基于改進(jìn)無(wú)偏灰色模型的礦山地表沉降預(yù)測(cè)研究

權(quán)文斌，雷雨龍，尚 軒

(陜西陜煤黃陵礦業(yè)有限公司一號(hào)煤礦，陜西 延安 727307)

0 引言

我國(guó)是一個(gè)富煤貧油的國(guó)家，目前仍然將煤炭作為最主要的消耗性能源，為國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供動(dòng)力，而隨著煤炭資源枯竭以及深部開(kāi)采煤炭資源技術(shù)不太成熟，更好地解決“三下”開(kāi)采以及薄煤層開(kāi)采方面所面臨的問(wèn)題是未來(lái)煤炭發(fā)展的主要目標(biāo)之一。同時(shí)地下煤炭資源的開(kāi)采會(huì)使得處于采空區(qū)上方的建筑物和地表產(chǎn)生不均勻沉降，因此，準(zhǔn)確科學(xué)的預(yù)測(cè)礦山地表沉降變化趨勢(shì)受到越來(lái)越多的關(guān)注。

在各種預(yù)測(cè)模型中，無(wú)偏灰色模型具有消除傳統(tǒng)灰色模型固有誤差的特性，計(jì)算所需數(shù)據(jù)量少，計(jì)算便捷，適合中長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)。由于無(wú)偏灰色模型仍然是一種指數(shù)函數(shù)，解決函數(shù)微分方程時(shí)就會(huì)要求原始數(shù)據(jù)序列的波動(dòng)不能過(guò)大，否則會(huì)使預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果誤差增大，不能正確反映預(yù)測(cè)的效果。文中利用3次樣條插值法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，增加一定的數(shù)據(jù)量，使數(shù)據(jù)序列更加平滑，繼承無(wú)偏灰色模型的特性，并提高了改進(jìn)無(wú)偏灰色模型的擬合預(yù)測(cè)精度。文中，作者將改進(jìn)無(wú)偏灰色模型應(yīng)用于礦山地表沉降監(jiān)測(cè)中，并與無(wú)偏灰色預(yù)測(cè)模型進(jìn)行對(duì)比分析，得出結(jié)果充分展示了改進(jìn)無(wú)偏灰色模型的優(yōu)越性。

1 無(wú)偏灰色模型

1.1 灰色系統(tǒng)理論

華中理工大學(xué)的鄧聚龍教授在20世紀(jì)80年代首次提出了灰色系統(tǒng)理論，該理論本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)方法用于解決信息不完備問(wèn)題，它將控制論的觀點(diǎn)和方法延伸到復(fù)雜的大系統(tǒng)中，將自動(dòng)控制于運(yùn)籌學(xué)的數(shù)學(xué)方法相結(jié)合，用獨(dú)特的方法和手段研究了廣泛存在于客觀世界中具有灰色性的問(wèn)題?；疑到y(tǒng)在較短的時(shí)間內(nèi)得到了快速的發(fā)展，其已廣泛應(yīng)用到社會(huì)科學(xué)以及自然科學(xué)等諸多領(lǐng)域。

灰色系統(tǒng)理論的建模是一種貧信息建模，它把一切隨機(jī)過(guò)程看做是一種灰色過(guò)程，該灰色過(guò)程是在一定范圍內(nèi)變化的、與時(shí)間有關(guān)的過(guò)程。建模時(shí)對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行重新生成，將沒(méi)有規(guī)律的原始數(shù)據(jù)序列通過(guò)累加或累減處理而成為具有較強(qiáng)規(guī)律性的新數(shù)列，新數(shù)列再用微分方程來(lái)描述，解此微分方程即得到自變量與因變量的關(guān)系?？偟膩?lái)說(shuō)，灰色系統(tǒng)理論的建模所針對(duì)的數(shù)列是生成后的數(shù)列，其對(duì)原始數(shù)據(jù)沒(méi)有大樣本的要求，只要原始數(shù)列有4個(gè)以上的數(shù)據(jù)就可通過(guò)組成變換來(lái)建立灰色模型。

1.2 建立無(wú)偏灰色模型

設(shè)有非負(fù)準(zhǔn)光滑的等間距的原始數(shù)據(jù)序列為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(k-1),x(0)(k)},k=1,2,…,n，無(wú)偏灰色模型的建立步驟如下

(1)

確定數(shù)據(jù)矩陣B、YN：

(2)

(3)

(4)

建立無(wú)偏灰色預(yù)測(cè)模型：

(5)

2 改進(jìn)無(wú)偏灰色模型

2.1 3次樣條插值

插值是知道部分節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的前提下，求解過(guò)這些已知點(diǎn)的曲線，根據(jù)求解的曲線函數(shù)對(duì)曲線上未知點(diǎn)位進(jìn)行預(yù)測(cè)。

樣條軟尺在術(shù)語(yǔ)上是指在技術(shù)制圖中，使用軟尺連接兩個(gè)相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)，以達(dá)到連接曲線光滑的效果。樣條插值是一種分段多項(xiàng)式插值法。數(shù)學(xué)上是指曲線光滑需要在曲線上一階導(dǎo)連續(xù)，因此，在節(jié)點(diǎn)處需要滿足一階導(dǎo)數(shù)相等。另外，為了使得曲線的曲率最小，要求曲線二階導(dǎo)連續(xù)，在節(jié)點(diǎn)處需要二階導(dǎo)相等。

3次及以上多項(xiàng)式可以滿足節(jié)點(diǎn)處光滑和曲率最小要求，但是次數(shù)高的曲線容易震蕩，因此，常常選用3次多項(xiàng)式。

2.2 建立改進(jìn)無(wú)偏灰色模型

改進(jìn)無(wú)偏灰色模型主要體現(xiàn)在：利用3次樣條插值對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行預(yù)處理，增加數(shù)據(jù)量，使數(shù)據(jù)序列更加平滑，如圖1所示。

圖1 改進(jìn)無(wú)偏灰色模型流程

a

b

a

x

0

x

1

x

n

b

x

k

y

k

f

x

k

k

n

S

x

插值條件：S(xk)=yk,k=0,1,…,n;

分段條件：在小區(qū)間[xk,xk+1],(k=0,1,…,n-1)上，S(x)是3次代數(shù)多項(xiàng)式，即S(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3；

光滑條件：S(x)∈C2[a,b]。

則稱S(x)為樣條節(jié)點(diǎn)xk上的3次樣條插值函數(shù)(Cubic Spline Interpolation)，稱求S(x)的方法為3次樣條插值方法。

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(k-1),x(0)(k)},k=1,2,…,n，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行3次樣條插值處理后的序列為S(0)={s(0)(1),s(0)(2),s(0)(3),…,s(0)(k-1),s(0)(k)}，計(jì)算表達(dá)式如下

k=1,2,…,n

(6)

若在該函數(shù)在兩端點(diǎn)處沒(méi)有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)值時(shí)，則由對(duì)應(yīng)的差商值代替。

3 礦山地表沉降預(yù)測(cè)

某礦區(qū)地表沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)共16期，具體數(shù)據(jù)如圖2所示。以圖2中第1期至第12期原始數(shù)據(jù)建立無(wú)偏灰色模型和改進(jìn)無(wú)偏灰色模型，將2種預(yù)測(cè)模型所得出的預(yù)測(cè)結(jié)果與第13期至第16期的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行精度分析比較，通過(guò)相對(duì)誤差來(lái)判斷模型的有效性。

圖2 地表沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)

3.1 建立無(wú)偏灰色模型

x(0)(k)=2.987 45e-0.000 681 49(k-1),k=1,2,…,n

3.2 建立改進(jìn)無(wú)偏灰色模型

對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行3次樣條插值處理，插值節(jié)點(diǎn)設(shè)置為每個(gè)小區(qū)間的中點(diǎn)處，即為[xk,xk+1]的中點(diǎn)xk+0.5，由于數(shù)據(jù)沒(méi)有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，則導(dǎo)數(shù)值由差商值代替。用于建立模型的原始數(shù)據(jù)共12期，經(jīng)過(guò)間隔為0.5的3次樣條插值法處理后的數(shù)據(jù)周期變?yōu)?3期，預(yù)處理后數(shù)據(jù)見(jiàn)表1并如圖3所示。

表1 3次樣條插值法處理后數(shù)據(jù)

圖3 3次樣條插值處理后數(shù)據(jù)

x(0)(k)=2.987 35e-0.000 337 88(k-1),k=1,2,…,n

通過(guò)無(wú)偏灰色模型和改進(jìn)無(wú)偏灰色模型對(duì)礦區(qū)地表沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的第1期至12期進(jìn)行模擬，并預(yù)測(cè)第13期至第16期的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)值，2種方法的預(yù)測(cè)值如圖4所示，擬合值如圖5所示，2種預(yù)測(cè)模型的性能比較見(jiàn)表2。

圖4 2種預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果

圖5 2種預(yù)測(cè)模型的擬合值比較

表2 2種預(yù)測(cè)模型的性能比較

4 結(jié)論

(1)改進(jìn)無(wú)偏灰色模型比無(wú)偏灰色模型更符合礦區(qū)地表的沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。

(2)經(jīng)過(guò)3次樣條插值法處理后，原始數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量增加，數(shù)據(jù)序列更加平滑，提升了無(wú)偏灰色模型的預(yù)測(cè)精度。

(3)對(duì)比兩種預(yù)測(cè)模型，改進(jìn)無(wú)偏灰色模型比無(wú)偏灰色模型的擬合預(yù)測(cè)精度高，其平均相對(duì)誤差和平均絕對(duì)誤差分別為0.003 48%、0.009 80%和0.007 86%、0.011 39%。

礦山的沉降過(guò)程受到很多方面因素的綜合影響，并且沉降的整個(gè)過(guò)程是動(dòng)態(tài)緩慢的，這也使得對(duì)觀測(cè)的沉降數(shù)據(jù)分析從以前的線性分析逐漸發(fā)展到非線性分析，由靜態(tài)分析發(fā)展到動(dòng)態(tài)分析，多樣化逐步成為變形分析的主要模式。為了能夠更好地反映礦山沉降趨勢(shì)，進(jìn)一步提高礦山地表沉降預(yù)測(cè)的精度，在建立模型預(yù)測(cè)趨勢(shì)時(shí)對(duì)建模的原始沉降數(shù)據(jù)要不斷更新，也是該模型需要進(jìn)一步研究改進(jìn)的地方。在預(yù)測(cè)模型方面，不同的預(yù)測(cè)針對(duì)不同的礦區(qū)地表沉降數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)精度都會(huì)有所不同，因此針對(duì)具體的礦區(qū)沉降數(shù)據(jù)處理時(shí)，應(yīng)采用多種模型進(jìn)行對(duì)比，從而選擇出比較好的預(yù)測(cè)模型。作者通過(guò)研究對(duì)比了不同模型預(yù)測(cè)結(jié)果的精度，結(jié)果顯示改進(jìn)無(wú)偏灰色模型能更好地預(yù)測(cè)礦山地表沉降趨勢(shì)，對(duì)于類似條件的礦區(qū)可以提供借鑒。