子.

證明i)?ii) 設M是τ-Rickart模.由于τM(1End(M))=τ(M),故τM(1End(M))=τ(M)是M的直和因子.因此存在M′≤M,使得M=τ(M)⊕M′.由性質1知,M′是τ-Rickart模.因為M′是撓自由的,所以M′是Rickart模.

ii) ?i) 設M=τ(M)⊕M′,其中M′是Rickart模.由于M′是M的直和因子,故存在e2=e∈End(M),使得M′=eM.

設f∈End(M),下證τM(f)=τ(M)⊕rM′(efe).

一方面,設m=m1+m2∈τM(f),其中m1∈τ(M),m2∈M′.則f(m)=f(m1)+f(m2)∈τ(M).由于f(m1)∈τ(M),故f(m2)=f(m)-f(m1)∈τ(M).于是efe(m2)=ef(m2)=0,因此m2∈rM(efe).從而τM(f)?τ(M)⊕rM′(efe).

另一方面,設m=m1+m2∈τ(M)⊕rM′(efe),其中m1∈τ(M),m2∈M′.因為M′=eM,所以ef(m1)=0.故ef(m)=ef(m1)+ef(m2)=ef(m1)+efe(m2)=0.因此f(m)∈Ker(e)=f(M).從而τ(M)⊕rM′(efe)?τM(f).

因為M′是Rickart模,所以rM′(efe)是M′的直和因子.因此τM(f)是M的直和因子.從而M是τ-Rickart模.

i) ?iii) 因為τM(f)=f-1(τ(M)),所以對任意f∈End(M),τM(f)是M的直和因子當且僅當f-1(τ(M))是M的直和因子,因此結論成立.

下面例子說明τ-Rickart模不一定是τ-Baer模.

例1 設R是環(huán),M,N是R-模.若M是撓自由Rickart模但不是Baer模.則由定理1和定理2知,M⊕τ(N)是τ-Rickart模,但不是τ-Baer模.

下面利用模的SSIP性質和τ-Rickart模,給出τ-Baer模的一個等價刻畫.

性質2M是τ-Baer模當且僅當M是τ-Rickart模,且M對包含τ(M)的直和因子有SSIP性質.

充分性 若M是τ-Rickart模,且M的包含τ(M)的直和因子有SSIP性質.由定理2知,對任意f∈End(M),f-1(τ(M))是M的直和因子.

另外,設I≤SS,則τM(I)=∩φ∈Sφ-1(τ(I)).因為τ(M)?φ-1(τ(M)),所以τM(I)是M的直和因子.從而M是τ-Baer模.

從而由定理1知,M是τ-Baer模.

對于自同態(tài)環(huán)沒有無限非零正交冪等元的模,下面結論將說明,其模的τ-Baer性質和τ-Rickart性質是等價的.

性質3 設M是模.若End(M)沒有無限非零正交冪等元,則M是τ-Baer模當且僅當M是τ-Rickart模.

證明必要性是顯然的，下面證明充分性.

因為End(M)沒有無限非零正交冪等元,所以End(M′)沒有無限非零正交冪等元.由文獻[1]知,M′是Baer模.從而由引理1知,M是τ-Baer模.

下面給出τ-Rickart模和Rickart模之間的一個關系.

性質4M是Rickart模且τ(M)是M的直和因子當且僅當M是τ-Rickart模,且對任意f∈End(M),rM(f)是τM(f)的直和因子.

證明必要性 設M是Rickart模,則對任意f∈End(M),rM(f)是M的直和因子,設M=rM(f)⊕H.因為τ(M)是M的直和因子,故存在N≤M,使得M=τ(M)⊕N.由文獻[1]知,N也是Rickart模.于是由定理2知,M是τ-Rickart模.又因為rM(f)≤τM(f),所以τM(f)=τM(f)∩(rM(f)⊕H)=rM(f)⊕(τM(f)∩H),因此rM(f)是τM(f)的直和因子.

充分性 設M是τ-Rickart模,且對任意f∈End(M),rM(f)是τM(f)的直和因子.由定義3及定理2知,τM(f)和τ(M)都是M的直和因子.故rM(f)是M的直和因子.從而M是Rickart模.

性質5 設M是模.考慮以下條件:

i)M是τ-Rickart模;

ii) 對任意f∈End(M),存在M的直和因子K,使得τM(f)≤tesK;

iii) 對任意f∈End(M),存在M的直和因子K,使得τM(f)≤eK.

則i)?ii)?iii).

證明i)?ii) 設M是τ-Rickart模,則對任意f∈End(M),τM(f)是M的直和因子.令K=τM(f),則τM(f)≤tesK.

ii)?iii) 假設對任意f∈End(M),存在M的直和因子K,使得τM(f)≤tesK.因為τ(M)?τM(f),所以由引理1知,τM(f)≤eK.