常規(guī)Hayward黑洞的經(jīng)典驗證

胡冀萬,劉珺茹,曾可欣,劉顯明

(1.阿壩師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 汶川 623000；2.湖北民族大學(xué) 信息工程學(xué)院，湖北 恩施 445000)

黑洞是廣義相對論預(yù)言的最重要的成果之一.它有一個有趣的性質(zhì)是,在廣義相對論中,球?qū)ΨQ黑洞的內(nèi)部有一個奇點,轉(zhuǎn)動黑洞內(nèi)部有一個奇環(huán).這里奇點和奇環(huán)都統(tǒng)稱為奇點.它與坐標(biāo)系的選擇沒有關(guān)系,反映了時空的內(nèi)在性質(zhì)[1].在20世紀(jì)70年代,霍金和彭若斯[2-3]提出了這一著名的奇點定理,并用微分幾何的方法進(jìn)行了嚴(yán)格的證明.他們還提出了一個新的觀點,奇點總是要么整個存在于將來(如引力坍縮的奇點),要么整個存在于過去(如大爆炸)[4].換句話說奇點可以看作是時間的開始或終結(jié).后來,奇點對黑洞的影響也相繼被研究[1].

為了避免黑洞的奇點,第一個沒有奇點的黑洞模型(也叫常規(guī)黑洞)被巴丁提出并且研究[5],他發(fā)現(xiàn)其度規(guī)具有球?qū)ΨQ性、靜態(tài)性、漸近性等特征存在,并且由此產(chǎn)生的愛因斯坦張量在物理上是合理的,它滿足弱能量條件.最簡單的因果結(jié)構(gòu)類似于Reissner-Nordstrom黑洞,它的內(nèi)部奇點被常規(guī)黑洞中心所取代.近年來,常規(guī)黑洞由于其特殊的性質(zhì)和漸近結(jié)構(gòu)引起了人們的廣泛關(guān)注[6-13].研究表明,所有這些常規(guī)黑洞模型都違反了強能量條件,破壞了奇點定理.最近的研究發(fā)現(xiàn),在常規(guī)黑洞中,出現(xiàn)了一些有趣的物理現(xiàn)象,如熱力學(xué)相變[14]、準(zhǔn)正則模[15-17]、全息超導(dǎo)體[18]等.

最近Hayward第一個提出了一個的沒有奇點黑洞分析模型[9].它描述了一個孤立的四維球?qū)ΨQ的常規(guī)Hayward黑洞或者無奇點黑洞,包含了一個新參數(shù)l(與中心能量密度3/8πl(wèi)2有關(guān))和黑洞質(zhì)量M.這與巴丁黑洞相似[5],并在l=0時簡化為史瓦西解,M=0時為平直解.在本文中,將討論常規(guī)Hayward黑洞框架下廣義相對論的經(jīng)典實驗.在l→0極限下,常規(guī)Hayward黑洞在廣義相對論上類似于史瓦西黑洞,并且是漸近平直的.因此,為了驗證常規(guī)Hayward黑洞的可行性,研究廣義相對論的更高階修正是有必要的.廣義相對論的經(jīng)典實驗包括引力紅移、水星近日點進(jìn)動、光線偏折和雷達(dá)回波延遲.到目前為止,已有許多文獻(xiàn)研究了關(guān)于廣義相對論中史瓦西黑洞的經(jīng)典檢驗[19-21].基于此,進(jìn)一步研究在常規(guī)Hayward黑洞框架下靜態(tài)引力場的廣義相對論經(jīng)典檢驗是有意義的.

1 準(zhǔn)備知識

在21世紀(jì)初,常規(guī)Hayward黑洞被提出,其度規(guī)[9]為：

(1)

2 引力紅移

在穩(wěn)態(tài)引力場中,從恒星某處發(fā)射的光子的頻率在有限距離內(nèi)被觀測到[21]：

(2)

這里v0是恒星表面的固有頻率.v與v0之間的差為：

(3)

因此,可以得到引力紅移的相對值,它被定義為：

(4)

那么：

(5)

(6)

因此,u是一個小量,式(5)可用泰勒級數(shù)展開得：

(7)

3 水星近日點進(jìn)動

(8)

(9)

(10)

當(dāng)粒子為質(zhì)點時,η=1,仿射參量λ取為τ,τ為固有時,當(dāng)粒子為光子時,η=0,仿射參量λ不能取τ.

對于行星,η取為1,結(jié)合式(9)和式(10),消去τ,可以得到自由粒子的運動方程為：

(11)

(12)

由式(6)可知u是一個小量,式(12)右端u的6階項和8階項比前一項小的多,因此,忽略u的6階項和8階項,則方程(12)可變?yōu)椋?/p>

(13)

在牛頓理論中,行星在橢圓軌道上運動的微分方程為[21]：

(14)

通過計算,式(14)的一般解為：

(15)

這里的e為軌道的偏心率,由于水星的軌道偏心率非常小,因此e是一個小量.

3u2～10-10,

(16)

以及u的3階和4階修正項的數(shù)量級更小.

這樣這里就可以將式(15)看作是式(13)解的零級近似.并且將這個零級近似代入式(13),忽略e的高階項,很容易得到：

(17)

比較式(17)最后兩項,可以看到最后一項要遠(yuǎn)小于前一項.因此,忽略最后一項,則式(17)可改寫為:

(18)

其中:

(19)

解方程(19)得:

(20)

(21)

可以看到行星的軌道仍然是周期性的，但其周期不再是2π,而是:

(22)

則近日點進(jìn)動角為:

(23)

其中式(23)中第一項正是標(biāo)準(zhǔn)廣義相對論的結(jié)果,而第二項是在常規(guī)Hayward黑洞框架下,標(biāo)準(zhǔn)廣義相對論的修正.并且在常規(guī)Hayward黑洞背景下近日點的進(jìn)動角小于標(biāo)準(zhǔn)廣義相對論的結(jié)果.

4 光線偏折

(24)

(25)

(26)

由于式(26)右端的最后一項遠(yuǎn)小于前一項,因此保留五階項,那么式(26)可變?yōu)椋?/p>

(27)

(28)

當(dāng)m=0時式(28)與狹義相對論的極限近似,并且對應(yīng)的解為：

(29)

其中常數(shù)r是最接近太陽中心的距離.在m≠0的情況下,考慮到式(28)右邊的兩項是一個很小的量,因此,式(29)可以看成是式(28)的零級近似解,將這個零級近似解代入式(28)右端,從而得到：

(30)

通過解方程(30)得到：

(31)

(32)

因此,太陽附近時空彎曲造成的光線偏折角為：

(33)

式(33)中第一項是在標(biāo)準(zhǔn)廣義相對論框架下得到的偏折角,第二項是在常規(guī)Hayward黑洞框架下對標(biāo)準(zhǔn)廣義相對論的修正.可以看到常規(guī)Hayward黑洞的光線偏折角比標(biāo)準(zhǔn)廣義相對論中的小.

5 雷達(dá)回波延遲

考慮到一個雷達(dá)信號從地球發(fā)射出來,經(jīng)過行星反射返回地球后,通過這個問題來可以分析雷達(dá)回波延遲問題.現(xiàn)在,假設(shè)t(r1,r2)是在r=r1時雷達(dá)信號發(fā)射與在r=r2時接收到信號的坐標(biāo)時間,那么從地球發(fā)射雷達(dá)回波信號與接收回波信號之間的時間可以簡單地表示為：

T=2[t(RE,rmin)+t(RP,rmin)],

(34)

(35)

式(35)兩邊同時除以c2dt2,得到：

(36)

結(jié)合式(9)和式(10)可以得到：

(37)

(38)

(39)

則式(38)可寫為：

(40)

然后對式(40)兩邊同時對r進(jìn)行積分得到：

(41)

(42)

則：

(43)

積分得：

(44)

由于RE和RP都遠(yuǎn)大于rmin,因此可以得到雷達(dá)波從地球r=RE發(fā)射到r=rmin的時間為：

(45)

再從r=rmin到行星r=RP的時間為：

(46)

以及雷達(dá)波發(fā)射出去和返回的總時間為：

T=2[t(RE,rmin)+t(RP,rmin)]=

(47)

因此,星體的雷達(dá)回波總延緩時間為：

(48)

式(48)中第一項正是標(biāo)準(zhǔn)廣義相對論的結(jié)果,后兩項是來自常規(guī)Hayward黑洞的高階修正項.此外,常規(guī)Hayward黑洞的雷達(dá)回波延遲時間比標(biāo)準(zhǔn)廣義相對論的雷達(dá)回波延遲時間短.

6 結(jié)論

本文研究了常規(guī)Hayward黑洞的廣義相對論的經(jīng)典實驗驗證,討論了常規(guī)Hayward黑洞中的參數(shù)l對實驗結(jié)果的影響.文章通過細(xì)致的理論推導(dǎo)發(fā)現(xiàn),對于常規(guī)Hayward黑洞引力紅移、水星近日點進(jìn)動、光線偏折、雷達(dá)回波延遲的高階修正項是與參數(shù)l有關(guān),比標(biāo)準(zhǔn)的廣義相對論結(jié)果要小.對常規(guī)Hayward黑洞的廣義相對論的經(jīng)典實驗驗證的討論,不僅可以為今后實驗檢驗引力理論的可能性提供有力的方法,同時也可以約束常規(guī)Hayward黑洞本身的參數(shù).