約束Hamilton 系統(tǒng)的對稱性與守恒量的某些研究進(jìn)展

鄭明亮， 馮 鮮

（無錫太湖學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 無錫214064）

當(dāng)力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)的Hessian 矩陣不滿秩（奇異動力系統(tǒng)），利用Legendre 變換，從Lagrange 體系過渡到Hamilton 體系描述時，在相空間中正則變量之間將存在固有內(nèi)在約束（也稱Dirac 約束），稱為約束Hamilton 系統(tǒng)[1]。 現(xiàn)實(shí)中眾多重要有用的系統(tǒng)均符合這類模型，它是力學(xué)界、控制界、數(shù)學(xué)界以及其他學(xué)術(shù)界共同關(guān)注的重要課題，它在近代理論物理（量子、光、電磁等）[2-4]、機(jī)械工程中機(jī)器人系統(tǒng)[5]、電力工業(yè)和自動化控制[6]等領(lǐng)域都有廣闊的應(yīng)用背景。 1940年末，Dirac[7-8]和Bergmann[9-10]首先開始了對此類系統(tǒng)的研究，他們最初的目的主要是為力學(xué)量子化和量子場論服務(wù)的。 近80年，約束Hamilton 系統(tǒng)動力學(xué)理論尤其是積分理論的研究得到了很大發(fā)展，取得了許多重要成果。 筆者在目前相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，就約束Hamilton 系統(tǒng)的對稱性與守恒量問題進(jìn)行總結(jié)歸納分析，并提出了進(jìn)一步研究建議。

1 約束Hamilton 系統(tǒng)動力學(xué)的積分理論：對稱性和守恒量

尋求力學(xué)系統(tǒng)的積分曲線是約束系統(tǒng)動力學(xué)的主要任務(wù)，其方法也是層出不窮和不斷發(fā)展，從最初的場積分方法、勢積分方法和雅可比最終乘子法到近代的各種對稱性方法。 研究發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的對稱性和守恒量（首次積分、積分不變量等）緊密相關(guān)、相互影響。 通過系統(tǒng)對稱性獲得守恒量已是現(xiàn)代最實(shí)用普遍的方法。經(jīng)典理論到量子理論的發(fā)展，將連續(xù)對稱的研究（時空對稱和內(nèi)部對稱）擴(kuò)充到了分立對稱的研究；微觀領(lǐng)域規(guī)律的深入探索，將整體對稱的分析擴(kuò)充到了定域?qū)ΨQ的研究。

1.1 經(jīng)典水平下的對稱性理論

1.1.1 變分原理與正則方程

對于約束Hamilton 系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)就是存在固有內(nèi)在約束[1，11]

此約束也必須滿足虛位移和等時變分的限制性條件

固定邊界條件的力學(xué)系統(tǒng)Hamilton 變分原理是指

對于獨(dú)立和非獨(dú)立的qi、pi只要合理選擇約束乘子λj，合并（2）和（3）式，則得系統(tǒng)正則方程為

其中HT=H+λjΦj稱為總Hamilton 函數(shù)。 奇異系統(tǒng)正則方程（4）式必須與基于D'Alembert-Lagrange 原理得到系統(tǒng)的位形空間運(yùn)動方程等價。

這里需要說明一下關(guān)于約束乘子λj的求解，系統(tǒng)內(nèi)在約束隨時間的演化應(yīng)該是穩(wěn)定的，初級約束的時間微商為零，即約束的自恰性條件為

（5）式可能出現(xiàn)：（I）是恒等式；（II）是約束乘子的完全確定方程；（III）不完全方程，需導(dǎo)出新的次級約束。

（I）和（II）情況較簡單，這里不贅述。 對于（III）情況，由于出現(xiàn)新的次級約束

次級約束同樣滿足相容性條件，對于有限自由度系統(tǒng)，重復(fù)上述步驟，可逐次得次級約束依次為

1.1.2 Noether 對稱性

Noether 對稱性是指Hamilton 作用量在無限小群變換下的一種不變性[12-13]。 由Noether 對稱性可找到守恒量；反之，由守恒量可找到相應(yīng)的Noethar 對稱性。

對于約束Hamilton 系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)奇異性導(dǎo)致的固有內(nèi)在約束的Noether 等式為

上式中雖不出現(xiàn)生成元函數(shù)ηs，實(shí)際上ηs可由ξ0、ξk表示

而Noether 守恒量有形式

對于非保守約束Hamilton 系統(tǒng)，Noether 等式需增加與非保守力相關(guān)的項(xiàng)，而守恒量仍有形式（10）[14-15]。對非完整系統(tǒng)，除Noether 等式外，生成元還要受到非完整約束的限制[16-17]，守恒量仍有形式（10）。 要找到所有Noether 對稱性也是不容易的，因?yàn)橐釱illing 方程那樣的偏微分方程。

問題1由Noether 對稱性導(dǎo)出的守恒量被稱為Noether 守恒量。 什么是非Noether 守恒量? 對于約束Hamilton 系統(tǒng)是否存在Noether 對稱性還導(dǎo)致其他形式的守恒量？

1.1.3 Lie 對稱性

Lie 對稱性是利用系統(tǒng)的動力學(xué)方程在無限小群變換下的不變性尋求系統(tǒng)守恒量[18-19]。

對于約束Hamilton 系統(tǒng)，Lie 對稱性的確定方程表為

內(nèi)在約束的不變性歸結(jié)為限制方程為

對于約束Hamilton 系統(tǒng)， 因?yàn)槠娈愋詫?dǎo)致內(nèi)在約束以及約束的限制條件， 需要將系統(tǒng)的Lie 對稱性分成：Lie 對稱性（生成元滿足式（11））、弱Lie 對稱性（生成元滿足式（11）和（12））、強(qiáng)Lie 對稱性（生成元滿足式（11）、（12）和（2））。

Lie 對稱性在一定條件下可導(dǎo)致多種形式守恒量， 若Lie 對稱的生成元還同時滿足結(jié)構(gòu)方程即Noether等式（8），則約束Hamilton 系統(tǒng)Lie 對稱同樣導(dǎo)致Noether 型守恒量（10）[20]。

對于非保守約束Hamilton 系統(tǒng)，Lie 確定方程需增加與非保守力相關(guān)的項(xiàng)，結(jié)構(gòu)方程也需要增加與非保守力相關(guān)的項(xiàng)，守恒量仍有形式（10）[21-22]。 對非完整系統(tǒng)，除Lie 對稱確定方程和限制方程外，生成元還要受到非完整約束的附加限制，守恒量仍有形式（10）。

同時需要考慮，外在非完整約束對系統(tǒng)奇異性約束是否產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)？ 兩者滿足什么條件才可以相容？

問題2目前對于約束Hamilton 系統(tǒng)的守恒量都是集中在Noether 型，約束Hamilton 系統(tǒng)的Lie 對稱性導(dǎo)致的Hojman 型守恒量以及新型守恒量的條件結(jié)構(gòu)方程是什么？守恒量的形式與經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的Lie 對稱性導(dǎo)致的Hojman 型守恒量以及新型守恒量有什么差異？

1.1.4 Mei 對稱性

Mei 對稱性是利用動力學(xué)方程中的動力學(xué)函數(shù)在無限小群變換下仍保持原方程形式不變尋求系統(tǒng)的守恒量[23]。

對于約束Hamilton 系統(tǒng)，滿足的確定方程為

同樣，內(nèi)在約束的不變性歸結(jié)為限制方程（12）。

對于約束Hamilton 系統(tǒng)，因?yàn)槠娈愋詫?dǎo)致內(nèi)在約束以及約束的限制條件，需要將系統(tǒng)的Mei 對稱性分成：Mei 對稱性（生成元滿足式（13））、弱Mei 對稱性（生成元滿足式（13）和（12））、強(qiáng)Mei 對稱性（生成元滿足式（13）、（12）和（2））。

Mei 對稱性在一定條件下也可導(dǎo)致多種形式守恒量， 若Mei 對稱的生成元還同時滿足結(jié)構(gòu)方程即Noether 等式（8），則系統(tǒng)Mei 對稱同樣導(dǎo)致Noether 型守恒量（10）[24]。

對于非保守約束Hamilton 系統(tǒng)，Mei 確定方程需增加與非保守力相關(guān)的項(xiàng)，結(jié)構(gòu)方程也需要增加與非保守力相關(guān)的項(xiàng)，守恒量仍有形式（10）。 對非完整系統(tǒng)，除Mei 對稱確定方程和限制方程外，生成元還要受到非完整約束的附加限制，守恒量仍有形式（10）。 同時需要考慮，外在非完整約束對系統(tǒng)奇異性約束是否產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)？ 兩者滿足什么條件才可以相容？

問題3目前對于約束Hamilton 系統(tǒng)的守恒量都是集中在Noether 型， 約束Hamilton 系統(tǒng)的Mei 對稱性導(dǎo)致的Mei 型守恒量的條件結(jié)構(gòu)方程是什么？ 守恒量的形式與經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的Mei 對稱性導(dǎo)致的Mei 型守恒量有什么差異？ 以及約束Hamilton 系統(tǒng)的Noether 對稱性、Lie 對稱性和Mei 對稱性三者之間的關(guān)系說明又是怎樣的？

這里需要注意，對于奇異系統(tǒng)，還有很多文獻(xiàn)[13，19，25-34]只是在位形空間中研究其對稱性和守恒量，并得到了豐富結(jié)果，它們的內(nèi)容和結(jié)論形式不同于約束Hamilton 系統(tǒng)，由于奇異，這些在位形空間中成立的有些結(jié)論在約束Hamilton 體系中未必成立，這也是約束Hamilton 系統(tǒng)的又一大特點(diǎn)。

1.2 量子水平下的對稱性理論

1.2.1 約束Hamilton 系統(tǒng)量子化

約束Hamilton 系統(tǒng)量子化問題的關(guān)鍵在于約束如何處置。 半個多世紀(jì)以來，已建立了多種算符形式和路徑積分形式量子化。 目前用路徑積分形式有突出的優(yōu)點(diǎn)，傳播函數(shù)或轉(zhuǎn)換矩陣元中已不再出現(xiàn)算符（Q-數(shù)），出現(xiàn)在路徑積分中的量均是經(jīng)典的數(shù)（C-數(shù)）。 按照Dirac 的處理，將全部獨(dú)立的約束（包括初級約束Φj和次級約束Φjk）分為第一類量和第二類量。一個與所有約束構(gòu)成的Poisson 括號都等于0 的量稱為第一類約束Λa，否則為第二類約束Ψb。選取m 個規(guī)范條件Ωa，滿足

系統(tǒng)的量子化用獨(dú)立變量q*和p*可通過正則變換得到

其量子躍遷幅為

由于很難分離出真正的獨(dú)立變量，利用δ 函數(shù)的變換性質(zhì)以及正則變換下相空間體積不變，則系統(tǒng)路徑積分形式下相空間Green 函數(shù)的生成泛函為

其中Ji、Ki分別為qi、pi的外源。

利用Grassmann 變量η（t）和η+（t）的積分性質(zhì)，上式可簡記為

量子力學(xué)論中生成函數(shù)占基本地位，量子場的性質(zhì)可由它出發(fā)來研究，如Feynmann 規(guī)則、Ward-Takahashi 恒等式、非微擾論、量子對稱性質(zhì)等。

關(guān)于約束Hamilton 系統(tǒng)的量子化有關(guān)詳細(xì)敘述與應(yīng)用研究可參看文獻(xiàn)[35-39]。

1.2.2 量子正則對稱性

在量子場論中Noether 恒等式對應(yīng)于Ward 恒等式，它不僅是證明理論可重整化的重要工具，而且還在一些具體計(jì)算中（如QCD 中）也起重要作用。 約束Hamilton 系統(tǒng)中的Ward 恒等式可表示為

其中Sσ、Tσ、Rσ為無窮小定域變換的線性微分算符，～為伴隨算符，而Uσ滿足是無限小任意函數(shù)。 無論對稱變換的Jacobi 行列式是否為1，此結(jié)果均與經(jīng)典情形的結(jié)果形式上是不相同的，它是算符方程。 同時，無論是正規(guī)還是奇異，經(jīng)典正則Noether 恒等式是一樣的，但量子水平下，奇異系統(tǒng)時是需用代替。

在相空間中的整體變換下，如果系統(tǒng)的有效正則作用量準(zhǔn)確到一個關(guān)于時間的全微分項(xiàng)是不變的，且對應(yīng)的對稱變換的Jacobi 行列式與無窮小任意函數(shù)無關(guān) （路徑積分測度在相應(yīng)的變換下不變）， 那么約束Hamilton 系統(tǒng)存在量子守恒律為

量子水平的守恒量不存在基態(tài)符號|0。 它與經(jīng)典水平下的Noether 守恒律形式是一樣的，但注意量子水平下奇異時用Heff代替。 同時它不同于量子正則Noether 恒等式轉(zhuǎn)化為的量子（弱）守恒律形式，這一點(diǎn)又不同經(jīng)典水平，經(jīng)典水平下的Noether 恒等式和Noether 守恒量無直接關(guān)系，但量子水平下，Noether 恒等式可導(dǎo)致一類量子守恒律。

Poincare'-Cartan 積分不變量在經(jīng)典力學(xué)和場論中有很重要的地位，它可以作為動力學(xué)的基本原理。 研究發(fā)現(xiàn)它與量子正則方程也是等價的。 在對稱變換的Jacobi 行列式不為1 情況下，約束Hamilton 系統(tǒng)中的量子Poincare'-Cartan 積分不變量可表示為

其中T*是一種特定的遍時乘積，〈0|T*（?μφ（x）?vφ（y）…）|0〉＝?μ?v〈0|T（φ（x）φ（y）…）|0〉。

上式存在基態(tài)符號|0，同時上述與經(jīng)典理論不同的是，量子水平下，應(yīng)由有效Hamilton 量Heff決定，它包含了規(guī)范條件。

關(guān)于約束Hamilton 系統(tǒng)的量子對稱性有關(guān)詳細(xì)敘述與應(yīng)用研究可參看文獻(xiàn)[40-50]。

2 總結(jié)與展望

為公式表達(dá)簡潔，文中綜述的約束Hamilton 系統(tǒng)對稱性與守恒量的研究僅限于有限自由度，實(shí)際上約束Hamilton 系統(tǒng)的對稱理論在連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)和場論物理系統(tǒng)中應(yīng)用也是十分廣泛的。 筆者將約束Hamilton系統(tǒng)的研究從經(jīng)典水平和量子水平兩個方向并行出發(fā)，它們的很多研究思路和內(nèi)容既有相似，又有很多差異，這正是奇異系統(tǒng)的一大本質(zhì)屬性。 筆者認(rèn)為約束Hamilton 系統(tǒng)的理論進(jìn)一步發(fā)展還有待于以下研究工作：（1）約束Hamilton 系統(tǒng)奇異性的物理解釋與實(shí)驗(yàn)研究；（2）約束Hamilton 系統(tǒng)的對稱性方程關(guān)于生成元的計(jì)算機(jī)大規(guī)模機(jī)械程序化求解；（3）約束Hamilton 系統(tǒng)的各種離散對稱性和離散守恒量的研究，以及利用對稱性構(gòu)造高性能的數(shù)值方法；（4）用現(xiàn)代微分流形知識，對約束Hamilton 系統(tǒng)的對稱性和守恒量作出幾何動力學(xué)性態(tài)描述；（5）約束Hamilton 系統(tǒng)模型的對稱性理論在工程實(shí)際問題中的應(yīng)用價值。