求解非線性分數(shù)階偏微分方程精確解的幾種方法

張 慧

(西南科技大學城市學院 通識教育學院，四川 綿陽 621000)

生活中許多問題的數(shù)學模型最終都可以歸結(jié)為整數(shù)階微分方程的定解問題，整數(shù)階微積分無論在理論分析還是數(shù)值求解方面的發(fā)展都相對比較完善.如：劉倩等[1]研究了一類非線性電路方程的行波解,房春梅[2-3]研究了Backlund變換問題，敖特根[4]構(gòu)造了非線性發(fā)展方程的一種新形式解.然而，整數(shù)階微分方程求解領(lǐng)域的現(xiàn)有方法，無法直接應(yīng)用到分數(shù)階微分方程求解領(lǐng)域中去，所以目前求解分數(shù)階微分方程的方法相對較少.

隨著分數(shù)階微積分理論的發(fā)展，力學、工程技術(shù)學、物理學、生命科學和應(yīng)用數(shù)學等領(lǐng)域的工作者越來越關(guān)注分數(shù)階偏微分方程的解法的研究.近幾十年來，陸陸續(xù)續(xù)提出了許多有效的求解方法，包括格林函數(shù)法[5]、Adomian分解法[6]、首次積分法[7]、同倫函數(shù)法[8]、李群理論方法[9]、不變子空間方法[10]、分式變分迭代法[11]、分數(shù)復(fù)變換法[12]、分離變量法[13]、Laplace變換法[14]以及分離變量法與齊次平衡原理相結(jié)合的方法[15]等等.

然而，上述方法各自既有優(yōu)點，又有局限.對于更加復(fù)雜的分數(shù)階微分模型，并不存在哪一種方法具有普遍的適用性.本文將采用3種不同的方法分別求解時間分數(shù)階擴散-對流微分方程，通過分析得到的各類精確解的動力學性質(zhì)，比較3種方法的利弊.

1 分數(shù)階擴散-對流方程的精確解

分別使用不變子空間法、變量分離與齊次平衡相結(jié)合的方法以及齊次平衡與積分分支相結(jié)合的方法來研究時間分數(shù)階擴散-對流方程[16]的精確解：

(1)

其中f(u)和g(u)分別是擴散和對流項，為了說明方便，將考慮具體形式進行討論.令f(u)=u,g(u)=k1為常數(shù)，可以得到以下時間分數(shù)階偏微分方程：

(2)

1.1 不變子空間法

考慮子空間W3=L{1,x,x2}，于是可得如下形式的精確解：

u(x,t)=C1(t)+C2(t)x+C3(t)x2，

(3)

其中C1(t)、C2(t)、C3(t)為待定函數(shù).將式(3)代入式(2)，讓x的同次冪的所有系數(shù)都等于零得：

(4)

求解方程組(4)可得：

(5)

于是可得方程(2)的一個精確解為：

(6)

1.2 變量分離與齊次平衡相結(jié)合的方法

假設(shè)方程(2)有如下形式的解[17]：

(7)

u(x,t)=a0tγ0+a1tγ1x+a2tγ2x2.

(8)

其中γ0、γ1、γ2、a0、a1,a2為待定常數(shù).將式(8)代入方程(2)中得:

(9)

在式(9)中讓t的所有冪指數(shù)相等，可得:

γ0-α=γ1-α=γ2-α=2γ1=γ0+γ2=γ1+γ2=2γ2.

(10)

求解式(10)可得:

γ0=γ1=γ2=-α.

(11)

在式(9)中，利用齊次平衡原理，讓:

(12)

求解式(12)得:

(13)

將式(11)和式(13)代入式(8)，可得方程(2)的一個精確解為:

(14)

其中a1為任意常數(shù).

1.3 齊次平衡與積分分支法相結(jié)合的方法

假設(shè)方程(2)具有下列分離變量類型的精確解[18]:

u(x,t)=[a0+a1v(x)]tγ.

(15)

將式(15)代入式(2)得:

(16)

根據(jù)齊次平衡原理，讓式(16)中所有t的冪指數(shù)相等可得：

γ-α=2γ.

(17)

解得γ=-α，再將其代入式(16)并消去t-2α可得:

(18)

(19)

dx=(a0+a1v)dτ,

(20)

其中τ是一個參數(shù)，因此，系統(tǒng)(19)可以簡化為一個規(guī)則的平面系統(tǒng):

(21)

顯然，系統(tǒng)(21)和(19)有相同的首次積分:

(22)

其中h是一個積分常數(shù).方程(22)可以改寫為:

(23)

接下來，利用積分分岔法，將分情況討論(2)的精確解.

情形1a0≠0,h=0，方程(22)可化簡為:

(24)

(25)

(26)

其中c1為任意常數(shù)，且常數(shù)a1≠0.將式(26)與γ=-α代入式(15)可得方程(2)的一個精確解:

(27)

(28)

(29)

其中c2為任意常數(shù)，且常數(shù)a1≠0.將式(29)與γ=-α代入式(15)可得方程(2)的另一個精確解：

(30)

(31)

(32)

對式(32)積分并且令積分常數(shù)為零可得:

(33)

(34)

其中E(ω1τ,k1)是第二類橢圓積分函數(shù)，將式(33)和a0=0代入式(15)，再聯(lián)立式(34)式可得方程(2)的一個精確解:

(35)

其余情況也類似處理，本文不作討論.

2 結(jié)語

本文利用不變子空間法、變量分離與齊次平衡原理相結(jié)合的方法、齊次平衡與積分分支相結(jié)合的方法分別求解時間分數(shù)階擴散-對流微分方程的精確解.通過對這些精確解的動力學性質(zhì)和動力學行為詳細分析后發(fā)現(xiàn)，當時間t趨于正無窮時，t-α趨近于0，故解u具有隨時間t的增加而衰減的特性；從精確解的類型來看，不變子空間法與變量分離與齊次平衡原理相結(jié)合的方法所得的精確解類型比較少，計算過程相對比較簡便；而齊次平衡與積分分支相結(jié)合的方法所得精確解的類型比較豐富，包括參數(shù)形式的解、周期形式的解和冪函數(shù)形式的解、橢圓積分函數(shù)形式的解，更容易分析方程的物理意義，但是其計算相對比較復(fù)雜.因此這些方法雖然都能夠求解分數(shù)階微分方程的精確解，但是各有利弊，可以根據(jù)需求選取相應(yīng)的求解方法.